7.3.4 正切函数的性质与图象 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第三册学习笔记（人教B版2019）

7.3.4　正切函数的性质 与图象 第七章　§7.3　三角函数的性质与图象 学习目标 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质. 2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题. 三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，因此，进一步研究正切函数的图象和性质就成为我们学习的必然，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质呢？我们知道，研究一个新的函数，应从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值(值域)等方面来进行研究.请同学们思考本节中的几个问题. 导语 内容索引 一、正切函数的定义 二、正切函数的定义域、周期性与奇偶性 课时对点练 三、正切函数的单调性与值域 随堂演练 四、正切函数的图象 正切函数的定义 一 问题1　请同学们回忆角的正切是如何定义的？ 问题2　由以上，你能定义正切函数吗？ 正切函数 对于任意一个角x，只要_________________，就有_____确定的正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数. 唯一 知识梳理 7 二 正切函数的定义域、周期性与奇偶性 问题3　你还记得诱导公式②，④中和正切有关的公式吗？ 提示　tan(－α)＝－tan α，tan(π＋α)＝tan α. 1.周期性：由诱导公式tan(x＋π)＝tan x，且x≠ ＋kπ，k∈Z，可知正切函数是_________，周期是π. 2.奇偶性：由诱导公式tan(－x)＝－tan x，x≠ ＋kπ，k∈Z，可知正切函数是_______. 周期函数 奇函数 知识梳理 10 注意点： 注意区分正切函数与正弦函数、余弦函数的最小正周期，求周期的公式为：T＝ . 知识梳理 11 √ 12 √ 13 (1)判断正切函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠ ＋kπ，k∈Z. (2)与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略 ①一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝ ，常常利用此公式来求周期. ②判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系. 反思感悟 14 跟踪训练1　函数f(x)＝cos ＋tan x为 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 √ 因为f(x)＝sin x＋tan x， f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，故函数为奇函数. 15 三 正切函数的单调性与值域 问题4　随着角的变化，其正切线是如何变化的？其正切值的取值是怎样的？ 提示　当角x从0开始增大，并越来越接近 时，tan x的值从0开始增大，且tan x能取到[0，＋∞)内的所有数，类似地，tan x能取到(－∞，0]内的所有数. 1.单调性：正切函数在每一个开区间 (k∈Z)上都是_____ _____的. 2.值域：正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集___. 3.正切函数y＝tan x的零点为____，k∈Z. 单调 递增 R kπ 知识梳理 18 例2　已知函数f(x)＝3tan . (1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间； 19 则原函数的最小正周期为4π， 20 21 (1)运用正切函数单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. ②运用单调性比较大小关系. (2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法 y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解 ＋kπ<ωx＋φ< ＋kπ，k∈Z即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间. 反思感悟 22 23 因为tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， (2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小. 所以tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 1. 24 四 正切函数的图象 问题5　你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？ 问题6　如何画出函数y＝tan x的图象？ 一般地，y＝tan x的函数图象称为正切曲线. 正切函数的对称中心为_____________. 知识梳理 28 注意点： 正切函数只有对称中心，没有对称轴. 知识梳理 29 例3　设函数f(x)＝tan . (1)求函数f(x)的最小正周期、对称中心； 30 (2)作出函数f(x)在一个周期内的简图. 31 32 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切 曲线是由被相互平行的直线x＝ ＋kπ，k∈Z隔开的无穷多支曲线组成的， y＝tan x的对称中心为 ，k∈Z. 反思感悟 33 跟踪训练3　画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性. 34 其图象如图，由图象可知， 值域为[0，＋∞)，是偶函数. 函数y＝|tan x|的周期T＝π， 35 1.知识清单： (1)正切函数的定义. (2)正切函数的定义域、周期性与奇偶性. (3)正切函数的单调性与值域. (4)正切函数的图象. 2.方法归纳：三点两线法、整体代换法、换元法. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 √ √ 1 2 3 4 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 > 课时对点练 六 1.函数y＝tan 是 A.最小正周期为4π的奇函数 B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为4π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 所以函数为最小正周期为2π的奇函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ D项，tan(－142°)＝tan(－142°＋180°)＝tan 38°>tan 36°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 易知该函数的最小正周期为π，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (－∞，－1]∪[1，＋∞) ∴－1≤ω<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [－1,0) 9.求函数y＝tan 2x的定义域、值域和最小正周期，并作出它在区间[－π，π]上的图象. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ √ f(x)＝tan x的周期为π，故A正确； 函数f(x)＝tan x为奇函数，故B不正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.若f(x)＝tan ，则 A.f(0)>f(－1)>f(1) B.f(0)>f(1)>f(－1) C.f(1)>f(0)>f(－1) D.f(－1)>f(0)>f(1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∴f(1－π)<f(－1)<f(0)， ∴f(0)>f(－1)>f(1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令t＝tan x，则t∈[－1,1]， ∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5. [－4,4] 故所求函数的值域为[－4,4]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 当x＝π时，y＝0； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴f(x)＝Atan(2x＋φ)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又f(x)过点(0,1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 提示　＝tan α. 提示　y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z.  x≠＋kπ，k∈Z 例1　(1)函数y＝tan的定义域是 A. B. C. D. 由x－≠＋kπ，k∈Z， 得x≠＋kπ，k∈Z. ＝tan＝f ， ∴T＝. (2)函数f(x)＝tan的最小正周期为 A. 　　　　B. 　　　　C.π 　　　　D.2π 方法一　T＝＝＝. 方法二　f(x)＝tan＝tan ，定义域关于原点对称， 所以f(x)＝－3tan在(k∈Z)上单调递减. 单调递减区间为(k∈Z). 因为f(x)＝3tan＝－3tan，所以T＝＝＝4π. 由－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)，得－＋4kπ<x<＋4kπ(k∈Z). 因为y＝3tan在(k∈Z)上单调递增， 因为0<<<， 且y＝tan x 在上单调递增， 所以tan <tan ，所以f(π)>f . (2)试比较f(π)与f 的大小.  f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan ，  f ＝3tan＝3tan＝－3tan ， － 跟踪训练2　(1)函数y＝tan，x∈的值域是________. (1，] 由x∈，所以＋∈，结合正切函数的性质可得1<y≤. 显然－<2－π<3－π<1<，且y＝tan x在上单调递增， 又因为<2<π，所以－<2－π<0. 因为<3<π，所以－<3－π<0， 提示　可以先考察函数y＝tan x，x∈的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展. 提示　取内的四个点，列表如右， x 0 y＝tan x 0 1 在平面直角坐标系中，描出这4个点， 连接这4个点，形成光滑的曲线得到 y＝tan x，x∈的图象，通过作出 关于原点对称的的图象从而得到y＝tan x，x∈的图象，由正切函数的周期性，可知y＝tan x在，k∈Z上的图象与在上的图象完全相同. (k∈Z) 得x＝＋kπ(k∈Z)， ∴f(x)的对称中心是(k∈Z). ∵ω＝，∴最小正周期T＝＝＝2π. 令－＝(k∈Z)， ∴函数y＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是， 在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝， 从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图). 令－＝0，则x＝；令－＝，则x＝； 令－＝－，则x＝；令－＝，则x＝； 令－＝－，则x＝－. 函数y＝|tan x|的单调递增区间为，k∈Z， 单调递减区间为，k∈Z. 由y＝|tan x|，得y＝ 函数y＝|tan x|的定义域为， 3.常见误区：最小正周期T＝，在定义域内不单调，对称中心为(k∈Z). 最小正周期为T＝＝. 1.函数y＝tan的最小正周期是 A.π 　　　　B.2π 　　　　C. 　　　　D. ∴x≠＋kπ，k∈Z. 2.函数y＝tan的定义域是 A. B. C. D.  y＝tan＝－tan， ∴令x－≠＋kπ，k∈Z. 3.函数y＝tan的图象 A.关于原点对称 B.关于点对称 C.关于直线x＝－对称 D.关于点对称 解得x＝－＋，k∈Z； 令k＝1，得x＝， 所以y＝tan的图象关于点对称. 函数y＝tan， 令2x＋＝，k∈Z， 又0<<<，  y＝tan x在上单调递增， 所以tan <tan ，即tan <tan . 因为tan ＝tan ，tan ＝tan ， 4.比较大小：tan ____tan . T＝＝2π，  f(x)＝tan＝－tan ， 则f(－x)＝－tan＝tan ＝－f(x)， 令2x＋≠＋kπ，k∈Z， 2.(多选)与函数y＝tan的图象不相交的直线的方程可能是 A.x＝－ 　　　B.x＝ 　　　C.x＝ 　　　D.x＝ 解得x≠＋，k∈Z， 故该函数的定义域为. 令x＋＝，k∈Z，得x＝－，k∈Z， 3.函数y＝tan图象的一个对称中心是 A.(0,0) 　　B. 　　C. 　　D.(π，0) 所以函数y＝tan图象的对称中心是，k∈Z， 令k＝2，可得函数图象的一个对称中心为. A项，tan＝－tan <0<tan ； 4.下列正切值中，比tan 大的是 A.tan 　　B.tan  　　C.tan 35° 　　D.tan(－142°) B项，tan ＝tan <tan ； C项，∵＝×180°＝36°；∴tan 35°<tan 36°； 由题意，可知T＝，所以ω＝＝4，即f(x)＝tan 4x， 5.已知函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f 等于 A.0 　　　　B.－ 　　　　C.－1 　　　　D. 所以f ＝tan＝tan π＝0. 6.(多选)下列关于函数y＝tan的说法不正确的是 A.在区间上单调递增 B.最小正周期是π C.图象关于点对称 D.图象关于直线x＝对称 正切函数曲线没有对称轴，因此函数y＝tan的图象也没有对称轴，故D错误. 令－＋kπ<x＋<＋kπ，k∈Z，解得－＋kπ<x<＋kπ，k∈Z， 显然不满足上述关系式，故A错误； 令x＋＝，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z，任取k值不能得到x＝，故C错误； 因为函数y＝tan x在上单调递增，在上也单调递增， 7.函数y＝tan x的值域是______________________. ∵y＝tan ωx在上单调递减， 8.已知函数y＝tan ωx在区间上单调递减，则ω的取值范围是________. ∴ω<0且T＝≥π， 由2x≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z， 即函数的定义域为， 值域为(－∞，＋∞)，最小正周期为T＝， 对应图象如图所示.  y＝3tan可化为y＝－3tan， 10.求函数y＝3tan的单调递减区间. 由－＋kπ<x－<＋kπ，k∈Z， 得－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z， 故单调递减区间为，k∈Z. 11.(多选)已知函数f(x)＝tan x，x1，x2∈(x1≠x2)，则下列结论中正确的是 A.f(x1＋π)＝f(x1) B.f(－x1)＝f(x1) C.>0 D.f >(x1x2>0) 函数f(x)＝tan x为区间上的增函数，且x1，x2∈，故C正确； 由函数f(x)＝tan x的图象可知，函数在区间上有f >  ，在区间上有f < ，故D不正确.  f(x)在－＋kπ<x＋<＋kπ，k∈Z， 即－＋kπ<x<＋kπ，k∈Z上单调递增，且周期为π， ∵f(1)＝f(1－π)，－<1－π<－1<0<， 当t＝1，即x＝时，ymax＝4. ∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1. 13.函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为________. ∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4， 14.已知函数f(x)＝3tan(ωx＋φ)的图象与x轴相交的两相邻交点的坐标分别为和，则f(x)＝___________，f(x)≥的x的 取值范围为_______________________. 3tan (k∈Z) 由题意可得f(x)的周期为T＝－＝＝，所以ω＝， 所以f(x)＝3tan， 又因为图象过点， 所以tan＝0，即tan＝0， 所以＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝－＋kπ，k∈Z， 又|φ|<，所以φ＝－， 所以f(x)＝3tan. 由3tan≥，得tan≥， 所以＋kπ≤x－<＋kπ，k∈Z， 解得＋≤x<＋，k∈Z， 所以满足f(x)≥的x的取值范围是(k∈Z). 15.函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是 当<x<π时，tan x<sin x，y＝2tan x<0； 当π<x<时，tan x>sin x，y＝2sin x. 16.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，ω>0，φ∈(0，π)的部分图象如图所示，求f 的值. 依题意＝－＝， ∴T＝，∴＝，∴ω＝2， 又f(x)过点， ∴Atan＝0， ∴＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝－＋kπ，k∈Z， 又∵φ∈(0，π)，∴φ＝， ∴f(x)＝Atan， ∴Atan ＝1，∴A＝， ∴f(x)＝tan， ∴f ＝tan＝tan ＝. $$