7.3.3 余弦函数的性质与图象 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第三册学习笔记（人教B版2019）

7.3.3　余弦函数的性质 与图象 第七章　§7.3　三角函数的性质与图象 学习目标 1.会用“五点法”和图象平移伸缩变换作出余弦函数的简图. 2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间、最值、对称轴和对称中心，并 会简单应用. 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.过山车的运动包含了许多原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理.一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)等几个循环路径.这节课我们要研究的余弦函 数y＝cos x的图象也像过山车一样“爬升”“滑落”， 这是y＝cos x的什么性质？有了前面我们研究正弦 函数的经验，我们来探究一下余弦函数的性质与图象. 导语 内容索引 一、余弦函数 二、余弦函数的性质与图象 课时对点练 三、余弦函数的单调性 随堂演练 四、余弦函数的奇偶性、对称性 五、余弦函数的值域(最值) 余弦函数 一 对于任意一个角x，都有唯一确定的余弦cos x与之对应，所以y＝cos x是一个函数，一般称为余弦函数. 知识梳理 6 二 余弦函数的性质与图象 问题　由于刚学习了正弦函数的性质及图象，怎么根据正弦函数快速地确定余弦函数的性质与图象？ 余弦函数的性质与图象 性质 内容 图象   定义域 _____ 值域 _______ 周期性 T＝_____，k∈Z，最小正周期为____ [－1,1] R 2kπ 2π 知识梳理 9 奇偶性 _______ 单调区间 在_________________(k∈Z)上递增，在______________ (k∈Z)上递减 最值 当x＝2kπ(k∈Z)时，取得最大值____；当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，取得最小值______ 对称性 对称轴为x＝____，对称中心为 ，其中k∈Z 零点 ＋kπ(k∈Z) 偶函数 [－π＋2kπ，2kπ] [2kπ，π＋2kπ] 1 －1 kπ 知识梳理 10 三 余弦函数的单调性 √ 13 A.a>c>b B.c>b>a C.c>a>b D.b>c>a √ 14 (1)余弦型函数单调区间的求法 ①如果x的系数为负，则利用诱导公式变为正. ②将ωx＋φ看作整体，代入到余弦函数的单调区间解出x的范围. ③若求具体的或一个范围内的单调区间，则给k赋值，即可求出符合条件的单调区间. (2)关于三角函数值比较大小 利用诱导公式，统一成正弦或余弦函数，统一化到一个单调区间，利用单调性比较大小. 反思感悟 15 √ 16 17 四 余弦函数的奇偶性、对称性 √ (2)函数y＝3cos 2x＋4(x∈R)是 A.最小正周期为π的偶函数 B.最小正周期为2π的偶函数 C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为2π的奇函数 f(x)＝3cos 2x＋4，x∈R， 所以f(－x)＝3cos(－2x)＋4＝3cos 2x＋4＝f(x)为偶函数， √ 20 √ 21 反思感悟 22 √ 23 24 因为f(x)为奇函数， 25 五 余弦函数的值域(最值) 求三角函数最值的两种基本类型 (1)将三角函数式化为y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式，结合函数图象求最值. (2)将三角函数式化为关于cos x(或sin x)的二次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性求最值. 反思感悟 28 29 y取得最大值－a＋3， ∴－a＋3＝4，∴a＝－1， 综上可知，实数a的值为2或－1. 30 1.知识清单： (1)余弦函数. (2)余弦函数的性质与图象. (3)余弦函数的单调性、奇偶性、对称性. (4)余弦函数的值域(最值). 2.方法归纳：整体代换、换元、数形结合. 3.常见误区：正弦函数与余弦函数的单调性、对称性易混淆. 课堂小结 随堂演练 六 1.函数f(x)＝cos 2x，x∈R是 A.最小正周期为π的偶函数 B.最小正周期为π的奇函数 1 2 3 4 √ ∴f(x)是最小正周期为π的偶函数. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 3.函数y＝－cos x在区间 上 A.单调递增 B.单调递减 C.先减后增 D.先增后减 1 2 3 4 √ ∴函数的值域为[－1,2]. 1 2 3 4 [－1,2] 课时对点练 七 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ ∵y＝cos x在[0，π]上单调递减， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ g(x)＝sin 4x， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ f(x)的最小正周期为2π，故A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 ∵y＝a－bcos x(b>0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴y＝－4acos bx＝－2cos x， ∴函数y＝－4acos bx的最大值为2. 9.已知函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求f(x)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若x∈[0，π]，求f(x)的单调递减区间； 又0≤x≤π， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)画出f(x)在一个周期上的简图. 列表如下， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 描点作图，如图所示. 11.(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足：当sin x≤cos x时，f(x)＝cos x；当sin x>cos x时，f(x)＝sin x.以下结论正确的是 A.f(x)的最小值为－1 B.当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值 C.当且仅当 ＋2kπ<x<(2k＋1)π(k∈Z)时，f(x)>0 D.f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ √ 函数f(x)在一个周期内的图象如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②③④ ∴f(x)的对称中心的纵坐标为1，故①错； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得到y＝cos 2x＋1的图象，它是偶函数，故④正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1＋x)＝f(－x)，若函数y＝2cos ＋1与y ＝f(x)的图象的交点依次为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x2 024，y2 024)，则x1＋x2＋…＋x2 024等于 A.2 024 B.－2 024 C.－1 012 D.1 012 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知函数f(x)＝2cos ，x∈R. (1)求函数f(x)的单调递增区间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当x∈ 时，方程f(x)＝k恰有两个不同的实数根，求实数k的取 值范围； 方程f(x)＝k恰有两个不同的实数根， 即y＝f(x)的图象和直线y＝k有2个不同的交点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以当f(x)＝k恰有两个不同的实数根时， 实数k的取值范围是[0,2). (3)将函数f(x)＝2cos 的图象向右平移m(m>0)个单位后所得函数g(x) 的图象关于原点中心对称，求m的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 且g(x)是奇函数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 提示　由y＝cos x＝sin，只需研究y＝sin的性质与图象即可. 例1　(1)函数f(x)＝5cos的一个单调递减区间是 A. B. C. D. 所以是f(x)的一个单调递减区间.  f(x)＝5cos， 由2kπ≤3x＋≤π＋2kπ(k∈Z)， 得－＋≤x≤＋(k∈Z)， 因为>>>，且y＝cos x在上单调递减，所以a>c>b. (2)设a＝cos ，b＝sin ，c＝cos ，则 b＝sin ＝sin＝sin ＝sin ＝cos ， c＝cos ＝cos ， 跟踪训练1　若函数f(x)＝cos(ωx＋φ)，φ∈的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为 A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 得φ＝＋2kπ，k∈Z， 又φ∈，∴φ＝，∴f(x)＝cos. 由2kπ≤πx＋≤π＋2kπ，k∈Z，得－＋2k≤x≤＋2k，k∈Z， ∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z. 由图象知，周期T＝2×＝2， ∴＝2，∴ω＝π. 例2　(1)函数y＝3cos图象的一条对称轴可以是 A.x＝－ B.x＝ C.x＝－ D.x＝ 根据函数y＝3cos的图象，要求函数的对称轴方程， 令2x－＝kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，令k＝1得x＝. 最小正周期T＝＝π. 当k＝－1时，φmin＝. 由已知得g(x)＝cos，所以－－＋φ＝＋kπ(k∈Z)， (3)将函数f(x)＝cos(2x＋φ)(φ>0)的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，若点是函数y＝g(x)图象的一个对称中心，则φ的最小值为 A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 解得φ＝＋kπ(k∈Z)，又φ>0， (1)令ωx＋φ＝kπ，k∈Z可解出对称轴，令ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z可解出对称中心. (2)若已知x＝α是对称轴，或(α，0)是对称中心，则代入α，ωα＋φ＝kπ或＋kπ，k∈Z可求ω或φ. (3)特别地，当φ＝kπ，k∈Z时，函数为偶函数；当φ＝＋kπ，k∈Z时，函数为奇函数. 跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象与函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，则φ的值为 A. 　　　　B.－ 　　　　C. 　　　　D.－ 则φ＝kπ＋，k∈Z.又|φ|<，所以φ＝－. 由题意得，f(x)与g(x)的对称中心完全相同，则两函数的周期相同，即＝，则ω＝2，即f(x)＝2sin， 由2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z，即f(x)的对称中心为，k∈Z，所以g(x)的对称中心也为，k∈Z， 则g＝cos＝cos＝±cos＝0， 从而φ－＝＋kπ(k∈Z)， 即φ＝＋kπ(k∈Z). 又0<φ<π，故φ＝. 所以f(0)＝0，所以cos＝0， (2)若函数f(x)＝cos(0<φ<π)是奇函数，则φ＝_____. 从而当cos x＝－，即x＝时，ymax＝； 当cos x＝，即x＝时，ymin＝－. ∴函数的值域为. 例3　求函数y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈的值域.  y＝3cos2x－4cos x＋1＝32－. ∵x∈，∴cos x∈. 跟踪训练3　已知函数y＝acos＋3，x∈的最大值为4，求实数a的值. ∴a＋3＝4，∴a＝2. 当a<0，cos＝－1时， ∵x∈，∴2x＋∈， ∴－1≤cos≤. 当a>0，cos＝时，y取得最大值a＋3， C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的奇函数 ∵T＝＝π，f(－x)＝cos(－2x)＝cos 2x＝f(x)， 2.已知f(x)＝sin，g(x)＝cos，则f(x)的图象 A.与g(x)的图象相同 B.与g(x)的图象关于y轴对称 C.向左平移个单位，得g(x)的图象 D.向右平移个单位，得g(x)的图象 ∴f(x)的图象向右平移个单位，得到g(x)的图象. ∵f(x)＝sin＝cos x， g(x)＝cos， 所以y＝－cos x在区间上先减后增. 因为y＝cos x在区间上先增后减， ∴2x＋∈， ∴cos∈， ∵x∈， 4.函数y＝2cos，x∈的值域为________. 显然周期为的有A和C， 1.下列函数中周期为，且为偶函数的是 A.y＝sin 4x B.y＝cos x C.y＝sin D.y＝cos 而y＝sin＝cos 4x是偶函数. 当x∈时，x＋∈， 2.下列函数中，在上单调递减的是 A.y＝cos B.y＝cos C.y＝cos D.y＝cos ∴y＝cos在上单调递减. 3.如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为 A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 由y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称知，f ＝0，即3cos＝0. ∴＋φ＝＋kπ(k∈Z). ∴φ＝－＋kπ(k∈Z). ∴|φ|的最小值为|φ|＝＝. 当x∈时，x＋∈，结合y＝cos x的图象， 4.函数y＝cos，x∈的值域是 A. B. C. D. 可知cos∈. 5.已知函数f(x)＝cos(x∈R，ω>0)的最小正周期为，要得到函数g(x)＝sin ωx的图象，只需将y＝f(x)的图象 A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 由题意得，ω＝＝4，  f(x)＝cos＝sin＝sin＝sin. 故将y＝f(x)的图象向右平移个单位即可得到y＝g(x)的图象. 6.设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是 A.f(x)的一个周期为－2π B.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C.f(x＋π)的一个零点为x＝ D.f(x)在上单调递减  f ＝cos＝cos 3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确； ∵f(x＋π)＝cos＝－cos， ∴f ＝－cos＝－cos ＝0，故C正确； 由于f ＝cos＝cos π＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误. 由2cos x＋1≥0，得cos x≥－， 7.函数y＝的定义域是___________________________. ，k∈Z 结合图象(图略)知，x∈，k∈Z. 8.若函数y＝a－bcos x(b>0)的最大值为，最小值为－，则a＝____，函数y＝－4acos bx的最大值为____. ∴ymax＝a＋b＝，ymin＝a－b＝－. 由解得 因为T＝4×＝π，所以ω＝＝2. 因为f(x)的图象经过点， 所以4cos＝－4，即cos＝－1， 又0<φ<π，所以φ＝. 故f(x)的解析式为f(x)＝4cos. 则＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z. 因为x∈，所以2x＋∈， (2)当x∈时，求f(x)的值域. 从而cos∈， 故当x∈时，f(x)的值域为. 10.已知函数f(x)＝2cos，φ∈，且f(x)的图象关于x＝对称. 令2x＋φ＝kπ，k∈Z，将x＝代入得2×＋φ＝kπ， φ＝－＋kπ，k∈Z， 又∵φ∈， ∴φ＝， ∴f(x)＝2cos. 令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴0≤x≤或≤x≤π， ∴当x∈[0，π]时，f(x)的单调递减区间为，. 2x＋ 0 π 2π x － f(x)＝2cos 2 0 －2 0 2 － 由图象可得，f(x)的最小值为－， 当且仅当x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取 得最小值，A，B错误； 当且仅当－＋2kπ<x<(2k＋1)π(k∈Z)时，f(x)>0，且f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π，C，D正确. 12.函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝______. 得y＝sin＝sin＝－sin＝cos ＝cos，又－π≤φ<π，所以φ＝. 因为函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移个单位，得到y＝sin的图象， 即y＝sin的图象向左平移个单位得到函数y＝cos(2x＋φ)的图象， 所以y＝sin向左平移个单位后， 13.设函数f(x)＝cos＋1，有以下结论： ①点是函数f(x)图象的一个对称中心； ②直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴； ③函数f(x)的最小正周期是π； ④将函数f(x)的图象向右平移个单位后，对应的函数是偶函数. 其中所有正确结论的序号是________. ∵f(x)的图象是由y＝cos的图象向上平移1个单位得到的，  y＝cos的对称中心的纵坐标为0， 当x＝时，f(x)取得最小值0， ∴x＝是f(x)的一条对称轴，故②正确； 最小正周期T＝＝π，故③正确； 将f(x)的图象向右平移个单位后， 14.已知ω>0，函数f(x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范 围是_________. 又当k＝1时，f(x)的一个单调递增区间为，所以 解得2≤ω≤. 令－π＋2kπ≤ωx＋≤2kπ，k∈Z， 则－＋≤x≤－＋，k∈Z， 所以函数f(x)＝cos的单调递增区间为，k∈Z. 由已知可得，函数f(x)的图象关于直线x＝对称， 函数y＝2cos＋1的图象也关于直线x＝对称， 所以两图象的交点必关于直线x＝对称， 所以x1＋x2＋…＋x2 024＝×2 024＝1 012. 由余弦函数的单调性，得π＋2kπ<2x＋<2π＋2kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z . 则＋kπ<x<＋kπ，k∈Z， 当x∈时，2x＋∈， 因为函数f(x)的值域为[－，2]， 即－2m＝＋kπ，k∈Z， m＝－－，k∈Z， 因为m>0，所以当k＝－1时，mmin＝. 将函数f(x)＝2cos的图象向右平移m(m>0)个单位， 所得图象对应的函数为g(x)＝2cos， 所以g(0)＝2cos＝0， $$