7.3.1 正弦函数的性质与图象(2) （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第三册学习笔记（人教B版2019）

7.3.1　正弦函数的性质 与图象(二) 第七章　§7.3　三角函数的性质与图象 学习目标 1.了解由正弦函数的性质及“五点法”作正弦函数的图象. 2.理解正弦曲线及其对称轴、对称中心. 3.能利用正弦函数解决简单问题. 同学们，我国著名数学家华罗庚教授写过这样一首诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞.数无形时少直觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离.”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法，前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这节课我们将从“形”上来研究三角函数. 导语 内容索引 一、正弦曲线 二、五点法作正弦曲线 课时对点练 三、利用正弦函数图象解不等式 随堂演练 四、正弦函数图象的应用 正弦曲线 一 一般地，y＝sin x的函数图象称为正弦曲线.如图， 由图可以看出，正弦曲线是轴对称图形，对称轴为x＝______________；正弦曲线也是中心对称图形，对称中心为______________. (kπ，0)(k∈Z) 知识梳理 6 二 五点法作正弦曲线 问题　在确定函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象形状时，应抓住哪些关键点？ “五点法”作正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的步骤 (1)列表： x 0 π 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 (2)描点：画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是________ ________________________________. (3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线的简图. (0,0)， 知识梳理 9 例1　利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图. 取值，列表如下. x 0 π 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝1－sin x 1 0 1 2 1 描点作图，如图所示. 10 延伸探究　本例中除了用五点法作图之外，是否还有其他方法得到y＝ 1－sin x(0≤x≤2π)的图象. 作出y＝sin x(0≤x≤2π)的图象关于x轴对称的图象，得到y＝－sin x (0≤x≤2π)的图象，再将y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象向上平移1个单位，即得到y＝1－sin x(0≤x≤2π)的图象. 11 作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y＝sin x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法. 反思感悟 12 跟踪训练1　(1)用“五点法”画出函数y＝ ＋sin x，x∈[0,2π]的简图. 取值，列表如下. 描点作图，如图所示. 13 (2)函数y＝sin x＋ 的图象的对称轴为________________，对称中心为 ______________. 14 三 利用正弦函数图象解不等式 例2　利用正弦函数的图象，求满足sin x≥ 的x的集合. 作出正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，如图所示， 16 用三角函数图象解三角不等式的步骤 (1)作出相应的正弦函数在[0,2π]上的图象. (2)写出不等式在区间[0,2π]上的解集. (3)根据诱导公式①写出定义域内的解集. 反思感悟 17 跟踪训练2　函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为______________________________. 18 要使函数有意义，则必有2sin x＋1>0， 19 四 正弦函数图象的应用 例3　(1)方程sin x＝lg x的解的个数是_____. 3 用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象. 由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个. 21 (2)方程xsin x＝1在区间[0,2π]上根的个数为 A.0 　　　　B.1 　　　　C.2 　　　　D.3 由图象可知有2个交点. √ 22 (1)在例3(1)中，画出y＝sin x的图象后要充分利用y＝lg x的图象过点(1,0)和点(10,1)来确定两图象交点的个数. (2)在例3(2)中，要注意函数的定义域，即x∈[0，2π]对图象的决定作用. 反思感悟 23 跟踪训练3　函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围. 图象如图所示， 若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同 的交点，根据图象可得k的取值范围是(1,3). 24 1.知识清单： (1)正弦曲线. (2)“五点法”作图. (3)利用函数图象解不等式. (4)函数图象的应用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：五点的选取. 课堂小结 随堂演练 五 1.函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是 y＝sin(－x)＝－sin x，y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选B. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 3.若方程sin x＝4m＋1在x∈[0,2π]上有解，则实数m的取值范围是________. 由正弦函数的图象，知当x∈[0,2π]时，sin x∈[－1,1]，要使得方程sin x＝4m＋1在x∈[0,2π]上有解， 则－1≤4m＋1≤1， 1 2 3 4 4.函数y＝ 的定义域为_______________________________. 依题意知－2sin x－1≥0， 1 2 3 4 由y＝sin x，x∈[0,2π]的图象知， 课时对点练 六 1.(多选)对于正弦函数的图象，下列说法正确的是 A.关于原点对称 B.关于x轴对称 C.关于y轴对称 D.有无数条对称轴 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ 2.(多选)下列各组函数中图象相同的是 A.y＝|sin x|与y＝sin |x| B.y＝sin(x－π)与y＝sin(x＋π) C.y＝sin x与y＝sin(－x) D.y＝sin(2π＋x)与y＝sin x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ B中，两函数都可化为y＝－sin x，两函数图象相同，故B正确； D中，y＝sin(2π＋x)＝sin x，两函数图象相同，故D正确； C中，y＝sin x与y＝sin(－x)＝－sin x图象不同，故C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2交点的个数是 A.0 　　　　B.1 　　　　C.2 　　　　D.3 由函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象(如图所示)， 可知其与直线y＝2只有1个交点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 画出y＝sin x，x∈[0,2π]的草图如右. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由y＝sin x，x∈[0,2π]的图象， 6.y＝sin x－1的对称轴为_______________，对称中心为_______________. 对称中心为(kπ，0)，k∈Z， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (kπ，－1)，k∈Z 对称中心为(kπ，－1)，k∈Z. 7.方程sin x＝a在x∈ 上有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围 是_____________. 由图知，a的取值范围是[－1,0)∪{1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [－1,0)∪{1} 8.函数y＝ 的定义域是______________________. 解得0<sin x≤1，由正弦函数图象(图略)知2kπ<x<π＋2kπ，k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 {x|2kπ<x<π＋2kπ，k∈Z} 由题意得 9.利用“五点法”画出函数y＝2－sin x，x∈[0,2π]的简图. (1)取值，列表如下. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x 0 π 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝2－sin x 2 1 2 3 2 (2)描点作图，如图所示. 作出y＝sin x，x∈[－2π，2π]的图象，如图所示. 结合图象可得x∈[－π，0]∪[π，5]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.如图中的曲线对应的函数解析式是 A.y＝|sin x| B.y＝sin |x| C.y＝－sin |x| D.y＝－|sin x| 排除法，可知C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 12.方程sin x＝ 的根的个数是 A.7 　　　　B.8 　　　　C.9 　　　　D.10 根据图象可知方程有7个根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知函数y＝sin x，x∈[m，n]的值域是 ，则n－m的最大值为 ____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作出正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象，如图所示， 15.已知函数f(x)＝|sin x|，x∈[－2π，2π]，则方程f(x)＝ 的所有根的和等于 A.0 　　　　B.π 　　　　C.－π 　　　　D.－2π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 对称的2个根之和为－π，则4个根之和为－2π， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　作出函数f(x)的图象，如图所示， 易知函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 且两两关于y轴对称，故所有根之和为0. 16.若方程2sin x＋a－1＝0在x∈ 上有两个实数根，求a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＋kπ(k∈Z) 提示　(0,0)，，(π，0)，，(2π，0). ，(π，0)，，(2π，0) x 0 π 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝＋sin x － 所以y＝sin x＋的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z， 对称中心为，k∈Z. x＝＋kπ，k∈Z ，k∈Z 因为y＝sin x的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，对称中心为(kπ，0)，k∈Z， 由图可知在[0,2π]上满足sin x≥ 的x的集合为， 故满足sin x≥的x的集合为. 可知函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为. 即sin x>－，画出y＝sin x， x∈的草图，如图所示. 当－<x<时，不等式sin x>－成立， 所以sin x>－的解集为. 描出点，(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示. 当x＝0时不满足题意，当x≠0时，方程xsin x＝1变为＝sin x， 方程xsin x＝1在区间(0,2π]上的根的个数可由函数y＝与函数y＝sin x的图象交点个数确定， 在平面直角坐标系内作出函数y＝与函数  y＝sin x在(0,2π]上的图象，如图所示.  f(x)＝sin x＋2|sin x|＝ 所描出的五点的横坐标与函数y＝sin x的五点的横坐标相同，即0，，π，，2π. 2.用“五点法”画函数y＝1＋sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是 A.0，，，，π B.0，，π，，2π C.0，π，2π，3π，4π D.0，，，， 故－≤m≤0. 当≤x≤时，sin x≤－， 所以函数y＝的定义域为. 即sin x≤－. A中，当x＝时，|sin x|＝1，而sin|x|＝－1，故A错误； 3.函数y＝－sin x，x∈的简图是 5.在[0,2π]内，不等式sin x<－的解集是 A.(0，π) 　　　B. 　　　C. 　　　D. 因为sin ＝， 所以sin＝－，sin＝－. 即在[0,2π]内，满足sin x＝－的x的值为或. 可知不等式sin x<－的解集是. 因为y＝sin x的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z， x＝＋kπ，k∈Z 所以y＝sin x－1的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z， 作出y＝sin x，x∈的图象，如图所示. 由题意得x满足不等式组 10.求函数y＝＋的定义域. 即 将代入4个解析式，排除A，B； 将代入C，D中的解析式，排除D. 在同一坐标系内画出y＝和y＝sin x的图象如图所示. 13.如图所示，函数y＝cos x|tan x|的图象是 当0≤x<时，y＝cos x|tan x|＝sin x； 当<x≤π时，y＝cos x|tan x|＝－sin x； 当π<x<时，y＝cos x|tan x|＝sin x，故其图象为C. ∵函数y＝sin x的定义域为[m，n]， 值域为， 又sin＝sin ＝－， 结合正弦函数y＝sin x的图象与性质可知n－m的最大值为－＝. 方法一　若f(x)＝，即|sin x|＝， 则sin x＝或sin x＝－.因为x∈[－2π，2π]， 结合图象(如图)可知，方程sin x＝有4个根，且关于x＝－对称， 由对称性可得sin x＝－的四个根之和为2π. 综上，方程f(x)＝的所有根的和等于0. 若f(x)＝，即|sin x|＝，则函数f(x)与直线y＝的图象共有8个交点， x∈的图象与y＝的图象有两个交点， 即方程2sin x＋a－1＝0在x∈上有两个实数根. 所以a的取值范围为(－1,1－]. 原方程可化为sin x＝. 在同一直角坐标系中作出y＝sin x，x∈与y＝的图象， 由图象可知，当≤<1， 即当－1<a≤1－时，y＝sin x， $$