10.1.3 古典概型(1)-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

10.1.3　古典概型(一) [学习目标]　1.理解古典概型的概念及特点.2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题的方法． 导语　 研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小．对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示． 我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值．能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？ 一、古典概型的定义 问题1　我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？ 提示　样本空间的样本点是有限个，每个样本点发生的可能性相等． 知识梳理　 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 则称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 例1　下列概率模型是古典概型吗？为什么？ (1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率； (2)向上抛掷一枚不均匀的硬币，求正面朝上的概率； (3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率． 解　(1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“样本空间的样本点只有有限个”矛盾． (2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”发生的可能性不相等，与古典概型定义中“每一个样本点发生的可能性相等”矛盾． (3)是古典概型，因为在试验中样本点是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等． 反思感悟　古典概型需满足两个条件 (1)样本点总数有限．(有限性) (2)各个样本点出现的可能性相等．(等可能性) 跟踪训练1　(多选)下列试验中是古典概型的是(　　) A．抛一枚质地均匀的硬币，观察其正面或反面出现的情况 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取1个球 C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点 D．射击运动员向一靶心进行射击，观察其环数 答案　AB 解析　选项A，正面和反面出现的概率相同，是古典概型；选项B，每个球被抽到的概率相等，是古典概型；选项C，样本点有无限个，不是古典概型；选项D，命中10环，9环，…，0环的概率不等，不是古典概型． 二、古典概型概率的计算 问题2　在掷骰子的试验中，记事件A为“点数为偶数”，事件A包含哪些样本点？事件A发生的概率是多少？ 提示　A＝{2,4,6}． 对于抛掷骰子的试验，出现各个点的可能性相同，记出现1点，2点，…，6点的事件分别为A1，A2，…，A6，则P(A1)＝P(A2)＝…＝P(A6)，又P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A6)＝P(必然事件)＝1，所以P(A1)＝P(A2)＝…＝P(A6)＝，P(A)＝＝. 知识梳理　 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 例2　一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．求： (1)样本空间的样本点的总数n； (2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数； (3)摸出2个黑球的概率． 解　由于4个球的大小相同，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型． (1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球， 样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，共6个样本点，所以n＝6. (2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个样本点． (3)样本点总数n＝6，事件“摸出2个黑球”包含的样本点个数m＝3，故P＝＝，即摸出2个黑球的概率为. 反思感悟　利用古典概型概率计算公式计算概率的步骤 (1)确定样本空间的样本点的总数n. (2)确定所求事件A包含的样本点的个数m. (3)P(A)＝. 跟踪训练2　为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是________． 答案　 解析　从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一花坛的样本点有红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6个，其中红色和紫色的花不在同一花坛的样本点有红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4个，故所求概率为P＝＝. 三、较复杂的古典概型的概率计算 例3　先后抛掷两枚质地均匀的骰子． (1)求点数之和为7的概率； (2)求掷出两个4点的概率； (3)求点数之和能被3整除的概率． 解　如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36个，且每个样本点出现的可能性相等． (1)记“点数之和为7”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共有6个，分别为(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)， 故P(A)＝＝. (2)记“掷出两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即(4,4)， 故P(B)＝. (3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的样本点共12个，分别为(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P(C)＝＝. 反思感悟　在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便． 跟踪训练3　某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游． (1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率； (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率． 解　(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15个样本点． 所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个， 则所求事件的概率为P＝＝. (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，样本空间Ω＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)}，共9个样本点． 包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有 (A1，B2)，(A1，B3)，共2个， 则所求事件的概率为P＝. 1．知识清单： (1)古典概型． (2)古典概型的概率公式． 2．方法归纳：常用列举法(列表法、树状图)求样本点的总数． 3．常见误区：在列举样本点的个数时，要按照一定的顺序，做到不重、不漏． 1．(多选)下列试验是古典概型的是(　　) A．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率 C．向一个正方形ABCD内部随机地投一个点，该点落在A点的概率 D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率 答案　BD 解析　A不是等可能事件，C不满足有限性． 2．在50瓶牛奶中，有5瓶已经过了保质期，从中任取一瓶，取到已经过保质期的牛奶的概率是(　　) A．0.02 B．0.05 C．0.1 D．0.9 答案　C 解析　由题意知，在50瓶牛奶中任取1瓶，有50个样本点，取到已过保质期的牛奶包括5个样本点，根据古典概型概率计算公式求得概率是＝0.1. 3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}，共6个样本点．甲站在中间的样本点包括(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，共2个，所以甲站在中间的概率P＝＝. 4．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是________． 答案　0.2 解析　两数之和等于5有(1,4)和(2,3)两种情况，总的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等，所以P＝＝0.2. 1．下列试验是古典概型的是(　　) A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球为白球 B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2>0 C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 D．某人射击中靶或不中靶 答案　C 解析　对于A，取出白球与取出黑球发生的可能性不同，故不是古典概型； 对于B，一次试验的结果有无限个，故不是古典概型； 对于C，满足古典概型特征，是古典概型； 对于D，两个样本点发生的可能性可能不同，故不是古典概型． 2．我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务中选一个季节的6幅彩绘绘制， 共有四个样本点，甲抽到绘制夏季6幅彩绘是其中一个样本点， 故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为. 3．已知x∈{1,2,3,4}，y∈{1,2,3}，则x，y满足x＋y＝5的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　所有的样本点为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12个． 满足x＋y＝5的样本点有(2,3)，(3,2)，(4,1)，共3个，所以所求事件的概率P＝＝. 4．现有人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　从蓝、白、红、黑、绿5种颜色的口罩中选3只不同颜色的口罩，样本点列举如下： (蓝白红)，(蓝白黑)，(蓝白绿)，(蓝红黑)，(蓝红绿)，(蓝黑绿)，(白红黑)，(白红绿)，(白黑绿)，(红黑绿)，共10个， 其中蓝、白口罩同时被选中的样本点有(蓝白红)，(蓝白黑)，(蓝白绿)，共3个， 所以蓝、白口罩同时被选中的概率为. 5．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　把2个红球分别标记为红1、红2,2个白球分别标记为白1、白2，本试验样本空间所包含的样本点共有16个，其中取出的2个球同色包含的样本点有8个：(红1，红1)，(红1，红2)，(红2，红1)，(红2，红2)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，故所求概率P＝＝. 6．盒子里共有5个球，其中有3个红球，2个蓝球，这5个球除颜色外完全相同，从中依次摸出3个球(不放回)，则第2次摸出红球的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　记3个红球为a1，a2，a3,2个蓝球为b1，b2，设事件A表示第2次摸到红球，只考虑前两次摸球的结果，样本空间 Ω＝{a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a2a1，a2a3，a2b1，a2b2，a3a1，a3a2，a3b1，a3b2，b1a1，b1a2，b1a3，b1b2，b2a1，b2a2，b2a3，b2b1}，共20个样本点， A＝{a1a2，a1a3，a2a1，a2a3，a3a1，a3a2，b1a1，b1a2，b1a3，b2a1，b2a2，b2a3}，共12个样本点，所以P(A)＝＝. 7．从1,2,3,4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________． 答案　 解析　用列举法知，可重复地选取两个数共有16个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，其中一个数是另一个数的2倍的有(1,2)，(2,1)，(2,4)，(4,2)，共4个样本点，故所求的概率为＝. 8．从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都是奇数的概率是________．若有放回地任取两个数，则两个数都是偶数的概率是________． 答案　　 解析　从5个数字中不放回地任取两个数，样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等．因为都是奇数的样本点有(1,3)，(1,5)，(3,5)，共3个，故所求概率P＝.从5个数字中有放回地任取两个数，样本点共有25个，且每个样本点出现的可能性相等，都为偶数的样本点有(2,4)，(4,2)，(2,2)，(4,4)，共4个，故概率P＝. 9．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球． (1)共有多少个样本点？ (2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？ 解　(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下样本点(摸到1,2号球用(1,2)表示)： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)． 因此，共有10个样本点． (2)上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到2只白球，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故摸出2只球都是白球的概率为P＝. 10．新高考数学试题中有多项选择题，要求为：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某多项选择题的正确答案是BCD. (1)若甲同学不会做该题，但他想猜对得5分，就随机填写了一个答案，求他得5分的概率； (2)若乙同学也不会做该题，他只想得2分，就按单项选择题处理，随机填写了一个答案，求他得2分的概率． 解　(1)该事件的样本空间Ω1＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD}，共含10个样本点，每个样本点的发生是等可能的，故可以用古典概型计算概率．用事件A表示“甲同学得5分”，则A＝{BCD}，含有1个样本点，所以P(A)＝. (2)该事件的样本空间Ω2＝{A，B，C，D}，共含4个样本点，每个样本点的发生是等可能的，故可以用古典概型计算概率，用事件B表示“乙同学得2分”，则B＝{B，C，D}，含有3个样本点，所以P(B)＝. 11．每年3月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者5名，其中男生3名，女生2名，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名青年志愿者性别相同的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设3名男生分别用A，B，C表示，2名女生分别用a，b表示，则从5人中选出2名青年志愿者的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)}，共有10个样本点，其中选出的2名志愿者性别相同包含的样本点有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(a，b)，共有4个，则选出的2名青年志愿者性别相同的概率为P＝＝. 12．(多选)5张奖券中有2张是中奖的，甲先抽取一张，然后乙抽取一张，则下列结论正确的是(　　) A．甲中奖的概率P(A)＝ B．乙中奖的概率P(B)＝ C．只有乙中奖的概率P(C)＝ D．甲、乙都中奖的概率P(D)＝ 答案　AD 解析　设中奖奖券为1,2，不中奖的奖券为3,4,5，则随机试验的样本空间为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共20个样本点， 事件甲中奖包含(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)共8个样本点，所以事件甲中奖的概率P(A)＝＝，A正确； 事件乙中奖包含(1,2)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)共8个样本点，所以事件乙中奖的概率P(B)＝＝，B错误； 事件只有乙中奖包含(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)共6个样本点，所以事件只有乙中奖的概率P(C)＝＝，C错误； 事件甲、乙都中奖包含(1,2)，(2,1)共2个样本点，所以事件甲、乙都中奖的概率P(D)＝＝，D正确． 13．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　记“|a－b|≤1”为事件A，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，则事件A包含的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16个，又依题意得，样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等，因此他们“心有灵犀”的概率P＝＝. 14．一次抛掷两枚均匀的骰子，得到的点数分别为m和n，则关于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0无实数根的概率是________． 答案　 解析　易知总的样本点个数为36，且每个样本点出现的可能性相等．因为方程无实数根，所以Δ＝(m＋n)2－16<0，即－4<m＋n<4，符合条件的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个，故所求概率为＝. 15. 某城市有连接8个小区A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区H，则他经过市中心O的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意，此人从小区A前往小区H的所有最短路径包含的样本点有A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共6个．记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的样本点有A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，共4个，所以P(M)＝＝，即他经过市中心O的概率为. 16．某县有特级教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A1，A2，乙校教师记为B1，B2，丙校教师记为C，丁校教师记为D.现从这6名教师代表中选出3名教师组成下届教师职称评审团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中每校至多选出1名． (1)请列出教师职称评审团组成人员的全部样本点； (2)求教师A1被选中的概率； (3)求评审团中没有乙校教师代表的概率． 解　(1)从6名教师代表中选出3名教师组成评审团，组成人员的全部样本点分别为 (A1，B1，C)，(A1，B1，D)，(A1，B2，C)，(A1，B2，D)，(A1，C，D)，(A2，B1，C)，(A2，B1，D)，(A2，B2，C)，(A2，B2，D)，(A2，C，D)，(B1，C，D)，(B2，C，D)． (2)在组成人员的全部样本点中，A1被选中的样本点有(A1，B1，C)，(A1，B1，D)，(A1，B2，C)，(A1，B2，D)，(A1，C，D)，共5个， 所以教师A1被选中的概率P＝. (3)评审团中没有乙校教师代表的样本点有(A1，C，D)，(A2，C，D)，共2个， 所以评审团中没有乙校教师代表的概率P＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$