第7章 培优课 三角函数中的最值问题 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第三册学习笔记（人教B版2019）

培优课　三角函数中的最 值问题 第七章　三角函数 三角函数的最值问题是三角函数的基本内容，它对三角函数的恒等变形及综合应用要求较高，解决该类问题的基本途径一方面是自身的特殊性(如有界性等)，另一方面可转化为所熟知的函数最值问题. 内容索引 一、y＝Asin(ωx＋φ)＋B型的最值问题 二、可化为y＝f(sin x)(y＝f(cos x))型的最值问题 课时对点练 三、函数图象平移距离的最小值问题 五、求ω的最值问题 四、由三角函数的值域，求定义域中参数的最值 y＝Asin(ωx＋φ)＋B型的最值问题 一 5 化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较闭区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值.也可以利用y＝sin x的图象找最值. 反思感悟 6 2 (1，＋∞) 7 ∴f(x)min＝2，f(x)max＝3， ∵f(x)－m<2⇔m>f(x)－2， ∴m>1，即m的取值范围是(1，＋∞). 8 二 可化为y＝f(sin x)(y＝f(cos x))型的最值问题 例2　已知0≤x≤ ，求函数y＝cos2x－2acos x的最大值M(a)与最小值m(a). 10 ∵y＝t2－2at＝(t－a)2－a2， ∴当a≤0时，m(a)＝0，M(a)＝1－2a； 当a≥1时，m(a)＝1－2a，M(a)＝0. 11 可化为y＝f(cos x)型三角函数的最值或值域，也可通过换元法转为其他函数的最值或值域. 反思感悟 12 13 14 15 三 函数图象平移距离的最小值问题 例3　将函数f(x)＝sin 4x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将它的图象向左平移φ(φ>0)个单位，得到一个偶函数的图象，则φ的最小值为 √ 17 伸长后得y＝sin 2x， 平移后得y＝sin[2(x＋φ)]＝sin(2x＋2φ)， 因为该函数为偶函数， 18 函数图象平移后函数解析式发生了变化，解题时首先确定函数图象平移后的解析式，再根据新函数具备的性质求出平移距离的通解，再从通解中确定其最小值. 反思感悟 19 √ 20 f(x)＝cos 2ωx，由其最小正周期为π， 将其图象沿x轴向左平移m(m>0)个单位， 所得图象对应函数为y＝cos[2(x＋m)]＝cos(2x＋2m)， 21 四 由三角函数的值域，求定义域中参数的最值 23 24 由值域求定义域，充分利用正余弦函数的图象，要用整体代换、换元思想，转换成最简单的正弦、余弦曲线. 反思感悟 25 26 因为x∈(0，m)， 27 五 求ω的最值问题 √ 29 9 30 31 已知三角函数在某区间递增(减)求ω的范围，一般先求函数的递增(减)区间，再利用已知区间是递增(减)区间的子集，列关于ω的不等式(组)求范围或最值. 反思感悟 32 33 课时对点练 六 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.α是三角形的内角，则函数y＝－2sin2α－3cos α＋7的最值情况是 A.既没有最大值，又没有最小值 B.既有最大值10，又有最小值 C.只有最大值10 D.只有最小值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ ∵α是三角形的内角， ∴α∈(0，π)，则cos α∈(－1,1)， 则y＝－2sin2α－3cos α＋7 ＝－2(1－cos2α)－3cos α＋7 ＝2cos2α－3cos α＋5， 令t＝cos α(－1<t<1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 其图象关于y轴对称， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.已知函数f(x)＝m2－2mcos x－sin2x＋2在cos x＝－1时取得最大值，在cos x＝m时取得最小值，则实数m的取值范围是 A.(－∞，－1] B.[1，＋∞) C.[0,1] D.[－1,0] 因为f(x)＝m2－2mcos x－sin2x＋2 ＝cos2x－2mcos x＋m2＋1＝(cos x－m)2＋1， 且f(x)在cos x＝－1时取得最大值，在cos x＝m时取得最小值， 所以0≤m≤1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 由①②，可得T＝2π， ① ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 即f(x)＝sin(x＋φ)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [10π，＋∞) ∵ω>0，∴ω≥10π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 所以满足条件的ω的最小值是7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴sin∈，∴y∈. 故该函数的值域为. ∵x∈，∴2x－∈， 例1　y＝3sin在区间上的值域是___________. 跟踪训练1　已知函数f(x)＝1＋2sin，则f(x)在上的最小值是_____，若不等式f(x)－m<2在上恒成立，则实数m的取值范围是___________. 即2≤1＋2sin≤3， 函数f(x)＝1＋2sin， 又x∈， ∴2x－∈， 综上所述，M(a)＝m(a)＝ 设cos x＝t，∵0≤x≤，∴0≤t≤1. 当0<a≤时，m(a)＝－a2，M(a)＝1－2a； 当<a<1时，m(a)＝－a2，M(a)＝0； 跟踪训练2　若函数y＝sin2x＋acos x＋a－在上的最大值是1，则实数a的值为_____.  ymax＝a＋a－＝1⇒a＝<2(舍去)； ②若0≤≤1，即0≤a≤2， 则当cos x＝时，ymax＝＋a－＝1， 解得a＝或a＝－4<0(舍去)；  y＝1－cos2x＋acos x＋a－＝－2＋＋a－. ∵0≤x≤，∴0≤cos x≤1. ①若>1，即a>2，则当cos x＝1时， ③若<0，即a<0，则当cos x＝0时，  ymax＝a－＝1⇒a＝>0(舍去). 综上可知，a＝. A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 所以2φ＝＋kπ(k∈Z)， 即φ＝＋(k∈Z)，又φ>0， 所以取k＝0，得φ的最小值为. 跟踪训练3　已知函数f(x)＝cos 2ωx的最小正周期为π，将其图象沿x轴向左平移m(m>0)个单位，所得图象关于直线x＝对称，则实数m的最小值为 A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 又m>0，则实数m的最小值为. 得＝π，解得ω＝1，所以f(x)＝cos 2x. 因为其图象关于x＝对称， 所以＋2m＝kπ，k∈Z，所以m＝－＋，k∈Z， 例4　已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________. ∴函数y＝sin t，t∈的值域为，作出y＝sin t的图象. 如图所示，图中点A的坐标为， ∴≤a＋≤，即≤a≤π. 令t＝x＋， ∵x∈， ∴t∈. 跟踪训练4　已知函数f(x)＝cos在(0，m)上的值域为，则m的取值范围是_______. 所以0<2m－≤，解得<m≤. 所以－<2x－<2m－. 因为f(x)在(0，m)上的值域为，  f(0)＝cos＝， ∴ω＝k，k∈N＋，∴ω的最小值为. 例5　(1)已知将函数f(x)＝2cos－1(ω>0)的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 A.3 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 依题意知，＝k·T，k∈N＋， ∴＝k·，k∈N＋， (2)先将函数f(x)＝sin x的图象上的各点向左平移个单位，再将各点的横坐标变为原来的(其中ω∈N＋且纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间上单调递增，则ω的最大值为______. 由12k－4≤8k＋可得k≤， 当k＝1时，ω∈，所以正整数ω的最大值为9. 由题意易知g(x)＝sin在区间上单调递增， 所以有 k∈Z，即12k－4≤ω≤8k＋，k∈Z. 故当x＝时，函数f(x)有最大值， 故f ＝1，∴－＝2kπ(k∈Z)， ∴ω＝8k＋(k∈Z)，又ω>0，∴ωmin＝. 跟踪训练5　设函数f(x)＝cos(ω>0).若f(x)≤f 对任意的实数x都成立，则ω的最小值为_____. 由于对任意的实数x都有f(x)≤f 成立， 因此f(x)的最大值为.  f(x)＝sin＋cos＝sin＋cos 1.函数f(x)＝sin＋cos的最大值为 A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.1 ＝cos＋cos＝cos， 则y＝2t2－3t＋5＝22＋. ∴当t＝，即cos α＝时，函数有最小值，无最大值. 3.将函数f(x)＝sin的图象向左平移a(a>0)个单位得到函数g(x)＝cos 2x的图象，则a的最小值为 A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.π 所以2a－＝＋2kπ，k∈Z，即a＝＋kπ，k∈Z， 因为a>0，所以当k＝0时，可得amin＝. 将函数f(x)＝sin的图象向左平移a(a>0)个单位，可得函数y＝sin＝sin的图象， 所以y＝sin的图象与g(x)＝cos 2x的图象重合. 因为g(x)＝cos 2x＝sin， 4.已知函数f(x)＝2cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位得到的函数图象关于y轴对称，则函数f(x)在上的最大值与最小值之和为 A.－ 　　　　B.－1 　　　　C.0 　　　　D. 由题意知，y＝2cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位后， 得到y＝2cos＝2cos， ∴－＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z， 又|φ|<，∴φ＝. ∴f(x)＝2cos， 又x∈， ∴2x＋∈， ∴f(x)在上的最大值为f(0)＝2cos ＝1， 最小值为f ＝2cos π＝－2， ∴最大值与最小值的和为f(0)＋f ＝－1. 6.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于点M 及直线 x＝对称，且f(x)在区间上不存在最值，则φ的值为 A.－ 　　　　B.－ 　　　　C. 　　　　D. ∴≥，即T≥π， ∴＝2π，解得ω＝1， ∵函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于点M 及直线 x＝对称， ∴T＝－＝，k∈N＋， 又f(x)在上不存在最值， 又f(x)经过点M ， ∴sin＝0，即φ＝＋kπ，k∈Z， ∵|φ|≤，∴φ＝. 7.将函数f(x)＝cos x的图象向右平移个单位，再将各点的横坐标变为原来的(ω>0，纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在上的值域为，则ω的取值范围为 A. B. C. D. 又此时g(x)的值域为， ∴0≤－≤， ∴≤ω≤.  f(x)＝cos x的图象向右平移个单位，得到y＝cos的图象， 再将各点横坐标变为原来的(ω>0，纵坐标不变)得g(x)＝cos， 当x∈时，ωx－∈， 8.已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围 是________. 又函数f(x)在上单调递减，所以周期T＝≥π， 解得0<ω≤2，所以ω∈. 由<x<π，ω>0，得＋<ωx＋<ωπ＋， 又y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z， 所以k∈Z，解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z. 9.已知函数f(x)＝2sin中x在任意的个单位的距离内能同时取得最大值和最小值，那么正实数ω的取值范围是_____________. 由题意得T＝≤，∴ω≥10π， 10.已知函数f(x)＝sin(ω>0)，对任意x∈R，都有f(x)≤f ，并且  f(x)在区间上不单调，则ω的最小值是____. 又f(x)在区间上不单调， 所以在区间上至少还有一个最小值且不是f ， 所以<－＝，T<π，则ω＝>2， 对任意x∈R，都有f(x)≤f ， 所以f 是最大值， ω·＋＝＋2kπ，k∈Z，ω＝6k＋1，k∈Z， $$