7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第三册学习笔记（人教B版2019）

7.1.2　弧度制及其与 角度制的换算 第七章　§7.1　任意角的概念与弧度制 学习目标 1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系. 2.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉 特殊角的弧度数. 同学们，本节课题目中有弧度二字，大家想到了什么？我们是否想到足球射门的弧度、篮球投篮的弧度，我们认知的弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度才完美，比如：海浪因弧度而活跃；嘴角因有弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正因有弧度而富有神韵.而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变. 导语 内容索引 一、弧度制的概念 二、弧度制与角度制的换算 课时对点练 三、利用弧度表示角 随堂演练 四、弧度制下的扇形的弧长与面积公式 弧度制的概念 一 问题1　我们上节课所学习的用角度制表示的角能否与实数建立一一对应的关系？ 提示　不能，比如30°2′11′′，这种表示不能与实数建立一一对应的关系，也不利于三角函数的求值. 1.弧度制：以_____为单位来度量角的制度. 2.1弧度的角：长度等于_______的圆弧所对的圆心角. 3.弧度数的计算公式：在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为 α rad，则α＝___. 弧度 半径长 知识梳理 7 注意点： 一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关. 知识梳理 8 例1　下列说法正确的是 A.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角 √ 9 对于A，根据弧度的定义知，1弧度的圆心角所对的弧长等于半径，故A正确； 对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误； 对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不相等的，故C错误； 对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误. 10 对弧度制定义的二点说明 (1)不管是以弧度还是度为单位的角的大小，都是一个与半径大小无关的定值. (2)用弧度与度去度量同一个角时，除了零角以外，所得到的数量是不同的. 反思感悟 11 跟踪训练1　下列各说法中，错误的是 A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 C.根据弧度的定义，180°一定等于π弧度 D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径大小有关 √ 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径大小无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是错误的，A，B，C均正确. 12 二 弧度制与角度制的换算 问题2　根据公式α＝ ，你能得出圆周角的弧度数吗？ 提示　因为半径为r的圆的周长为l＝2πr，故圆周角的弧度数α＝2π，而圆周角的角度数是360°. 1.角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝____ rad 2π rad＝_____ 180°＝____ rad π rad＝_____ 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝ ≈57.30° 度数× ＝弧度数 弧度数× ＝度数 2π π 360° 180° 知识梳理 15 2.常用特殊角的度数与弧度数的对应关系 60° 2π 知识梳理 16 注意点： (1)弧度单位rad可以省略，但用度做单位时，“度”不能省略. (2)角度化弧度时，应先将分、秒化为度，再化成弧度. 知识梳理 17 例2　把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°； (2)－300°； 18 (3)2； 19 角度与弧度的互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以 得到： 反思感悟 20 21 三 利用弧度表示角 例3　将－1 125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？ 所以－1 125°是第四象限角. 23 延伸探究　若在本例的条件下，在[－4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合. 知k＝－2，－1,0,1， 24 用弧度制表示终边相同的角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍. (2)注意角度制与弧度制不能混用. 反思感悟 25 跟踪训练3　(1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为 √ 26 (2)如图所示，终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的 集合为(用弧度制表示)_______________________________. 27 四 弧度制下的扇形的弧长与面积公式 问题3　我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？ 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝_____. (2)扇形的面积公式：S＝____＝_____. αR 知识梳理 30 例4　已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数. 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm， 整理得R2－5R＋4＝0，解得R＝1或R＝4. 当R＝1时，l＝8，此时θ＝8>2π，舍去. ① ② 31 延伸探究　已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？ 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S， 所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1， 32 扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：面积公式：S＝ 弧长公式：l＝αR(其中l是扇形的弧 长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π). (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解. 反思感悟 33 跟踪训练4　已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积. 半径r＝10 cm， 34 1.知识清单： (1)弧度制的概念. (2)弧度制与角度制的相互转化. (3)特殊角的角度数与弧度数的对应关系. (4)扇形的弧长与面积的计算. 2.方法归纳：由特殊到一般、数学运算. 3.常见误区：表示角时，弧度制与角度制混用. 课堂小结 随堂演练 五 1.(多选)下列说法中，正确的是 A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小等于2π C.长度等于直径长的圆弧所对的圆心角的大小为2弧度 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 根据弧度的定义及角度与弧度的换算可知A，B，C均正确，D错误. 1 2 3 4 √ √ √ 2.若α＝－2 rad，则α的终边在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1 2 3 4 √ 3.时钟的分针在1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为 1 2 3 4 √ 4.已知扇形的半径为R cm，面积为R2 cm2，那么这个扇形的圆心角的弧度数是____. ∴l＝2R， 1 2 3 4 2 课时对点练 六 1.将210°化成弧度为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.把 化为角度是 A.270° 　　　　B.280° 　　　　C.288° 　　　　D.318° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.角 的终边所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x左上部分(包含边界)，k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界).故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6.(多选)下列说法正确的是 A.终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ A，B显然正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角α的弧度数为_____. ∴R＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 8.“亲爱的考生，本场考试需要2个小时”，则在本场考试中，钟表的时 针转过的弧度数为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知角α＝1 200°. (1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； 所以角α是第二象限角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在区间[－4π，0]上找出与角α终边相同的角. 因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA＝10 m，OB＝x m (0＜x＜10)，线段BA，CD，与弧BC，弧AD的长度之和为30 m，设圆心角为θ弧度. (1)求θ关于x的函数解析式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，可得 ＝θx(m)， ＝10θ(m). 因为AB＋CD＋ ＋ ＝30， 所以2(10－x)＋θx＋10θ＝30， (2)记铭牌的截面面积为y m2，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，可知y＝S扇形AOD－S扇形BOC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝(x＋5)(10－x)＝－x2＋5x＋50 11.已知角α与β的终边关于原点对称，则α与β的关系为 A.α－β＝π＋2kπ(k∈Z) B.α＋β＝0 C.α＋β＝2kπ(k∈Z) D.以上都不对 由已知可得α－β＝π＋2kπ(k∈Z). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 12.一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设圆心角的弧度数为α， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 因为k∈Z，所以k＝－1,0,1,2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出 计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝ (弦×矢＋矢2).弧田(如图) 由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等 于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为 ，半径为4 m的弧田， 按照上述经验公式计算所得弧田面积约是____ m2(精确到1 m2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 9 矢＝4－2＝2(m)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转 弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转 弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设P，Q第一次相遇时所用的时间是t 秒， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得t＝4， 即P，Q第一次相遇时所用的时间为4秒. ° ° 角度 0° 30° 45° ___ 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 ___ ___ ___ ___ ___ π ___ ___ 72°＝72×＝. －300°＝－300×＝－. 2＝2×°＝°. －＝－×°＝－40°. (4)－. 度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数. 跟踪训练2　已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α， β，γ，θ，φ的大小. α＝15°＝15×＝，θ＝105°＝105×＝， ∵<<1<，∴α<β<γ<θ＝φ. －1 125°＝－1 125×＝－＝－8π＋， 其中<<2π，所以是第四象限角， 依题意得，与α终边相同的角为＋2kπ，k∈Z， 由－4π≤＋2kπ≤4π，k∈Z， 所以所求角的集合为. A. B. C. D. 150°＝150×＝， 故与150°角终边相同的角的集合为. 结合图象，设终边落在阴影部分(包括边界)的角是α，满足条件的角的集合是. 提示　初中我们已学习过，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l＝，S＝. αR2 lR 依题意有 当R＝4时，l＝2，此时θ＝＝. 综上可知，扇形圆心角的弧度数为. 则l＋2r＝4，所以l＝4－2r， 所以S＝lr＝×(4－2r)×r＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1， 此时，θ＝＝＝2(rad). lR＝αR2， 已知扇形的圆心角α＝60°＝， 则弧长l＝αr＝×10＝(cm)， 面积S＝lr＝××10＝(cm2). ∵－π<－2<－，∴α的终边在第三象限. 由题意知，分针在1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了2周，其弧度数为＝－＝－ rad. A. 　　　　B.－ 　　　　C. 　　　　D.－ ∵S＝lR＝R2， ∴＝2，故圆心角为2 rad. 210°＝210×＝. A.－ 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. ＝×°＝280°. ＝2π＋，是第一象限角，故是第一象限角. l＝αR＝. 4.在半径为1的圆中，的圆心角所对的弧长为 A. 　　　　B. 　　　　C.9π 　　　　D.10π 5.集合中的角α所表示的范围(阴影部分)是 B.终边在第二象限的角的集合为 C.终边在坐标轴上的角的集合是 D.终边在直线y＝x上的角的集合是 对于C，终边在x轴上的角的集合为{α|α＝kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为，其并集为，故C正确； 对于D，终边在y＝x上的角的集合为或，其并集为，故D不正确. ∵S＝lR＝1，又l＝2， ∴α＝＝＝2. 由题意知×2π＝，因为是顺时针，故钟表的时针转过的弧度数为－. － 因为α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋， 所以角α与的终边相同，又<<π， 因为与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ＋，k∈Z， 所以由－4π≤2kπ＋≤0，得－≤k≤－. 当k＝－2时，2×(－2)π＋＝－； 当k＝－1时，2×(－1)π＋＝－， 故在区间[－4π，0]上与角α终边相同的角是－，－. 所以θ＝(0＜x＜10). ＝θ(102－x2)＝× ＝－2＋， 则当x＝时，ymax＝(m2). 综上所述，当x＝时，铭牌的截面面积最大，且最大面积为 m2. 如图，设圆的半径为R，则正方形边长为R， A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. ∴弧长l＝R，∴α＝＝＝. 由扇形的弧长为＝αr，面积为＝××r， 13.已知一扇形的弧长为，面积为，则其半径r＝____，圆心角为____. 解得r＝2，α＝. 由－π<－<π，得－<k<. 14.设集合M＝，N＝{α|－π<α<π}，则M∩N＝ __________________. 所以M∩N＝. ＝120°，根据题意得， 弦＝2×4sin ＝4(m)， 因此弧田面积＝×(弦×矢＋矢2) ＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2). 则t·＋t·＝2π， P点走过的弧长为×4＝， Q点走过的弧长为×4＝. $$