7.1.1 角的推广 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第三册学习笔记（人教B版2019）

7.1.1　角的推广 第七章　§7.1　任意角的概念与弧度制 学习目标 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角. 2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合. 3.了解象限角的概念. 同学们，钟表是帮助我们掌握时间的好帮手，生活中我们经常听到时钟慢了5分钟，或时钟快了30分钟，应该如何校准？再比如，我们一节课 45分钟，时针、分针以及秒针分别旋转了多少度？再比如，在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们也常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题都和角度是分不开的，为了研究这些问题，我们开始今天的新课. 导语 内容索引 一、角的概念的推广 二、象限角 三、终边相同的角 课时对点练 随堂演练 四、区域角以及终边在已知直线上的角的表示 角的概念的推广 一 问题1　在初中是如何定义角的？角的范围是多少？ 提示　我们把有公共端点的两条射线组成的图形称为角，角的范围是0°～360°. 1.角的概念： 一条射线绕其端点_____到另一条射线所形成的_____称为角，这两条射线分别称为角的_____和_____. 旋转 图形 始边 终边 知识梳理 7 2.角的分类： 名称 定义 图示 正角 按照_______方向旋转而成的角   负角 按照_______方向旋转而成的角   零角 一条射线_____旋转而成的角   由于这样定义的角是旋转生成的，所以也常称为_____. 逆时针 顺时针 没有 转角 知识梳理 8 3.角的加法与减法(β>0°) (1)α＋β：把角α的终边_______方向旋转角β，如图①. ①　 　　　② (2)α－β：把角α的终边_______方向旋转角β，如图②. 逆时针 顺时针 知识梳理 9 例1　若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为 A.120° B.－120° C.－60° D.60° √ 10 正确理解正角、负角、零角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形成一个负角.正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好像正数与负数的规定一样. 反思感悟 11 跟踪训练1　经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是 A.60°，720° B.－60°，－720° C.－30°，－360° D.－60°，720° 钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的， √ 故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°. 12 二 象限角 在平面直角坐标系中，使角的顶点与___________重合，角的始边落在____________上，这时，角的_____在第几象限，就把这个角称为______ _______，如果终边在_________，就认为这个角不属于任何象限. 坐标原点 x轴的正半轴 终边 第几 象限角 坐标轴上 知识梳理 14 注意点： (1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限. (2)每一个象限都有正角和负角. (3)无法比较两个象限角的大小. 知识梳理 15 例2　(多选)下列四个角中，属于第二象限角的是 A.160° B.480° C.－960° D.1 530° A中，160°显然是第二象限角； B中，480°＝120°＋360°是第二象限角； C中，－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角； D中，1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角. √ √ √ 16 正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系，需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可. 反思感悟 17 跟踪训练2　(多选)下列叙述不正确的是 A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B.钝角是第二象限角 C.第二象限角比第一象限角大 D.小于180°的角是钝角、直角或锐角 √ √ √ 18 直角不属于任何一个象限，故A不正确； 钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确； 120°是第二象限角，390°是第一象限角，但120°<390°，故C不正确； 由于零角和负角也小于180°，故D不正确. 19 三 终边相同的角 问题2　给定一个角，它的终边是否唯一？若两个角的终边相同，那么这两个角相等吗？ 提示　给定一个角，它的终边唯一；两个角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°的终边和390°的终边相同，它们正好相差了360°. 所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝_____________ _______________，即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k＝0时对应元素为α. {β|β＝α＋ k·360°，k∈Z} 知识梳理 22 例3　已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角. (1)最小的正角； 因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°， 即－1 845°角与－45°角的终边相同， 所以与角α终边相同的角的集合是 {β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}， 最小的正角为315°. 23 (2)最大的负角； 最大的负角为－45°. (3)－360°～720°之间的角. －360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°. 24 终边相同的角的表示 (1)与α终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式. (2)终边相同的角相差360°的整数倍. 反思感悟 25 跟踪训练3　若角2α与240°角的终边相同，则α等于 A.120°＋k·360°，k∈Z B.120°＋k·180°，k∈Z C.240°＋k·360°，k∈Z D.240°＋k·180°，k∈Z 角2α与240°角的终边相同， 则2α＝240°＋k·360°，k∈Z， 则α＝120°＋k·180°，k∈Z. √ 26 四 区域角以及终边在已知直线上的角的表示 例4　如图所示， (1)分别写出终边落在直线l1，l2上的角的集合； 28 在0°～360°范围内，终边在直线l1上的角有两个，即30°和210°.因此终边在直线l1上的角的集合S＝{β|β＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝210°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋n·180°，n∈Z}. 同理，终边落在直线l2上的角的集合为S＝{β|β＝105°＋n·180°，n∈Z}. 29 (2)写出终边落在阴影部分的角的集合. 30 方法一　(并集法) 在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为30°≤α<105°和210°≤α<285°，所以终边落在阴影部分的角的集合S＝{α|k·360°＋30°≤α< k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α< k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α< 2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180° ＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}. 31 方法二　(旋转法) 终边落在直线l1上的角可看成将终边落在x轴上的角逆时针方向旋转30°角得到，故终边落在直线l1上的角的集合为{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}.同理，终边落在直线l2上的角的集合为{α|α＝105°＋n·180°，n∈Z}.故终边落在阴影部分的角的集合为{α|30°＋n·180°≤α<105°＋n·180°，n∈Z}. 32 表示区域角的一般步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：分别标出起始和终止边界对应的－180°～180°(或0°～360°)范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}； 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°(或180°)的整数倍，即得区域角集合(注意是否包括边界). 反思感悟 33 跟踪训练4　如图所示，终边落在阴影部分内(含边界)的角的集合是____________________________________________. {α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z} 由题图知，终边OB的对应角为－30°＋k·360°，k∈Z，终边OA的对应角为135°＋k·360°，k∈Z，所以终边落在阴影部分的角的集合是{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}. 34 1.知识清单： (1)任意角的概念. (2)终边相同的角与象限角. (3)区域角的表示. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同的角的表示中漏掉k∈Z. 课堂小结 随堂演练 五 1.下列说法正确的是 A.不相等的角终边必不同 B.始边与终边均相同的角一定相等 C.第三象限的角不一定大于第二象限的角 D.第四象限的角一定是负角 30°角与390°角不相等，但始边与终边均相同，故A，B说法错误； 460°角是第二象限角，200°角是第三象限角，200°小于460°，故C说法正确； 300°角是第四象限角，也是正角，故D说法错误. 1 2 3 4 √ 2.1 112°角是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 1 112°＝32°＋3×360°， 所以1 112°角的终边与32°角的终边相同，为第一象限角. 1 2 3 4 √ 3.与－460°角终边相同的角可以表示成 A.460°＋k·360°，k∈Z B.100°＋k·360°，k∈Z C.260°＋k·360°，k∈Z D.－260°＋k·360°，k∈Z 因为－460°＝260°＋(－2)×360°， 故与－460°角终边相同的角可以表示成260°＋k·360°，k∈Z. 1 2 3 4 √ 4.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________________________________________. 观察图形可知，角α的集合是{α|45°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z}. 1 2 3 4 {α|45°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z} 课时对点练 六 1.“α是锐角”是“α是第一象限角”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 因为α是锐角能推出α是第一象限角， 但是反之不成立，例如400°是第一象限角，但不是锐角，所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.(多选)下列四个选项中正确的是 A.－75°角是第四象限角 B.225°角是第三象限角 C.475°角是第二象限角 D.－315°角是第四象限角 因为－90°<－75°<0°，180°<225°<270°，360°＋90°< 475°<360°＋180°，－360°<－315°<－270°，所以ABC都是正确的，－315°角是第一象限角，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 3.(多选)与－457°角终边相同的角的集合是 A.{α|α＝－97°＋k·360°，k∈Z} B.{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z} C.{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z} D.{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 4.下面各组角中，终边相同的是 A.390°，690° B.－330°，750° C.480°，－420° D.3 000°，－840° 因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°， 所以－330°与750°终边相同. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.若α是第四象限角，则180°－α是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 可以给α赋一特殊值－60°， 则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6.下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是 A.－37° B.143° C.379° D.－143° 与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z，当k＝－1时，37°－180°＝－143°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 7.若角α＝2 023°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为_______. ∵2 023°＝5×360°＋223°， ∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝223°＋k·360°，k∈Z}， 故最小正角是223°，最大负角是－137°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 223° －137° 8.若角α与－60°的终边关于y轴对称，则角α的集合是________________ _______________. 与－60°的终边关于y轴对称的一个角为240°，故角α的集合是{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 {α|α＝240°＋ k·360°，k∈Z} 9.已知α＝－1 910°. (1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角； ∵－1 910°＝－6×360°＋250°， ∴β＝250°，即α＝250°－6×360°. 又250°角是第三象限角， ∴α是第三象限角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求角θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°. θ＝250°＋k·360°(k∈Z). ∵－720°≤θ<0°， ∴－720°≤250°＋k·360°<0°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又k∈Z，∴k＝－1或k＝－2. ∴θ＝250°－360°＝－110°或θ＝250°－2×360°＝－470°. 10.写出终边在下列各图所示阴影部分的角的集合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)在0°～360°范围内，终边落在阴影部分的角为30°≤α≤150°，所以终边落在阴影部分的角的集合为{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}. (2)在90°～450°范围内，终边落在阴影部分的角为150°≤α≤390°，所以终边落在阴影部分的角的集合为{α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)角α＝45°＋k·180°(k∈Z)的终边落在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ √ 当k＝2m＋1(m∈Z)时， α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°， 故α为第三象限角； 当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°， 故α为第一象限角. 故α的终边在第一或第三象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.终边与坐标轴重合的角α的集合是 A.{α|α＝k·360°，k∈Z} B.{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} C.{α|α＝k·180°，k∈Z} D.{α|α＝k·90°，k∈Z} 终边在坐标轴上的角为90°的整数倍， 所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 13.已知α是锐角，则下列选项不正确的是 A.2α是小于180°的正角 B.180°＋α是第三象限角 C. 是锐角 D.2α是第一或第二象限角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为α为锐角，所以0°<α<90°，所以0°<2α<180°，故选项A正确； 由于180°<180°＋α<270°，即180°＋α是第三象限角，故选项B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当α＝45°，即2α＝90°时，2α的终边落在y轴非负半轴上，故选项D不正确. 14.已知角α，β都是锐角，且角α＋β的终边与－280°角的终边相同，角α－β的终边与670°角的终边相同，则α＝____，β＝_____. ∵角α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°，－90°<α－β<90°. 由题意可知，α＋β＝－280°＋k1·360°，k1∈Z，∴α＋β＝80°，① 又α－β＝670°＋k2·360°，k2∈Z，∴α－β＝－50°. ② 由①②得，α＝15°，β＝65°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15° 65° 15.角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为 A.α＋β＝k·360°，k∈Z B.α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z C.α－β＝k·360°＋180°，k∈Z D.α－β＝k·360°，k∈Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 方法一　(特值法)令α＝30°，则β＝150°， 代入选项得只有B符合题意. 方法二　(直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z， 即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵α是第二象限角， ∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z). ∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)， ∴2α的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域.自x轴正半轴沿逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将坐标系的每个象限三等分，得到12个区域.自x轴正半轴沿逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－×360°＝－120°. 而×360°＝60°，2×360°＝720°， 解得－≤k<－. 0°<<45°，即是锐角，故选项C正确； 16.若α是第二象限角，试分别确定2α，，的终边所在位置. 方法一　∵45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)， 当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)； 当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)， ∴的终边位于第一或第三象限. ∵30°＋k·120°<<60°＋k·120°(k∈Z)， 当k＝3n(n∈Z)时，30°＋n·360°<<60°＋n·360°(n∈Z)； 当k＝3n＋1(n∈Z)时，150°＋n·360°<<180°＋n·360°(n∈Z)； 当k＝3n＋2(n∈Z)时，270°＋n·360°<<300°＋n·360°(n∈Z)， ∴的终边位于第一、第二或第四象限. ∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的 区域，即为的终边所在的象限， ∴的终边位于第一或第三象限. ∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的 区域，即为的终边所在的象限， ∴的终边位于第一、第二或第四象限. $$