8.1.2 向量数量积的运算律 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第三册学习笔记（人教B版2019）

8.1.2　向量数量积的 运算律 第八章　§8.1　向量的数量积 学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式. 2.会利用向量的数量积证明垂直，求向量的夹角、模(长度)等. 在前面，我们通过类比实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，得到了数乘运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 导语 内容索引 一、向量数量积的运算律 二、求向量的模和夹角 课时对点练 三、与垂直有关的问题 随堂演练 四、向量在几何中的应用 向量数量积的运算律 一 1.平面向量数量积的运算律 运算律 向量数量积 交换律 a·b＝b·a 数乘结合律 (λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b) 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c (a－b)·c＝a·c－b·c. 知识梳理 6 2.常用结论： (1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2； (2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (3)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a. 知识梳理 7 注意点： (1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，得不到a＝b. (2)实数运算满足乘法结合律，但向量的数量积运算不满足乘法结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线. 知识梳理 8 例1　(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是 A. a·c－b·c＝(a－b)·c B.(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 C.|a|－|b|<|a－b| D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 √ √ √ 9 根据数量积的分配律知A正确； ∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0， ∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误； ∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a－b|组成三角形， ∴|a|－|b|<|a－b|成立，C正确； 显然D正确. 10 向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时也有许多不同之处.例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律. 反思感悟 11 跟踪训练1　给出下列结论： ①若a·b＝a·c，则b＝c； ②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； ③(a＋b)2＝|a|2＋2|a||b|＋|b|2. 其中正确的是_____.(填序号) ② 由向量数量积的性质和运算律知，①③错误，②正确. 12 二 求向量的模和夹角 例2　(1)已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，则|3a＋b|＝_____. 20 ∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2 ＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b＝25， ∴a·b＝25. ∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2 ＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400， 故|3a＋b|＝20. 14 (2)设n和m是两个单位向量，其夹角是 ，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角. 15 16 设a与b的夹角为θ， 又∵θ∈[0，π]， 17 反思感悟 18 √ 19 设a与b的夹角为θ，由题意得(3a－2b)2＝7， ∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7， 又|a|＝|b|＝1， 20 (2)已知|a|＝1，|b|＝3，且|a－b|＝2，求|a＋b|. 21 方法一　∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1＋9－2a·b＝4， ∴a·b＝3. ∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋9＋2×3＝16，∴|a＋b|＝4. 方法二　∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2， ∴|a－b|2＋|a＋b|2＝2a2＋2b2＝2×1＋2×9＝20. 又|a－b|＝2， ∴|a＋b|2＝16， ∴|a＋b|＝4. 22 三 与垂直有关的问题 √ 由4|a|＝3|b|， 可设|b|＝4t(t>0)，则|a|＝3t. 因为(xa＋b)⊥b， 所以(xa＋b)·b＝xa·b＋|b|2 又t>0，所以x＝－4. 25 延伸探究　本例中的条件不变，“(xa＋b)⊥b”改为xa＋b与b的夹角为锐角.求x的取值范围. 由题意得|b|＝4t(t>0)， (xa＋b)·b＝xa·b＋|b|2 ＝(4x＋16)t2>0，解得x>－4， 若xa＋b＝mb，m>0，xa＝(m－1)b， ∴m＝1，x＝0. 此时xa＋b与b同向. ∴x的取值范围为x>－4且x≠0. 26 解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0. 反思感悟 27 跟踪训练3　已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，求向量a与b夹角的大小. 设a与b的夹角为θ， 由已知得(a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2 ＝3＋10cos θ－8＝0， 又0°≤θ≤180°， 所以θ＝60°， 即a与b的夹角为60°. 28 四 向量在几何中的应用 例4　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 则|a|＝|b|，a·b＝0. 31 利用向量的数量积运算可以解决与长度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中所涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题，通过向量的数量积求解. 反思感悟 32 33 则a＝e＋c，b＝e＋d， ∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2， 又由已知a2－b2＝c2－d2， 可得c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2， ∴2e·c－2e·d＝0，即e·(c－d)＝0， 34 1.知识清单： (1)向量数量积的运算律. (2)利用向量数量积证明垂直，求夹角、模. 2.方法归纳：数形结合，转化与化归. 3.常见误区：忽视向量数量积不满足结合律. 课堂小结 随堂演练 五 1.设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于 A.－2 　　　　B.－1 　　　　C.1 　　　　D.2 因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0， 所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2) ＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2 ＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1. 1 2 3 4 √ A.1 　　　　B.2 　　　　C.3 　　　　D.5 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10， ① |a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6， ② 由①－②得4a·b＝4， ∴a·b＝1. 1 2 3 4 √ 3.已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为___. 设向量a与a－b的夹角为θ，则 1 2 3 4 4.已知向量a·b满足|a|＝3，|b|＝4，且|a＋b|＝|a－b|，则|2a－3b|＝______. ∵|a＋b|＝|a－b|， ∴(a＋b)2＝(a－b)2，得a·b＝0， 1 2 3 4 课时对点练 六 1.(多选)关于非零向量a，b，c，下列结论正确的是 A.(a·b)c＝a(b·c) B.|a·b|≥a·b C.若a·c＝λb·c，则a＝λb D.若a＝λb，则a·c＝λb·c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ 向量的数量积不满足结合律，A错误； |a·b|＝||a||b|cos θ|≥a·b＝|a||b|cos θ，B正确； a与b的方向不一定相同，C错误； 当a＝λb时，a·c＝λb·c，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|等于 A.16 　　　　B.256 　　　　C.8 　　　　D.64 方法一　∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256， ∴|2a＋3b|＝16. 方法二　由题意知2a＝b， ∴|2a＋3b|＝|4b|＝4|b|＝16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.已知|a|＝4，|b|＝2，a与b的夹角为120°，则(a＋b)·(2a－b)等于 A.32 　　　　B.24 　　　　C.26 　　　　D.8 ∴(a＋b)·(2a－b)＝2a2＋a·b－b2＝32－4－4＝24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)⊥b，则a与b的夹角为 A.30° 　　　　B.60° 　　　　C.120° 　　　　D.150° ∵(2a＋b)⊥b，∴(2a＋b)·b＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 又0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°. 5.已知|a|＝3，|b|＝2，且a，b的夹角为60°，如果(3a＋5b)⊥(ma－b)，那么m的值为 由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝0， 即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0， 3m×32＋(5m－3)×3×2×cos 60°－5×22＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若 e1＋e2与e1＋λe2的夹角为60°， 则实数λ的值是______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a. (1)求向量a与b的夹角； 因为|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a， 所以c·a＝(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0， 即1＋1×2×cos〈a，b〉＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求|3a＋b|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2AD＝2DC.证明：AC⊥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴AC⊥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设 则下列结论正确的是 A.|a＋b|＝1 B.a⊥b C.(4a＋b)⊥b D.a·b＝－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ √ 分析知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是120°，故B结论错误； ∵(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵(4a＋b)·b＝4a·b＋b2 ＝4×1×2×cos 120°＋4＝0， ∴(4a＋b)⊥b，故C结论正确； a·b＝1×2×cos 120°＝－1，故D结论正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.以AB为底边的等腰三角形 B.以BC为底边的等腰三角形 C.以AB为斜边的直角三角形 D.以BC为斜边的直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∴AM是△ABC的边BC上的中线并且也是高， ∴△ABC是以BC为底边的等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点.若 则AB的长为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为E为CD的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 设a＋b与c之间的夹角为θ， 当|c|＝0时，原方程可化为1＝0不成立，所以|c|≠0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求a与b的夹角θ； 因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61， 所以4|a|2－4|a|·|b|cos θ－3|b|2＝61， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为θ∈[0，π]， (2)若c＝ta＋(1－t)b，且b·c＝0，求t及|c|. 因为b·c＝0，c＝ta＋(1－t)b， 所以b·[ta＋(1－t)b]＝0， 即ta·b＋(1－t)|b|2＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |b|＝|2n－3m|＝＝ ＝＝， a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝－6×1＋2×1＝－. ∵|n|＝|m|＝1且m与n的夹角是， ∴m·n＝|m||n|cos ＝1×1×＝. |a|＝|2m＋n|＝＝＝＝， 则cos θ＝＝＝－. ∴θ＝，故a与b的夹角为. (1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方. (2)求向量的夹角，主要是利用公式cos〈a，b〉＝求出夹角的余弦值，再求角.注意向量夹角的范围是[0，π]. 跟踪训练2　(1)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝，则a，b的夹角为 A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. ∴a·b＝， ∴|a||b|cos θ＝，即cos θ＝. 又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为. 例3　已知非零向量a，b满足4|a|＝3|b|，a与b夹角的余弦值为，若(xa＋b)⊥b，则实数x等于 A.－4 　　　　B.－ 　　　　C.4 　　　　D. ＝x×3t×4t×＋4t×4t＝(4x＋16)t2＝0， 所以cos θ＝， 所以·＝· ＝－a2－a·b＋b2 ＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 设＝a，＝b， 又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a， 跟踪训练4　如图所示，若D是△ABC内的一点，且2－2＝2－ 2，求证：AD⊥BC. ∴·＝e·(d－c)＝0， ∴⊥，即AD⊥BC. 设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d， ∵＝＋＝d－c， 2.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于 cos θ＝＝＝， 又θ∈[0，π]，所以θ＝. |a－b|＝＝＝， ＝ ＝ ＝6. ∴|2a－3b|＝ 6 依题意a·b＝4×2×＝－4， ∴2a·b＋b2＝0，∴a·b＝－b2， ∴cos〈a，b〉＝＝＝－， 解得m＝. A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 6.如图，在△ABC中，若AB＝AC＝3，∠BAC＝60°， ＝2，则·等于 A. 　　　B.－ 　　　C. 　　　D.－ 设＝a，＝b， 则|a|＝|b|＝3，cos〈a，b〉＝， ∴a·b＝3×3×＝， ∵＝b－a，  ＝＋＝＋＝＋(－)＝a＋b. ∴·＝·(b－a)＝－a2＋a·b＋b2 ＝－×9＋×＋×9＝－. 由题意，知＝＝＝. 7.已知非零向量a，b满足a⊥b，|b|＝1，则＝______. 且·＝＋λ， 所以cos 60°＝＝， 因为|e1＋e2|＝＝2，|e1＋λe2|＝， 解得λ＝－. － 即cos〈a，b〉＝－. 因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝. |3a＋b|＝ ＝ ＝＝. 设＝a，＝b， 则＝a，且|a|＝2|b|， ∴＝＋＝b＋a，  ＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b， ∴·＝·＝b2－a2＝b2－×4b2＝0，∴⊥，  ＝2a，＝b， ∴|a＋b|＝，故A结论错误； 12.已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，·＝12，则b在a上的投影为 A.a 　　　　B.2b 　　　　C.a 　　　　D.2b ·(2a－3b)＝a2＋a·b－3b2 ＝|a|2＋|a||b|cos 45°－3|b|2 ＝16＋|b|－3|b|2＝12， 解得|b|＝或|b|＝－(舍去). 故b在a上的投影为|b|cos 45°＝××＝a. 13.O为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，若(－)·(＋－2)＝0，则△ABC是 设BC的中点为M，则化简(－)·(＋－2)＝0， 得到·(＋)＝2·＝0， 即·＝0， ∴⊥，  ·＝1， 所以＝＋＝－＝－，＝＋， 因为·＝1， 所以·＝(＋)·＝2－2＋·＝1， 即1－2＋||cos 60°＝1， 所以－2＋||＝0， 解得||＝(||＝0舍去). 15.已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝，a·b＝1，(c－a)⊥(c－b)，则向量c的模的最大值为 A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 所以|c|2－|c|＋1≤0，解得≤|c|≤， 故|c|的最大值为. |a＋b|＝＝＝＝， 由(c－a)·(c－b)＝|c|2－(a＋b)·c＋a·b＝|c|2－|c|cos θ＋1＝0. 又由cos θ＝≤1，有|c|2＋1≤|c|， 解得cos θ＝－. 所以θ＝. 化简得15t＝9，解得t＝， 所以|c|＝＝＝＝＝. $$