8.1.1 向量数量积的概念 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第三册学习笔记（人教B版2019）

8.1.1　向量数量积的概念 第八章　§8.1　向量的数量积 学习目标 1.了解向量数量积的物理背景. 2.掌握两个向量的夹角的定义. 3.掌握向量数量积的定义和性质. 4.理解向量的投影与向量数量积的几何意义. 前面我们学习了向量的加、减运算，类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？让我们带着这些问题共同开启今天的探索之旅吧！ 导语 内容索引 一、两个向量的夹角 二、向量数量积的定义 课时对点练 三、向量数量积的性质 随堂演练 四、向量的投影与向量数量积的几何意义 两个向量的夹角 一 问题　如图所示，一物体在力F作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos α. (1)这个公式中哪些是向量，哪些是数量？ 提示　F(力)、s(位移)是向量；W(功)、α是数量. (2)你能用文字语言表述功的计算公式吗？ 提示　功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积. 1.给定两个_____向量a，b，在平面内任选一点O，作 则称[0，π]内的_______为向量a与向量b的夹角， 记作〈a，b〉. (1)〈a，b〉的取值范围是________. (2)〈a，b〉＝________. 非零 ∠AOB [0，π] 〈b，a〉 2.当〈a，b〉＝____时，称向量a与向量b垂直，记作_____.由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量_____. 垂直 a⊥b 知识梳理 7 注意点： 知识梳理 8 例1　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 9 因为|a|＝|b|＝2， 所以平行四边形OACB是菱形， 又∠AOB＝60°， 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. 10 (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出. (2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ. 反思感悟 11 A.30° 　　　　B.60° 　　　　C.120° 　　　　D.150° 所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°， √ 12 二 向量数量积的定义 一般地，当a与b都是非零向量时，称_______________为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作_____，即a·b＝______________. |a||b|·cos〈a，b〉 a·b |a||b|cos〈a，b〉 知识梳理 14 注意点： (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”. (2)两个非零向量的数量积a·b是一个实数.既可以是正数，也可以是0，还可以是负数. (3)当a与b至少有一个是零向量时，a·b＝0. 知识梳理 15 例2　已知正三角形ABC的边长为1，求： 16 17 18 求向量的数量积时，若已知向量的模及其夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. 运用此方法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. 反思感悟 19 20 21 三 向量数量积的性质 1.|a·b|≤______. 2.a·a＝____，即|a|＝______，a2＝_____. 3.a⊥b⇔a·b＝0. 4.如果a，b都是非零向量，则cos〈a，b〉＝_____. |a||b| |a|2 |a|2 知识梳理 23 注意点： (1)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量. (2)|a|＝ 是求向量的长度的工具. (3)沟通了向量运算与数量之间的关系. 知识梳理 24 例3　(1)(多选)已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中正确的是 A.|a·b|＝|a||b|⇔a∥b B.a，b反向⇔a·b＝－|a||b| C.a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b| D.|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c| √ √ √ 25 A中，因为a·b＝|a||b|cos θ，所以由|a·b|＝|a||b|及a，b为非零向量可得|cos θ|＝1，所以θ＝0或π，所以a∥b，且以上各步均可逆，故A是真命题； B中，若a，b反向，则a，b的夹角为π，所以a·b＝|a||b|cos π＝－|a||b|，且以上各步均可逆，故B是真命题； C中，当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长度相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的四边形为矩形，所以有a⊥b，因此C是真命题； D中，当|a|＝|b|时，如果a与c的夹角和b与c的夹角不相等，则|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|，故D是假命题. 26 因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉， 所以|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝6. 又|a|＝3，|b|＝4， 因为〈a，b〉∈[0，π]， (2)已知a，b是两个非零向量，若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求〈a，b〉. 27 求非零向量的夹角，主要是利用公式cos〈a，b〉＝ 求出夹角的余弦 值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解. 反思感悟 28 跟踪训练3　已知在△ABC中，AB＝AC＝4， ＝8，则△ABC的形状是___________. 等边三角形 因为0°<∠BAC<180°， 所以∠BAC＝60°. 又AB＝AC，故△ABC是等边三角形. 29 四 向量的投影与向量数量积的几何意义 1.设非零向量 ＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′(如图)，则称向量________为向量a在直线l上的_________或_____. 投影向量 投影 知识梳理 31 2.给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的投影称为a在_______上的投影，如图，向量a在向量b上的投影为_________.可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量_____，但它们的方向既有可能_____，也有可能_____. 向量b 共线 相同 相反 知识梳理 32 3.一般地，如果a，b都是非零向量，则称______________为向量a在向量b上的___________，投影的数量与投影的_____有关，投影的数量既可能是_______，也可能是_____.a·b等于a在向量b上的投影的数量与b的____的乘积，即a·b＝________________.特别地，a·e＝|a|cos〈a，e〉，其中e为单位向量. |a|·cos〈a，b〉 投影的数量 长度 非负数 负数 模 (|a|cos〈a，b〉)|b| 知识梳理 33 例4　(1)已知|a|＝8，|b|＝2，〈a，b〉＝120°，则向量a在b上的投影为 A.2 　　　　B.－2 　　　　C.2b 　　　　D.－2b √ 34 过A作AA′⊥OB，垂足为A′， ∵∠AOB＝120°， ∴∠AOA′＝60°，OA＝8， 35 A.4 B.－4 C.8 D.－8 √ 设AB的中点为M，连接OM(图略)，则OM⊥AB， 36 (1)a在b上的投影是一个向量，它的方向与b同向或反向，即a在b上的投影与向量b共线. (2)利用向量数量积的几何意义可以求两向量的数量积，即a与b的数量积为a在b上的投影的数量与|b|的乘积，即a·b＝(|a|cos〈a，b〉)|b|. 反思感悟 37 跟踪训练4　已知a·b＝－9，a在b上的投影的数量为－3，b在a上的投影的数量为 ，求a与b的夹角. 38 1.知识清单： (1)向量的夹角，向量数量积的定义. (2)向量数量积的性质. (3)向量的投影及向量数量积的几何意义. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：混淆投影或投影向量与投影的数量的区别. 课堂小结 随堂演练 五 1.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m·n等于 1 2 3 4 √ 2.(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中不正确的是 A.若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B.向量a与向量b夹角的范围是[0，π) C.若a⊥b，则a·b＝0 D.|a|＝ 1 2 3 4 √ √ a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误； 向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误； 由数量积的性质知，C正确； 因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2， 1 2 3 4 3.已知|b|＝3，〈a，b〉＝150°，则向量b在a上的投影的数量为 1 2 3 4 √ ∴∠B＝180°－120°＝60°. 1 2 3 4 60° 课时对点练 六 1.已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角为150°，则a·b等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为30°，则a在b上的投影的数量为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.下列说法不正确的是 A.|a|＝ B.向量b在向量a上的投影的数量为|b|cos〈a，b〉 C.数量积a·b的几何意义为a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积 D.在△ABC中， <0，则△ABC的形状是钝角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.(多选)已知向量a，b和实数λ，则下列选项中正确的是 A.若a与b是两个单位向量，则a2＝b2 B.|a·b|＝|a||b| C.λ(a＋b)＝λa＋λb D.|a·b|≤|a||b| 选项B中，|a·b|＝||a||b|cos θ|，其中θ为a与b的夹角，故B错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 5.已知|a|＝2，|b|＝ ，a·b＝3，则a与b的夹角为 A.30° 　　　　B.45° 　　　　C.60° 　　　　D.120° 因为0°≤〈a，b〉≤180°， 所以〈a，b〉＝30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 ∴BC∥AD且BC＝AD， ∴四边形ABCD为平行四边形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∴四边形ABCD为矩形. 7.已知a·b＝16，若a在b方向上的投影的数量为4，则|b|＝____. ∵a·b＝16， ∴|a||b|cos〈a，b〉＝16， 又∵a在b方向上的投影的数量为4， ∴|a|cos〈a，b〉＝4，∴|b|＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，过F作FF′⊥AD，F′为垂足. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴点F为BC上靠近点C的三等分点， ∴点F′为AD上靠近点D的三等分点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论中正确的有 A.e1在e2上的投影为cos θ B.e1·e2＝1 C. D.(e1＋e2)⊥(e1－e2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ e1在e2上的投影是一个向量，故A不正确. e1·e2＝|e1||e2|cos〈e1，e2〉＝cos θ，故B不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作平行四边形ABCD， 则平行四边形ABCD为菱形. 13.已知|a|＝2，|b|＝12，a·b＝－12，则b在a上的投影为 A.－3 　　　　B.3 　　　　C.－3a 　　　　D.3a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 14.已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为_____. 由题意可画出图形，如图所示，在△OAB中， 因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|， 所以∠ABO＝30°， OA⊥OB， 即向量a与c的夹角为90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 90° 15.已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹 角的取值范围为______. Δ＝|a|2－4a·b＝|a|2－4|a||b|cos θ(θ为向量a与b的夹角)， 若方程有实根，则Δ≥0，即|a|2－4|a||b|cos θ≥0， 又|a|＝2|b|，∴Δ＝4|b|2－8|b|2cos θ≥0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 16.如图，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝2DC＝4.E为腰BC上的动点.求　　　的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，过点E作EE′⊥AB，垂足为E′，过点C作CC′⊥AB，垂足为C′. ∵点E在腰BC上运动，∴点E′在线段C′B上运动， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝a，＝b， 按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不 是向量与的夹角.作＝，则∠BAD才是向量与的夹角. 则＝a＋b，＝a－b. 所以与的夹角为30°，与的夹角为60°. 如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°. 以，为邻边作平行四边形OACB， 即与的夹角是120°. 如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角， 跟踪训练1　在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是 在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB， ＝1×1×＝. ∵与的夹角为60°， (1)·； ∴·＝||||cos 60° ＝1×1×＝－. ∵与的夹角为120°， (2)·； ∴·＝||||cos 120° ＝1×1×＝. ∵与的夹角为60°， (3)·. ∴·＝||||cos 60°  ·＝||||cos 0°＝3×3×1＝9. 跟踪训练2　如图，在▱ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求： (1)·； ∴·＝||||cos 120°＝4×3×＝－6. (2)·. ∵与的夹角为120°， 所以|cos〈a，b〉|＝＝＝， 所以cos〈a，b〉＝±. 所以〈a，b〉＝或〈a，b〉＝.  ·  ·＝||||cos∠BAC， 即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，     又|b|＝2.∴＝－2b. 如图所示，＝a，＝b， ∴a在b上的投影为， ∴OA′＝OA·cos 60°＝8×＝4， ＝－2×2·||·cos∠OAB＝－4||＝－8. (2)如图，AB为圆O的一条弦，且||＝4，则·等于 ·＝2·＝2||·||·cos(π－∠OAB) 又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝. － 由题意，得∴ ∴cos〈a，b〉＝＝＝－， 由平面向量数量积的定义可得m·n＝|m|·|n|·cos 45°＝4×6×＝12. A.12 　　　　B.12 　　　　C.－12 　　　　D.－12 所以|a|＝，所以D正确. 向量b在a上的投影的数量为|b|cos〈a，b〉＝3×cos 150°＝－. A.2 　　　B.－2 　　　C. 　　　D.－ ∴〈，〉＝120°， 又与的夹角为∠B的补角， cos〈，〉＝＝＝－， 4.在△ABC中，||＝3，||＝4，·＝－6，则∠B＝______. a·b＝|a||b|cos 150°＝3×4×＝－6. A.－6 　　　B.6 　　　　C.－6 　　　　D.6 a在b上的投影的数量为|a|·cos〈a，b〉＝4×cos 30°＝2. A.2 B.2 C. D.4  · 由数量积的性质及几何意义知A，B，C都正确，·<0可得B为锐角，不能判定三角形的形状. 因为|a|＝2，|b|＝，a·b＝3， 所以a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝2××cos〈a，b〉＝3， 所以cos〈a，b〉＝， ∵在四边形ABCD中，＝， 6.在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是 又·＝0，∴AB⊥BC， 8.在边长为3的等边三角形ABC中，点D在BC上，且＝2，则  ·＝____，·＝_____. － ∵＝2，∴点D为BC上靠近点B的三等分点，如图所示. ∴||＝||＝2，||＝||＝1， 又〈，〉＝〈，〉＝60°， 〈，〉＝〈，〉＝120°， ∴·＝||||cos 60°＝3×2×＝3.  ·＝||||cos 120°＝3×1×＝－. ∵||＝5，||＝4，||＝3， 9.在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求： (1)·； ∴cos A＝＝，cos B＝＝.  ·＝||·||cos(π－B)＝5×4×(－cos B)＝20×＝－16.  在上的投影的数量为||cos〈，〉＝3×cos A＝3×＝. (2)在上的投影的数量； 由向量数量积的几何意义及(1)知，在上的投影的数量为＝＝－4. (3)在上的投影的数量. 10.如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，点E是AB边上的动点，点F在BC上，且＝2.求·，·. ∵＝2， 又||＝1，∴AF′＝， ∴在上的投影的数量为， 根据向量数量积的几何意义知·＝×1＝. 同理，在上的投影为， 又||＝1，∴在上的投影的数量为－1， ∴·＝－1×1＝－1. 11.已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60° ，则·等于 A.－a2 　　　　B.－a2 　　　　C.a2 　　　　D.a2 ∴∠BDC＝30°，〈，〉＝30°. 又菱形的边长为a，∴BD＝a. ∴·＝||||cos〈，〉 ＝a×a×cos 30°＝a2. e＝e e＝|e1|2＝1，e＝|e2|2＝1，故C正确. 如图所示，设＝e1，＝e2， 则＝e1＋e2，＝e1－e2. ∵⊥，∴(e1＋e2)⊥(e1－e2)，故D正确. cos〈a，b〉＝＝＝－， 又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝， 如图，＝a，＝b，过B作BB′⊥OA， 垂足为B′，则b在a上的投影为，∵|b|＝12， ∴||＝12×cos ＝6，又|a|＝2，∴＝－3a. ∴cos θ≤.又∵0≤θ≤π，∴≤θ≤π.  · ∴8≤4||≤16， ∴·的取值范围是[8,16]. 则在上的投影为， ∴在上的投影的数量为||，由向量数量积的几何意义知  ·＝||·||＝4||. ∴||≤||≤||，即2≤||≤4， $$