7.2.3 同角三角函数的基本关系式 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第三册学习笔记（人教B版2019）

7.2.3　同角三角函数 的基本关系式 第七章　§7.2　任意角的三角函数 学习目标 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用. 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. “一支竹篙啊，难渡汪洋海，众人划桨哟，开动大帆船，一棵小树呀，弱不禁风雨，百里森林哟，并肩耐岁寒，耐岁寒，一加十，十加百，百加千千万，你加我，我加你，大家心相连，同舟共济海让路，号子嘛一喊浪靠边，百舸嘛争流千帆进，波涛在后岸在前……”一首经典老歌让我们感触很深，歌词中每一句都流露出了“团结就是力量，团结就是胜利”，就像是我们数学中的每一个知识点一样，彼此紧密联系，比如我们刚学过的正弦、余弦和正切函数，它们之间到底有什么样的联系呢，让我们一起去发现. 导语 内容索引 一、利用同角三角函数的基本关系式求值 二、利用同角三角函数的基本关系式化简 课时对点练 三、一般恒等式的证明 随堂演练 利用同角三角函数的基本关系式求值 一 问题1　观察下表，你能发现什么？ 提示　对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1. 问题2　若P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，则角α的三个三角函数值之间有什么联系？ 同角三角函数的基本关系式 平方关系式：sin2α＋cos2α＝____； 商数关系式： ＝______ . 这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切. tan α 1 知识梳理 8 注意点： (1)“同角”的含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角关系式都成立. (3)sin2α是(sin α)2的缩写，不能写成sin α2. 知识梳理 9 √ 10 (2)已知sin α＋cos α＝ ，0<α<π. ①求sin αcos α的值； 11 ②求sin α－cos α的值. 因为0<α<π，sin αcos α<0， 所以sin α>0，cos α<0， 则sin α－cos α>0. 12 利用同角三角函数基本关系式解决给值求值问题的方法 (1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系. (2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果. (3)sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子，已知其中一个可求另外两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 反思感悟 13 跟踪训练1　已知α∈ ，tan α＝2，则cos α＋sin α＝________. 14 由①得sin α＝2cos α，代入②得4cos2α＋cos2α＝1， ① ② 15 二 利用同角三角函数的基本关系式化简 问题3　你能发现同角三角函数的基本关系式哪些变形形式？ 例2　化简： 18 19 20 三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的. (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的. 反思感悟 21 √ ∵θ为第二象限角， 22 23 ②sin2α＋sin αcos α＋2. sin2α＋sin αcos α＋2 24 三 一般恒等式的证明 所以原等式成立. 证明三角恒等式常用的方法 (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简. (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子. (3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异. 反思感悟 27 跟踪训练3　已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. 因为tan2α＝2tan2β＋1， 所以tan2α＋1＝2tan2β＋2， 即cos2β＝2cos2α， 所以1－sin2β＝2(1－sin2α)， 即sin2β＝2sin2α－1. 28 1.知识清单： (1)同角三角函数的基本关系式. (2)利用同角三角函数的基本关系式求值、化简与证明. 2.方法归纳：弦切互化、“1”的替换、整体代换法. 3.常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论. 课堂小结 随堂演练 四 1.下列各式中不成立的是 A.sin2α＋cos2α＝sin21＋cos21 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 4.化简(1＋tan215°)·cos215°＝____. 1 2 3 4 1 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 因为α是第四象限角，所以sin α<0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是 原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α) ＝sin2α＋cos2α＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于 sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ A.3 　　　　B.－3 　　　　C.1 　　　　D.－1 ∵α是第三象限角，∴sin α<0，cos α<0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6.已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝　，那么这个三角形的形状为 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∴此三角形为钝角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.在△ABC中，若tan A＝ ，则sin A＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 sin α 9.已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α. 又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cos α)2＋cos2α＝1， 又由sin α＝－3cos α， 可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ √ 由sin θ＋cos θ＝a，a∈(0,1)两边平方得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴－1<tan θ<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意知cos A>0，即A为锐角. 得2sin2A＝3cos A.∴2cos2A＋3cos A－2＝0， A.16 　　　　B.17 　　　　C.18 　　　　D.19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵sin2α＋cos2α＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 7 16.设α是第三象限角，问是否存在这样的实数m，使得sin α，cos α是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 倘若存在这样的实数m满足条件，由题设得， Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0， ① ∵α是第三象限角，∴sin α<0，cos α<0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ② ③ 又sin2α＋cos2α＝1， ∴(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1. ∴这样的实数m不存在. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵m1＝2不满足条件①，舍去， α 0 sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 不存在 提示　若余弦不为0，则正切等于正弦比余弦，即tan α＝.因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2＋y2＝1，即sin2α＋cos2α＝1. (2)sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ (k∈Z)成立. ∴tan α＝＝＝. 例1　(1)若cos α＝－，且α为第三象限角，则tan α的值等于 A. 　　　　B.－ 　　　　C. 　　　　D.－ ∵cos α＝－，α为第三象限角， ∴sin α＝－＝－＝－， 即sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝， 所以sin αcos α＝－. － 因为sin α＋cos α＝－， 所以(sin α＋cos α)2＝2， sin α－cos α＝＝＝. － 所以cos α＝－，sin α＝－， 故cos α＋sin α＝－. 由已知得 所以cos2α＝， 又α∈，所以cos α<0， 提示　sin2α＋cos2α＝1⇒ tan α＝⇒ 原式＝ (1)－； ＝＝＝－2tan2α. 原式＝ (2)； ＝＝1. ＝＝. 原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α (3)sin2αtan α＋＋2sin αcos α. ＝ ∴原式＝＝－. 跟踪训练2　(1)若θ为第二象限角，则－可化简为 A.2tan θ 　　　B.　　　　　C.－2tan θ 　　　D.－ 原式＝－ ＝－＝－＝， ＝＝－. (2)已知＝－1，求下列各式的值. ①； 因为＝－1， 所以tan α＝. ＝ ＝＝＝. ＝＝ ＝＝右边. 例3　求证：＝. 左边＝ ＝ (4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc，或证＝等. (5)比较法，即证明“左边－右边＝0”或“＝1”. 所以＋1＝2， 通分可得＝， B.α是第二象限角，cos α＝－ C.α是第二象限角，sin α＝－ D.cos α＝ ∴tan α＝＝. 由题意可得sin α＝－＝－， 2.若cos α＝－，且α是第三象限角，则tan α的值等于 A. 　　　　B.－ 　　　　C. 　　　　D.－ ＝＝＝＝－. ＝ 3.已知tan α＝－，则的值是 A. 　　　　B.3 　　　　C.－ 　　　　D.－3 (1＋tan215°)·cos215°＝·cos215° ＝·cos215°＝1. 即sin α＝－＝－＝－. 1.已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于 A. 　　　　B.－ 　　　　C. 　　　　D.－ 因为sin α＝，<α<π， 2.已知sin α＝，<α<π，则tan α等于 A.－2 　　　　B.2 　　　　C. 　　　　D.－ 所以cos α＝－＝－， 所以tan α＝－. A. 　　　　B. 　　　　C.1 　　　　D. ＝＝， A.－ 　　　　B. 　　　　C.－ 　　　　D. 又tan θ＝2，故原式＝＝. ∴原式＝＋＝－3. 5.若α为第三象限角，则＋的值为 ∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝， 即1＋2sin αcos α＝， ∴sin αcos α＝－<0，∴α∈， 由tan A＝>0且角A是△ABC的内角可得0<A<， 又 解得sin A＝. 原式＝(1－cos α) 8.化简：(1－cos α)＝_____. ＝(1－cos α)＝＝＝sin α. 即10cos2α＝1，∴cos α＝±. 当角α的终边在第二象限时，cos α＝－，sin α＝； 当角α的终边在第四象限时，cos α＝，sin α＝－. 原式＝ 10.(1)化简：； ＝＝ ＝＝1. ·＝· (2)求证：·＝1. ＝· ＝＝＝1. 11.(多选)已知－<θ<，且sin θ＋cos θ＝a，其中a∈(0,1)，则tan θ的值可能为 A.－3 　　　　B.－ 　　　　C.－ 　　　　D. sin θcos θ＝<0， 故－<θ<0且|cos θ|>|sin θ|， 借助三角函数线可得－<θ<0， 12.在△ABC中，sin A＝，则角A的值为 A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 将sin A＝两边平方， 解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)， ∴A＝. 13.若α∈，则＋的最小值是 ∴(sin2α＋cos2α)＝10＋＋ ≥10＋2＝16，α∈， 当且仅当＝，即sin α＝，cos α＝时，等号成立， ∴＋的最小值是16.  f(tan x)＝＝＝tan2x＋1， 14.已知f(tan x)＝，则f(－)＝_____. 当tan x＝－时，f(－)＝3＋1＝4. ∵tan α＋＝3，∴＋＝3， 15.若tan α＋＝3，则sin αcos α＝_____，tan2α＋＝_____. 即＝3，∴sin αcos α＝， tan2α＋＝2－2tan α·＝9－2＝7. ∴sin α＋cos α＝－m<0， sin αcos α＝>0. 把②③代入上式，得2－2×＝1， 即9m2－8m－20＝0，解得m1＝2，m2＝－. m2＝－不满足条件②③，舍去. $$