7.3.5 已知三角函数值求角 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第三册学习笔记（人教B版2019）

7.3.5　已知三角函数值求角 第七章　§7.3　三角函数的性质与图象 学习目标 1.掌握已知三角函数值求角的步骤和方法. 2.了解符号arcsin x，arccos x，arctan x的含义，并能用这些符号表示非特殊角. 特工人员发送情报时都用密码传送，接到密码的人员要把密码还原到原来的文字才能使用.这种加密与还原的过程类似于数学上求函数值与反函数值.如已知角求三角函数值是加密的过程，那么由三角函数值求角就是还原的过程.对于某一种三角函数来说，由于每一个三角函数值都有多个角对应，因此由三角函数值求角就变得比较困难.究竟如何由三角函数值求角呢？下面我们来一起学习吧！ 导语 内容索引 一、已知正弦、余弦值求角、解不等式 二、已知正切值求角、解不等式 课时对点练 三、arcsin x，arccos x，arctan x的含义 随堂演练 已知正弦、余弦值求角、解不等式 一 问题1　如何求解关于x的方程sin x＝a和不等式sin x<a(或sin x>a)的解集？ 提示　(1)方法一　利用三角函数线 如图，以射线OP与OP′为终边的角构成sin x＝a的解集. 终边在图中阴影部分(不含边界)的角构成sin x<a的解集，终边在空白部分(不含边界)的角构成sin x>a的解集. (2)方法二　利用三角函数图象 ①如图，交点P与P′的横坐标为[0,2π]内使sin x＝a成立的x的值，即为sin x＝a在[0,2π]上的解. ②曲线上加粗部分(不含边界)对应的x值构成 sin x<a在[0,2π]上的解集；其余部分(不含边界)对应的x值构成sin x>a在[0,2π]上的解集. ③结合正弦函数的周期性把①②中的解集扩展到整个定义域内. 问题2　对于关于x的方程cos x＝a和不等式cos x<a(或cos x>a)又怎么求解呢？ 提示　(1)方法一　利用三角函数线 如图，以射线OP与OP′为终边的角构成cos x＝a的解集. 终边在阴影部分(不包含边界)的角构成cos x<a的解集，终边在空白部分(不包含边界)的角构成cos x>a的解集. (2)方法二　利用三角函数图象 ①如图，交点P与P′的横坐标为[0,2π]内使cos x＝a成立的x的值，即为cos x＝a在[0,2π]上的解. ②曲线上加粗部分(不含边界)对应的x值构成 cos x<a在[0,2π]上的解集；其余部分(不含边界)对应的x值构成cos x>a在[0,2π]上的解集. ③结合余弦函数的周期性把①②中的解集扩展到整个定义域内. 10 11 12 已知正弦、余弦三角函数值求特殊角的方法 (1)利用单位圆中的三角函数线，先求一个周期内的角，再加上周期的整数倍，即得到所有的角. (2)利用三角函数的图象，作出一个周期内的三角函数图象，找出一个周期内的角，再加上周期的整数倍即可. 反思感悟 13 利用三角函数线可知，x∈[0,2π]时， 14 15 二 已知正切值求角、解不等式 问题3　类比已知正、余弦值，求角的方法；怎么求解关于x的方程tan x＝a和不等式tan x<a(或tan x>a)的解集？ 提示　(1)方法一　利用三角函数线 以射线OP与OP′为终边的角构成tan x＝a的解集. 终边在图中阴影部分(不含边界)的角构成tan x<a的解集，终边在空白部分(不含边界)的角构成tan x>a的解集. (2)方法二　利用三角函数图象 ③结合正切函数的周期性把①②中的解集扩展到整个定义域内. 19 20 21 利用单位圆中的正切线，先求出一个周期内的角，再加上kπ即可由正切函数值求角，也可以利用正切函数的图象求解. 反思感悟 22 23 24 三 arcsin x，arccos x，arctan x的含义 1.在区间 内，满足sin x＝y，y∈[－1,1]的x只有一个，记作x＝ ________. 2.在区间_________内，满足cos x＝y，y∈[－1,1]的x只有一个，记作x＝_________. 3.在区间________内，满足tan x＝y，y∈R的x只有一个，记作x＝_______. arcsin y [0，π] arccos y arctan y 知识梳理 27 例3　(1)arccos  ＝_____. 28 29 (3)已知tan α＝－2，α∈(0,2π)，求α的值. ∴β＝arctan(－2)， ∴α＝β＋kπ＝arctan(－2)＋kπ，k∈Z， 又α∈(0,2π)， ∴α＝arctan(－2)＋π或α＝arctan(－2)＋2π. 30 (1)方程y＝sin x＝a，|a|≤1的解集可写为{x|x＝arcsin a＋2kπ或x＝－arcsin a＋(2k＋1)π，k∈Z}，也可化简为{x|x＝(－1)karcsin a＋kπ，k∈Z}. (2)方程cos x＝a，|a|≤1的解集可写成{x|x＝±arccos a＋2kπ，k∈Z}. (3)方程tan x＝a，a∈R的解集为{x|x＝arctan a＋kπ，k∈Z}. 反思感悟 31 32 33 1.知识清单： (1)利用单位圆中的三角函数线或三角函数图象，由三角函数值求角、解不等式. (2)arcsin x，arccos x，arctan x的含义. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：arcsin x，arccos x，arctan x的取值范围容易出错. 课堂小结 随堂演练 四 1.(多选)以下各式中正确的是 A.arcsin 1＝ B.arccos(－1)＝π C.arctan 0＝0 D.arccos 1＝2π 1 2 3 4 √ √ √ 1 2 3 4 √ √ 1 2 3 4 1 2 3 4 课时对点练 五 1.若α是三角形内角，且sin α＝ ，则α等于 A.30° B.30°或150° C.60° D.120°或60° ∴α＝30°或150°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.下列叙述错误的是 A.arctan y表示一个 内的角 B.若x＝arcsin y，|y|≤1，则sin x＝y C.若tan ＝y，则x＝2arctan y D.arcsin y，arccos y中的y∈[－1,1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 因为Δ＝16m2－16(2m－1)＝16(m－1)2≥0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ① ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当x∈[0,2π]时，求x的取值集合； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)当x∈R时，求x的取值集合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.若 ，则在区间[0,2π]上解的个数为 A.5 　　　　B.4 　　　　C.3 　　　　D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 又－8≤x≤8， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知θ为锐角，在以下三个条件中任选一个，并解答以下问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在(1)的条件下，求函数f(x)＝tan(2x＋θ)的定义域和周期； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)求(2)中满足f(x)>－1时x的取值集合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 例1　已知f(x)＝2sin. (1)若x∈且f(x)＝－，求x的值； ∴角2x－的终边为OP或OP′， 又sin＝sin＝－， ∴2x－＝－＋2kπ或2x－＝－＋2kπ，k∈Z， 即x＝kπ或x＝－＋kπ，k∈Z， 又∵x∈，∴x＝－或x＝0. ∵2sin＝－，即sin＝－， ∴角2x－的正弦线向下，且长度为，如图， 解得－＋kπ<x<kπ，k∈Z， ∴原不等式的解集为. 原不等式可化为sin<－， (2)解不等式f(x)<－. 由(1)及图可知－＋2kπ<2x－<－＋2kπ，k∈Z. 解得x＝＋或x＝＋，k∈Z. 跟踪训练1　已知f(x)＝cos. (1)若f(x)＝，求x； cos ＝cos ＝， 令3x＋＝＋2kπ或3x＋＝＋2kπ，k∈Z. (2)解不等式f(x)<. 由(1)及三角函数线知，＋2kπ<3x＋<＋2kπ，k∈Z， 解得＋<x<＋，k∈Z. ①交点P的横坐标为内使tan x＝a成立 的x的值，即为tan x＝a在上的解. ②曲线上加粗部分(不含边界)对应的x值构成 tan x<a在上的解集；其余部分(不含边界)对应的x值构成tan x>a在上的解集. 例2　已知f(x)＝tan. (1)若f(x)＝，求x； ∵tan ＝tan＝， ∴x＋＝＋kπ，k∈Z. 即x＝＋2kπ，k∈Z. tan＝>0， 角x＋对应的正切线向上，且长度为， 如图所示，∴角x＋的终边为OT或OT′. ∴原不等式的解集为. (2)解不等式f(x)≥. 由(1)及三角函数线知＋kπ≤x＋<＋kπ，k∈Z， 解得＋2kπ≤x<＋2kπ，k∈Z， 解得x＝＋，k∈Z， 又x∈，∴x＝－或x＝. 跟踪训练2　已知f(x)＝tan. (1)若f(x)＝－，x∈，求x； ∵在内，tan＝－， ∴2x－＝－＋kπ，k∈Z， ∴原不等式的解集为. (2)解不等式f(x)<－. 令－＋kπ<2x－<－＋kπ，k∈Z， 解得－＋<x<＋，k∈Z. 问题4　对于sin x＝，cos x＝，tan x＝2，x∈对应的角显然不是特殊角，如何表示？ 提示　sin x＝，cos x＝，tan x＝2，x∈的角分别可表示为arcsin ，arccos ，arctan 2. 在[0，π]内，cos ＝，∴arccos ＝. ∴当x∈R时，x＝arcsin ＋2kπ或x＝π－arcsin ＋2kπ，k∈Z. ∵当x∈时，sin x＝， (2)已知sin x＝，求x的值. ∴x＝arcsin . 设β∈，且tan β＝－2， 当x∈(π，2π)时，x＝π＋arctan . ∴当x∈(0,2π)时，x＝arctan 或x＝π＋arctan . 跟踪训练3　(1)已知tan x＝，且x∈(0,2π)，则x＝___________________. arctan 或π＋arctan  ∵tan x＝，∴当x∈(0，π)时，x＝arctan ； (2)arccos＝______，arctan ＝_____. arcsin x∈，arccos x∈[0，π]，arctan x∈，故arccos 1＝0，故D错，A，B，C均正确. ∴x＝arcsin 或x＝π－arcsin ， ∴方程的解集为. ∵sin x＝(x∈[0,2π))， 2.(多选)若sin x＝(x∈[0,2π))，则x等于 A.arcsin  　　　B.π－arcsin  　　　C. 　　　D. ＋，k∈Z 解得x＝＋，k∈Z. 由题意得2x－＝＋kπ，k∈Z， 3.已知tan＝，则x＝____________. ∴－＋2kπ<2x<＋2kπ，k∈Z. 解得－＋kπ<x<＋kπ，k∈Z. 依题意得cos 2x－1>0，∴cos 2x>， 4.函数y＝ln(cos 2x－1)的定义域为__________________________. ∵sin 30°＝， sin 150°＝sin(180°－30°)＝sin 30°＝， 把选项中α的值代入原式可得cos ＝，cos＝. 2.已知cos α＝，α∈，则 A.α＝ 　　　B.α＝－ 　　　C.α＝± 　　　D.α＝± 而tan＝－tan ＝－，tan＝－tan ＝－， ∴x＝π－＝或x＝2π－＝. ∵tan x＝－<0，∴x为第二或第四象限角. 3.若tan x＝－，0<x<2π，则角x等于 A.或 　　　B.或 　　　C.或 　　　D.或 符合条件tan x0＝的锐角x0＝. C项中没有给定x的范围，＝arctan y＋kπ，k∈Z，即x＝2arctan y＋2kπ，k∈Z. 5.不等式sin>－的解集为 A. B. C. D. 由题意，得－＋2kπ<x＋<＋2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z. 6.(多选)设sin θ，cos θ是方程4x2－4mx＋2m－1＝0的两个根，<θ<2π，则 A.m＝ B.m＝ C.θ＝ D.θ＝ 所以由根与系数的关系，得 ②代入①的平方，得1＋2×＝m2， 解得m＝或m＝. 因为<θ<2π，所以sin θcos θ<0，即<0， 所以m<，故m＝， 则原方程变为4x2－2(1－)x－＝0， 解得x1＝，x2＝－， 由<θ<2π，可知sin θ<0，cos θ>0， 所以cos θ＝，sin θ＝－，所以θ＝. ∵在(0,2π)内，cos ＝cos ＝－， 7.已知cos＝－，x∈(－π，π)，则x＝___________. －或 ∴x－＝＋2kπ或x－＝＋2kπ，k∈Z， ∴x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z， 又x∈(－π，π)，∴x＝－或x＝. ∵tan＝－，且－∈， 8.已知x＝arctan，x∈，则sin x＝______. － ∴x＝－，∴sin x＝sin＝－. ∵cos＝－， 9.已知cos＝－，x∈[0,2π]，求x的取值集合. ∴2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ. 即x＝＋kπ(k∈Z)或x＝＋kπ(k∈Z)， 又x∈[0,2π]，∴x的取值集合为. ∵y＝sin x在上单调递增， 10.已知sin x＝. (1)当x∈时，求x的取值集合； 且sin ＝.∴满足条件的角只有x＝. ∴x的取值集合为. ∵sin x＝>0， ∴x为第一或第二象限角且sin ＝sin＝. ∴在[0,2π]上符合条件的角x＝或x＝. ∴x的取值集合为. 当x∈R时，x的取值集合为. ∵tan＝，∴2x＋＝＋kπ(k∈Z)， tan＝ ∴x＝－＋(k∈Z). ∵x∈[0,2π]，∴x＝或x＝或x＝或x＝. 12.在△ABC中，sin－cos＝0，则A等于 A. 　　　　B. 　　　　C.或 　　　　D.或 ∴cos≠0，∴tan＝1， ∴2A－＝＋kπ，k∈Z，∴A＝＋，k∈Z， 又A∈(0，π)，∴A＝或. sin＝cos， 若cos＝0，则sin＝0， 与sin2＋cos2＝1矛盾， 13.若＜x＜π且cos x＝－，则x等于 A.arccos  B.－arccos  C.π－arccos  D.π＋arccos  ∵arcsin＝arcsin ＝， 14.求值：arcsin＋tan＋2sin＝______. tan＝tan＝－， 2sin＝2sin ＝， ∴原式＝－＋＝. 15.函数f(x)＝＋log2(2sin x－)的定义域是_________________ ________________. ∪ ∪ 依题意即 由sin x>，得＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z， ∴－<x<－或<x<或<x≤8. 故f(x)的定义域为∪∪. ①＝； ②2sin2θ－cos θ－1＝0； ③·sin·cos＝. (1)若选________(填序号)，求θ的值； 若选①，因为＝＝＝cos θ＝， 又θ为锐角，所以θ＝. 若选②，由2sin2θ－cos θ－1＝0，得2cos2θ＋cos θ－1＝0，即(2cos θ－1)(cos θ＋1)＝0，解得cos θ＝或cos θ＝－1，因为θ为锐角，所以cos θ＝，即θ＝. 若选③，因为·sin·cos＝·(－cos θ)·(－sin θ)＝cos2θ＝，解得cos θ＝±，又θ为锐角，所以cos θ＝，即θ＝. 由(1)知θ＝，则函数的解析式f(x)＝tan. 由2x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z， 所以函数的定义域为. 函数的周期T＝. 由(2)知f(x)＝tan. ∵tan>－1， 令kπ－<2x＋<kπ＋，k∈Z， 解得－<x<＋，k∈Z， ∴满足f(x)>－1时x的取值集合为. $$