7.4 数学建模活动：周期现象的描述 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第三册学习笔记（人教B版2019）

§7.4　数学建模活动： 　　　周期现象的描述 第七章　三角函数 学习目标 1.能利用三角函数解决简单的实际问题. 2.体会利用三角函数构建事物周期变化的数学模型. 现实世界中，许多事物的运动、变化呈现出一定的周期性，例如，地球的自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；海水在月球和太阳引力下发生的涨落现象；做简谐运动的物体的位移变化；人体在一天中血压、血糖浓度的变化等等，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它可以借助三角函数来描述，利用三角函数的图象和性质解决相应的实际问题，今天，我们就一起来探究如何构建三角函数模型解决实际问题. 导语 内容索引 一、三角函数模型在物理学中的应用 二、三角函数模型在生活中的应用 课时对点练 三、确定模型解决实际问题 随堂演练 三角函数模型在物理学中的应用 一 1.单摆、弹簧等简谐振动模型 单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达为y＝Asin(ωx＋φ)，其中x表示时间，y表示位移，A表示振幅， 表示频率，φ表示初相位. 2.音叉发出的纯音振动模型 音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y＝Asin ωx，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移， 表示纯音振动的频率(对应音高)，A表示纯音振动的振幅(对应音强). 知识梳理 6 3.交变电流模型 交变电流可以用三角函数表达为y＝Asin(ωx＋φ)，其中x表示时间，y表示电流，A表示最大电流， 表示频率，φ表示初相位. 4.潮汐现象模型 潮汐现象可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，A>0，ω>0)来表示. 知识梳理 7 例1　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移 s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin ，t∈[0，＋∞).用“五点法” 作出这个函数的简图，并回答下列问题： (1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ 8 列表如下： 描点、连线，图象如图所示. 9 (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ 小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm. 10 (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. 11 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 反思感悟 12 跟踪训练1　已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ). (1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ) 在一个周期内的图象，根据 图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； 13 14 (2)如果t在任意一段 秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ ∴ω≥300π>942， 又ω∈N＋，故所求最小正整数ω＝943. 15 二 三角函数模型在生活中的应用 例2　已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象. (1)根据以上数据，求其最小正周期和函数解析式； 17 又当t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5； t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 18 (2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8∶00到20∶00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行活动？ 19 ∵当y>1时，才对冲浪爱好者开放， 解得12k－3<t<12k＋3(k∈Z). 又0≤t≤24， ∴0≤t<3或9<t<15或21<t≤24， ∴在规定时间内冲浪爱好者只有6个小时可以进行活动，即9<t<15. 20 解三角函数应用问题的基本步骤 反思感悟 21 跟踪训练2　某旅游区每年各个月接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而一年中的第n月的从事旅游服务工作的人数f(n)可以近似用函数 f(n)＝3 000cos ＋4 000来刻画(其中正整数n表示一年中的月份).当 该地区从事旅游服务工作人数在5 500或5 500以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么一年中是“旺季”的月份总数有 A.4个 　　　　B.5个 　　　　C.6个 　　　　D.7个 √ 22 解得－6＋12k≤n≤－2＋12k，k∈Z， ∵1≤n≤12，∴6≤n≤10， ∵n是正整数， ∴n＝6,7,8,9,10，共5个. 23 三 确定模型解决实际问题 例3　下表是某地某年月平均气温(华氏)： 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴(x＝月份－1)，以平均气温为y轴. (1)描点作图，用正弦曲线去拟合这些数据； 25 如图. 26 (2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A； 最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0， 因为2A的值等于最高气温与最低气温的差， 即2A＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8. 27 (3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？ 因为x＝月份－1， 所以不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0. 28 根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题. 反思感悟 29 跟踪训练3　一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系 的一个三角函数式为_______________. t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0 30 设y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)， 又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1， t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0 31 1.知识清单： (1)三角函数模型在物理学及生活中的应用. (2)根据确定的三角函数模型解决生活中的问题. 2.方法归纳：数形结合，数学建模. 3.常见误区：忽视实际生活中对三角函数的模型的限制. 课堂小结 随堂演练 四 1.如图所示的一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的 角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝ ，则当 t＝0时，角θ的大小及单摆的频率是 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 3.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动，已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定： s1＝ ，s2＝10cos 2t，当t＝ 时，s1与s2的大小关系是 A.s1>s2 B.s1<s2 C.s1＝s2 D.不能确定 1 2 3 4 √ 4.设y＝f(t)是某港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数，其中0≤t≤24，下列是该港口某一天从0 h至24 h记录的时间t与水深y的关系： 1 2 3 4 t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ) (t∈[0,24])的图象，最能近似表示数据间对应关系的是_______________. 又当t＝0时，y＝12，且点(0,12)在函数的单调递增区间上， ∴φ＝2nπ，n∈Z，令n＝0，得φ＝0. 1 2 3 4 t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 课时对点练 五 1.单摆离开平衡位置O的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为 s＝6sin ，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为 A.2 s 　　　　B.1 s 　　　　C.0.5 s 　　　　D.0.25 s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲 线近似满足函数y＝3sin ＋k.据此函数 可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 A.5 　　　B.6 　　　C.8 　　　D.10 根据图象得函数的最小值为2， 有－3＋k＝2，解得k＝5，故最大值为3＋k＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是 A.该质点的振动周期为0.7 s B.该质点的振幅为5 cm C.该质点在0.1 s和0.5 s时速度最大 D.该质点在0.3 s和0.7 s时加速度最大 由图象易知振幅为5 cm，周期T＝2×(0.7－0.3)＝0.8 s，故A错误，B正确； 在最高点时，速度为0，加速度最大，故C，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价做了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500 (ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示： 则此楼盘在第三季度的平均单价 大约是 A.10 000元 B.9 500元 C.9 000元 D.8 500元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ x 1 2 3 y 10 000 9 500 ？ 因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000； 当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x＝3时，y＝9 000. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　令x＝3可排除D，令x＝7可排除B， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，某节日期间某一天商场 的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则下列时间段中人流量增加 的是 A.[0,5] 　　　B.[5,10] 　　　C.[10,15] 　　　D.[15,20] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式是s＝Asin(ωt＋φ)，0<φ<　，函数图象如图 所示，则φ＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示的坐标系中，轮胎以角速度ω rad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针(看作一个点P)到原点(O)的距离为r. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求气针(P)的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求出P的运动周期； 过P作x轴的垂线，设垂足为M(图略)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin ＋20，x∈[4,16]. (1)求该地区这一段时间内的最大温差； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 最大值为30，即最高温度为30 ℃， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 最小值为10，即最低温度为10 ℃， 所以最大温差为30－10＝20(℃). (2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 而x∈[4,16]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位 置图，经过　个周期，乙将传播到 A.甲 　　　　B.乙 　　　　C.丙 　　　　D.丁 相邻的最大值和最小值之间间隔区间长度为半个周期，由题图可知应传播至丙位置. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 12.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧 的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设 所对的圆心角为α，则α＝l， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a＋Acos (x＝1,2,3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均 气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温值为____ ℃. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.如图是一半径为2米的水轮，水轮的圆心O距离水面1米，已知水轮自点M开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点M距水面的高度y(米)与时间x(秒)满足函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋1 ，则A＝____，ω＝____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 ∵水轮的半径为2米，水轮圆心O距离水面1米，∴A＝2， 又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒， 15.科学研究已经证实，人的智力、情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期，按y＝sin(ωx＋φ)进行变化，记智力曲线为I，情绪曲线为E，体力曲线为P，且现在三条曲线都处于x轴的同一点处，那么第322天时 A.智力曲线I处于最低点 B.情绪曲线E与体力曲线P都处于上升期 C.智力曲线I与情绪曲线E相交 D.情绪曲线E与体力曲线P都关于(322,0)对称 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ B项，情绪曲线E处于下降期，故B错误； C项，经过n个周期后，因为周期不同，所以智力曲线I与情绪曲线E不一定相交，故C错误； D项，(322,0)位于体力曲线P与情绪曲线E的交点，且在x轴上，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，某公园摩天轮的半径为40 m，点O距地面的高度为50 m，摩天轮逆时针转动，每3分钟转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处. (1)已知在时刻t(分钟)时点P距离地面的高度f(t) ＝Asin(ωt＋φ) ＋h，求2 022分钟 时点P距离地面的高度； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，A＝40，h＝50，T＝3， 又f(0)＝40sin φ＋50＝10，即sin φ＝－1， 即2 022分钟时，点P所在位置的高度为10 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当离地面(50＋ )m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有 多少时间可以看到公园全貌？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴转一圈中有0.5分钟时间可以看到公园全貌. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2t＋ 0 π 2π t － s＝4sin 0 4 0 －4 0 将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin ＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm. 又当t＝时，I＝0，即sin＝0， 而|φ|<，∴φ＝. 故所求的解析式为I＝300sin，t≥0. 由题图知A＝300，设t1＝，t2＝， 则周期T＝2(t2－t1)＝2×＝. ∴ω＝＝150π. 即≤(ω>0)， 依题意得，周期T≤， 由表中数据可知，T＝12，∴ω＝＝. 当t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，∴A＝0.5＝， ∴函数解析式为y＝cos t＋1(0≤t≤24). ∴y＝cos t＋1>1， 即cos t>0(0≤t≤24)， 则－＋2kπ<t<＋2kπ(k∈Z)， 令3 000cos＋4 000≥5 500， 则cos≥， 则－＋2kπ≤＋≤＋2kπ，k∈Z， 故＝7－1＝6，所以T＝12. ①＝cos ；②＝cos ；③＝cos . 代入①得＝>1≠cos ，故①不适合； 代入②得＝<0≠cos ，故②不适合.所以应选③.  y＝－4cos t 则从表中数据可以得到A＝4，ω＝＝＝， 取φ＝－，则y＝4sin， 即y＝－4cos t. A.， 　　　B.2， 　　　C.，π 　　　D.2，π 由函数解析式易知，单摆的周期为＝π，故单摆的频率为. 当t＝0时，θ＝sin ＝， sin 2.已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相分别是 A.， 　　　　B.， 　　　　C.， 　　　　D.， 由图象过点得sin φ＝，∴sin φ＝， ∵|φ|<，∴φ＝，因此频率是，初相为. 由题意可知A＝，32＋2＝52， 则T＝8，ω＝＝，∴y＝sin. 当t＝时，s1＝5sin＝5sin ＝－5， s2＝10cos＝10 cos ＝－5，所以s1＝s2. 5sin  y＝12＋3sin t ∴T＝12，ω＝＝， ∴y＝12＋3sin t. 由图表可知，k＝12，A＝3，＝3， 由题意，知周期T＝＝1 s，从最右边到最左边的时间是半个周期，为0.5 s. 所以ω可取，φ可取π，即y＝500sin＋9 500； 5.据市场调查，一年内某种商品每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为 A.f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N＋) B.f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N＋) C.f(x)＝2sin x＋7(1≤x≤12，x∈N＋) D.f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N＋) ∵当x＝3时，y＝9，∴2sin＋7＝9， 即sin＝1.∵|φ|<，∴φ＝－. ∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N＋). 由A＝＝2可排除C； 方法二　由题意，可得A＝2，b＝7，周期T＝＝2×(7－3)＝8， 则ω＝，f(x)＝2sin＋7. 由－＋2kπ≤≤＋2kπ，k∈Z，知函数F(t)的单调递增区间为[－π＋4kπ，π＋4kπ]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π].因为[10,15]⊆[3π，5π]，所以C符合题意.  f＝＝＝＝. 7.简谐运动y＝sin的频率f＝______. 根据图象，知，两点的水平距离 刚好是个周期，所以T＝－＝， 所以T＝1，则ω＝＝2π. 因为t＝时，函数取得最大值， 所以2π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z. 所以φ＝＋2kπ，k∈Z，又0<φ<，所以φ＝. 则MP就是正弦线.∴y＝rsin(ωt＋φ)，因此T＝. 当φ＝，r＝ω＝1时，y＝sin，如图， (2)当φ＝，r＝ω＝1时，作出其图象. 其图象是将y＝sin t的图象向左平移个单位得到的. 因为x∈[4,16]，则x－∈. 由函数解析式易知，当x－＝，即x＝14时，函数取得最大值， 当x－＝－，即x＝6时，函数取得最小值， 令10sin＋20＝15， 可得sin＝－， 而x∈[4,16]，所以x－＝－，即x＝. 令10sin＋20＝25， 可得sin＝， 所以x－＝即x＝. 故该细菌在这段时间内能存活－＝(小时). 弦AP的长d＝2|OA|·cos＝2|OA|·sin ＝2sin ， 即有d＝f(l)＝2sin . 由题意得∴ ∴y＝23＋5cos， 当x＝10时，y＝23＋5×＝20.5. ∴T＝15＝，∴ω＝. 第322天时，322除33余25,322除28余14,322除23余0，即智力曲线I位于周期处，情绪曲线E位于周期处，体力曲线P刚好位于起始点处. A项，>，则智力曲线I不处于最低点，故A错误； ∴f(2 022)＝40sin＋50＝40sin＋50＝10， ∴ω＝＝； 又|φ|≤，∴φ＝－； ∴f(t)＝40sin＋50(t≥0)； 20 由(1)知，f(t)＝40sin＋50＝50－40cos t(t≥0)； 令f(t)>50＋20， ∴－40cos t>20，即cos t<－， 解得＋2kπ<t<＋2kπ(k∈N＋)，即3k＋<t<3k＋(k∈N＋)； ∵－＝， $$