10.1.3 古典概型(2)-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

10.1.3　古典概型(二) [学习目标]　1.掌握古典概型的定义.2.熟练掌握古典概型的概率计算公式． 一、列举法解决古典概型问题 例1　袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中红色小球1个，黄色小球1个，蓝色小球n个，从袋子中随机抽取1个小球，设取到蓝色小球为事件M，且事件M发生的概率是. (1)求n的值； (2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，若每次取到红色小球得0分，取到黄色小球得1分，取到蓝色小球得2分，设第一次取出小球后得分为a，第二次取出小球后得分为b，记事件N为“a＋b＝2”，求事件N发生的概率． 解　(1)由题意，从袋子中随机抽取1个小球，共有n＋2个结果，每个结果可能性相同， 其中事件M发生有n种结果，所以P(M)＝＝， 解得n＝2. (2)把红色小球记为A；黄色小球记为B；蓝色小球记为C1，C2. 则两次不放回地取出小球的组合情况可用表格表示为 A B C1 C2 A × (A，B) (A，C1) (A，C2) B (B，A) × (B，C1) (B，C2) C1 (C1，A) (C1，B) × (C1，C2) C2 (C2，A) (C2，B) (C2，C1) × 共有12个样本点， 其中事件N包含的样本点有(A，C1)，(A，C2)，(C1，A)，(C2，A)，共4个， 所以P(N)＝＝. 反思感悟　解题时要注意是“有放回抽取”还是“不放回抽取”，若是“有放回抽取”，则在每次抽取之前，产品种类及个数都不发生变化，因此某件新产品被抽到的概率也不变；若是“不放回抽取”(假设每次抽取的结果都可知)，则在每次抽取之前，所剩产品种类及个数都在发生变化，因此某件产品被抽到的概率也在不断变化． 跟踪训练1　甲、乙、丙三个盒子中分别装有大小、形状相同的卡片若干，甲盒中装有2张卡片，分别写有字母A和B；乙盒中装有3张卡片，分别写有字母C，D和E；丙盒中装有2张卡片，分别写有字母H和I，如图所示．现要从3个盒子中各随机取出1张卡片．求： (1)取出的3张卡片中恰有1张，2张，3张写有元音字母的概率分别是多少？ (2)取出的3张卡片上全是辅音字母的概率是多少？ 解　根据题意，可画出如图所示的树状图． 由树状图可以得到，所有可能出现的样本点有12个，它们出现的可能性相等． (1)只有1张元音字母的结果有5个，所以P(1张元音字母)＝； 有2张元音字母的结果有4个，所以P(2张元音字母)＝＝； 3张全部为元音字母的结果有1个，所以P(3张元音字母)＝. (2)3张全是辅音字母的结果有2个，所以P(3张辅音字母)＝＝. 二、概率与统计相结合 例2　(多选)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示．若从第3,4,5组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，则下列结论正确的是(　　) A．应从第3,4,5组中分别抽取3人、2人、1人 B．第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为 C．第5组志愿者被抽中的概率为 D．第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为 答案　ABC 解析　第3组抽取×6＝3(人)， 第4组抽取×6＝2(人)， 第5组抽取×6＝1(人)，故A正确； 设第3组的人分别为a，b，c，第4组的人分别为d，e，第5组的人为f，则6人中随机抽取2人有 (a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)共15种抽法， 其中第4组志愿者恰有一人被抽中有8种抽法， 则其概率为，故B正确； 第5组志愿者被抽中有5种抽法， 其概率为＝，故C正确； 第3组志愿者至少有一人被抽中有12种抽法， 其概率为＝，故D错误． 反思感悟　概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决，解决此类题目的步骤主要有： 第一步：根据题目要求求出数据(有的用到按比例分配的分层随机抽样、有的用到频率分布直方图等知识)； 第二步：列出样本空间，计算样本空间包含的样本点个数； 第三步：找出所求事件包含的样本点个数； 第四步：根据古典概型概率计算公式求解； 第五步：明确规范地表述结论． 跟踪训练2　为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x(cm)统计如表． 组别(cm) x≤160 160<x≤170 170<x≤180 x>180 人数 15 42 38 5 根据上表，随机选取该地区一名九年级男生，估计他的身高不高于180 cm的概率是(　　) A．0.05 B．0.38 C．0.57 D．0.95 答案　D 解析　由频数分布表可知，随机选取该地区一名九年级男生，估计他的身高不高于180 cm的概率是＝0.95. 三、概率的综合应用 例3　某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动，参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数，设两次记录的数分别为x，y，奖励规则如下： ①若xy≤3，则奖励玩具一个； ②若xy≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动． (1)求小亮获得玩具的概率； (2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由． 解　用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}， 其中共有16个样本点． (1)记“xy≤3”为事件A， 则事件A包含的样本点个数为5， 即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)． 所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为. (2)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C， 则事件B包含的样本点个数为6， 即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)， 所以P(B)＝＝. 事件C包含的样本点个数为5， 即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)， 所以P(C)＝.因为>， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率． 反思感悟　应用古典概型的概率公式求事件的概率时，首先应判断本试验是不是古典概型，然后再正确地找出试验的样本空间包含的样本点个数及事件包含的样本点个数，最后代入公式求出概率． 跟踪训练3　某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是从装有2个红球A1，A2和一个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖． (1)用球的标号列出所有的样本点； (2)有人认为两个箱子中的红球总数比白球总数多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由． 解　(1)所有样本点包含(A1，a1)，(A1，a2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a1)，(A2，a2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(B，a1)，(B，a2)，(B，b1)，(B，b2)． (2)不正确，理由如下： 由(1)知，所有样本点共12个， 其中摸出的2个球都是红球的样本点有(A1，a1)，(A1，a2)，(A2，a1)，(A2，a2)，共4个， 所以中奖的概率为＝，不中奖的概率为1－＝，故不中奖的概率比较大． 1．知识清单： (1)列举法解决古典概型问题． (2)概率与统计相结合． (3)概率的综合应用． 2．方法归纳：列举法、树状图等． 3．常见误区：样本空间中样本点列举错误和古典概型的错误判断． 1．将一枚质地均匀的硬币连掷两次，恰有一次正面朝上的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　将一枚质地均匀的硬币连掷2次，样本点有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，而只有一次正面朝上的样本点有(正，反)，(反，正)，故其概率为＝. 2．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10个样本点，分别为(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)，取出的2支彩笔中含有红色彩笔的样本点有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4个，故所求概率为＝. 3．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如8＝3＋5，在不超过11的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是________(用分数表示)． 答案　 解析　因为不超过11的素数有2,3,5,7,11五个数，从中选取两个不同的数的样本点有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(5,7)，(5,11)，(7,11)，共10个；其中和为偶数的样本点有(3,5)，(3,7)，(3,11)，(5,7)，(5,11)，(7,11)，共6个， 所以和为偶数的概率为＝. 4．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________． 答案　 解析　样本空间Ω＝{(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，红)，(白，白)，(白，蓝)，(蓝，红)，(蓝，白)，(蓝，蓝)}，共9个样本点，其中颜色相同的样本点有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3个，故所求的概率P＝＝. 1．从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　从三件正品(用1,2,3表示)和一件次品(用0表示)的产品中任取两件的样本空间Ω＝{(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,2)，(1,3)，(2,3)}，共6个样本点，恰有一件次品的样本点有(0,1)，(0,2)，(0,3)，共3个， 由古典概型得P＝＝. 2．欧几里得大约生活在公元前330～前275年之间，著有《几何原本》《已知数》《圆锥曲线》《曲面轨迹》等著作．若从上述4部书籍中任意抽取2部，则抽到《几何原本》的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　记4部书籍分别为a，b，c，d，则从4部书籍中任意抽取2部的样本点为ab，ac，ad，bc，bd，cd，共有6个，抽到《几何原本》的样本点为ab，ac，ad，共有3个，所以抽到《几何原本》的概率为P＝＝. 3．将2个1和3个0随机排成一行，则2个1不相邻的概率为(　　) A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8 答案　C 解析　2个1和3个0随机排成一行，样本点有00011,00101,01001,10001,10010,10100,11000, 01100,00110,01010，共10个；其中2个1不相邻的有00101,01001,10001,10010,10100,01010，共6个样本点，所以所求概率P＝＝0.6. 4．将数据1,3,5,7,9这五个数中随机删去两个数，则剩下的三个数的平均数大于5的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　从5个数中随机删去两个数有(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,7)，(5,9)，(7,9)，共10个样本点， 要使剩下数据的平均数大于5，删去的两个数可以是(1,3)，(1,5)，(1,7)，(3,5)，共有4个样本点， 所以剩下数据的平均数大于5的概率为P＝＝. 5．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，共15个样本点，且每个样本点出现的可能性相等， 正确的开机密码只有1种，∴P＝. 6．(多选)下列关于各事件发生的概率判断正确的是(　　) A．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为 B．四条线段的长度分别是1,3,5,7，从这四条线段中任取三条，所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是 C．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为 D．已知集合A＝{2,3,4,5,6,7}，B＝{2,3,6,9}，在集合A∪B中任取一个元素，则该元素是集合A∩B中的元素的概率为 答案　ABC 解析　对于A，从甲、乙、丙三人中任选两人，则该试验的样本空间Ω＝{(甲、乙)，(甲、丙)、(乙、丙)}，共3个样本点，其中，甲被选中的样本点有2个，故甲被选中的概率为P＝，故A正确；对于B，样本空间Ω＝{(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)}，共4个样本点，而能构成三角形的样本点只有(3,5,7)一个，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P＝，故B正确；对于C，该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为＝，故C正确；对于D，因为A∪B＝{2,3,4,5,6,7,9}，A∩B＝{2,3,6}，所以由古典概型的概率计算公式得，所求的概率是，故D错误． 7．如图，地上有3个不同的桶，每次取一个桶，直到取完，则最后一个取到B的概率是________． 答案　 解析　由图可知，B桶不可能第一个被取到，故画树状图表示所有可能的取法，如图． 共有3种等可能的结果，其中最后一个取到B的结果有2种， 所以最后一个取到B的概率为. 8．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法．在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子(用竹子、木头、兽骨、象牙、金属等材料制成)以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数(小木棍全部用完)，那么这两个数的和不小于9的概率为________． 答案　 解析　用五根小木棍摆成两个数，共有两种摆放方法：第一种是用1根和4根小木棍可以组成1与4,1与8，共2种不同的组合，其和分别为5,9； 第二种是用2根和3根小木棍可以组成2与3,2与7,6与3,6与7，共4种不同的组合，其和分别为5,9,9,13，故用五根小木棍随机摆放成图中的两个数，有2＋4＝6(种)不同的组合，其中两个数的和不小于9的有4种， 所以这两个数的和不小于9的概率为P＝＝. 9．垃圾分类是改善环境，节约资源的新举措．住建部于6月28日拟定了包括某市在内的46个重点试点城市，要求这些城市在2023年底基本建成垃圾分类处理系统，为此，该市某中学对学生开展了“垃圾分类”有关知识的讲座并进行测试，将所得测试成绩整理后，绘制出频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中a的值，并估计测试的平均成绩； (2)学校要求对不及格(60分以下)的同学进行补考，现按比例分配的分层随机抽样的方法在成绩为[50,70)的同学中抽取5名，再从这5名同学中抽取2人，求这2人中至少有一人需要补考的概率． 解　(1)由题意得(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1， 解得a＝0.005， 平均成绩为55×0.1＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.3＋95×0.1＝76.5. (2)由题意知抽取的5人中，成绩在[50,60)内的有2人，记为a，b；成绩在[60,70)内的有3人，记为A，B，C. 随机试验的所有可能结果有 ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC，共10个， 其中至少有1人需要补考的结果有 ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，共7个． 所以所求概率为P＝. 10．某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示： A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (1)从该小组身高低于1.80米的同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.78米以下的概率； (2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率． 解　(1)由题意知，从该小组身高低于1.80米的同学中任选2人，这一试验E1的样本空间Ω1＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，故属于古典概型．设事件M表示“选到的2人的身高都在1.78米以下”，则M＝{AB，AC，BC}，共含有3个样本点， 所以P(M)＝＝. (2)从该小组同学中任选2人，这一试验E2的样本空间Ω2＝{AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE}，共10个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，故属于古典概型．设事件N表示“选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中”，则N＝{CD，CE，DE}，共含有3个样本点，所以P(N)＝. 11．先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，两枚骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　所有样本点的个数为36，且每个样本点出现的可能性相等．由log2xy＝1得2x＝y，其中x，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以或或故事件“log2xy＝1”包含3个样本点，所以所求的概率为P＝＝. 12．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线互相垂直的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的直线共有×6×6＝18(对)，而互相垂直的有5对，故所求的概率P＝. 13．某校从高二年级800名男生中随机抽取50名测量其身高(单位：cm，被测学生的身高全部在155 cm到195 cm之间)，将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，绘制成的频率分布直方图如图所示，若从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名，记他们的身高分别为x，y，则|x－y|≤5的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由频率分布直方图，可知身高在[180,185)的人数为0.016×5×50＝4，分别记为a，b，c，d；身高在[190,195]的人数为0.008×5×50＝2，分别记为A，B；则可用数组(x，y)表示样本点，M＝“从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名”，若x，y∈[180,185)，则M＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}，共6种情况；若x，y∈[190,195]，则M＝{(A，B)}，共1种情况；若x∈[180,185)，y∈[190,195](或x∈[190,195]，y∈[180,185))，则M＝{(a，A)，(b，A)，(c，A)，(d，A)，(a，B)，(b，B)，(c，B)，(d，B)}，共8种情况．所以样本点的总数为6＋1＋8＝15，而事件“|x－y|≤5”所包含的样本点个数为6＋1＝7，故P(|x－y|≤5)＝. 14．(多选)如图，圆O的半径为1，六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形，从A，B，C，D，E，F六点中任意取两点，并连接成线段，则下列结论正确的是(　　) A．线段的长为1的概率是0.4 B．线段的长为2的概率是0.5 C．线段的长为的概率是0.4 D．线段的长为的概率是0.8 答案　AC 解析　在A，B，C，D，E，F中任取两点的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共15个样本点，线段长为1的样本点有(A，B)，(A，F)，(B，C)，(C，D)，(D，E)，(E，F)，共有6个，所以线段长为1的概率P1＝＝0.4，故A正确；线段长为2的样本点有(A，D)，(B，E)，(C，F)，共有3个，所以线段长为2的概率P2＝＝0.2，故B不正确；线段长为的样本点有(A，C)，(A，E)，(B，D)，(B，F)，(C，E)，(D，F)，共有6个，所以线段长为的概率P3＝＝0.4，故C正确；D不正确． 15. 如图所示，现有一只迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格(若它在5处，跳动一次只能进入3处；若它在3处，则跳动一次可以等可能地进入1,2,4,5处)，则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意可知小青蛙三次跳动后的所有样本点为(3→1→3→1)，(3→1→3→2)，(3→1→3→4)，(3→1→3→5)，(3→2→3→2)，(3→2→3→1)，(3→2→3→4)，(3→2→3→5)，(3→4→3→4)，(3→4→3→1)，(3→4→3→2)，(3→4→3→5)，(3→5→3→5)，(3→5→3→1)，(3→5→3→2)，(3→5→3→4)，共16个， 满足题意的样本点为(3→1→3→5)，(3→2→3→5)，(3→4→3→5)，共3个． 由古典概型的概率计算公式可得，小青蛙在第三次跳动后，首次进入5处的概率是. 16．随着甜品的不断创新，现在的甜品无论是造型还是口感都十分诱人，有颜值、有口味、有趣味的产品更容易得到消费者的喜欢．某“网红”甜品店出售几种甜品，由于口味独特，受到越来越多人的喜爱，好多外地的游客专门到该甜品店来品尝“打卡”，已知该甜品店同一种甜品售价相同，该店为了了解每个种类的甜品销售情况，专门收集了本店这个月里五种“网红甜品”的销售情况，统计后得到如下表格： 甜品种类 A甜品 B甜品 C甜品 D甜品 E甜品 销售总额(万元) 10 5 20 20 12 销售量(千份) 5 2 10 5 8 利润率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 (利润率是指一份甜品的销售价格减去成本得到的利润与该甜品的销售价格的比值) (1)从该甜品店本月卖出的甜品中随机选一份，求这份甜品的利润率高于0.2的概率； (2)假设每种甜品利润率不变，销售一份A甜品获利x1元，销售一份B甜品获利x2元，销售一份C甜品获利x3元，销售一份D甜品获利x4元，销售一份E甜品获利x5元，设＝，若该甜品店从五种“网红甜品”中随机卖出两种不同的甜品，求至少有一种甜品获利超过元的概率． 解　(1)由题意知本月共卖出3万份甜品，利润率高于0.2的是A甜品和D甜品，共有1万份， 设“这份甜品的利润率高于0.2”为事件A， 则P(A)＝. (2)由题意得甜品A，B，C，D，E分别获利为8,5,3,10,3. 所以＝＝，故A甜品和D甜品获利超过，从五种“网红甜品”中随机卖出2种不同甜品，共含有10个样本点，分别为AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE.设“至少有一种甜品获利超过元”为事件M，则事件M包含7个样本点，分别为AB，AC，AD，AE，BD，CD，DE，所以至少有一种甜品获利超过元的概率为P(M)＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$