8.6 习题课 二面角的平面角的常见解法-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

习题课　二面角的平面角的常见解法 [学习目标]　1.掌握二面角的定义及其平面角的作法．(重点)2.会使用定义法、垂面法、垂线法、射影面积法求二面角的大小．(难点) 导语　 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(dihedral angle)．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α－AB－β.有时为了方便，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－AB－Q.如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α－l－β或二面角P－l－Q. 如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角． 一、定义法求二面角 知识梳理　 定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，过这个点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图，∠AOB为二面角α－l－β的平面角． 例1　(1)如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝，求二面角V－AB－C的大小． 解　如图，取AB的中点D，连接VD，CD， ∵在△VAB中，VA＝VB＝AB＝2， ∴△VAB为等边三角形， ∴VD⊥AB且VD＝， ∵在△ACB中，AB＝AC＝BC＝2， ∴△ACB为等边三角形， ∴CD⊥AB，CD＝， ∴∠VDC为二面角V－AB－C的平面角， ∵在△ADC中，VD＝CD＝VC＝， ∴△VDC是等边三角形， ∴∠VDC＝60°， ∴二面角V－AB－C的大小为60°. (2)二面角α－l－β的大小为60°，A，B分别在两个面内且A和B到棱l的距离分别为2和4，AB＝10，求AB与棱l所成角的正弦值． 解　如图，作AC⊥l，BD⊥l，C，D为垂足， 则AC＝2，BD＝4，AB＝10. 在β内过点C作CE∥DB，且CE＝DB，连接BE，AE， ∴四边形CEBD为平行四边形， ∴BE∥l，且CE＝BD＝4， ∴∠ABE为AB与棱l所成的角， ∵BD∥CE，∴l⊥CE，又l⊥AC，AC∩CE＝C， ∴∠ACE为α－l－β的平面角，且l⊥平面ACE， ∴∠ACE＝60°， ∴AE2＝AC2＋CE2－2AC·CE·cos∠ACE ＝22＋42－2×2×4×＝12， ∴AE＝2， 又BE∥l，l⊥平面ACE， ∴BE⊥平面ACE， ∴BE⊥AE， ∴sin∠ABE＝＝＝. ∴AB与棱l所成角的正弦值为. 反思感悟　利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个平面内作棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角，解题时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角． 二、垂面法求二面角 知识梳理　 垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两条交线所成的角即二面角的平面角．如图，∠AOB为二面角α－l－β的平面角． 例2　如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小． 解　∵SB＝BC且E是SC的中点， ∴BE是等腰三角形SBC底边SC的中线， ∴SC⊥BE. 又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE， ∴SC⊥平面BDE， ∴SC⊥BD. 又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC， ∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA⊂平面SAC， ∴BD⊥平面SAC. ∵平面SAC∩平面BDE＝DE， 平面SAC∩平面BDC＝DC， ∴BD⊥DE，BD⊥DC， ∴∠EDC是所求二面角的平面角． ∵SA⊥底面ABC， ∴SA⊥AB，SA⊥AC. 设SA＝2，则AB＝2，BC＝SB＝2. ∵AB⊥BC， ∴AC＝2， ∴∠ACS＝30°. 又已知DE⊥SC， ∴∠EDC＝60°. 即二面角E－BD－C的大小为60°. 反思感悟　二面角中如果存在一个平面与棱垂直，且与二面角的两个半平面都相交，那么这两条交线所成的角即为该二面角的平面角． 三、垂线法求二面角 知识梳理　 垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角．如图，∠AOB为二面角α－l－β的平面角． 例3　如图，平面β内一条直线AC，AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α－BD－β的大小． 解　如图，过点A作AF⊥BD，F为垂足，作AE⊥平面α，E为垂足，连接EF，CE， ∴由三垂线定理知BD⊥EF， ∴∠AFE为二面角α－BD－β的平面角． 依题意∠ACF＝45°，∠ACE＝30°，设AC＝2， ∴AF＝CF＝，AE＝1， ∴sin∠AFE＝＝＝， ∴∠AFE＝45°. ∴二面角α－BD－β的大小为45°. 反思感悟　如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用三垂线定理可证明两垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角． 四、射影面积法 例4　在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PCD所成的二面角的大小． 解　如图，∵PA⊥平面ABCD， AD⊂平面ABCD， ∴PA⊥AD， 又AD⊥AB， 且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， ∴AD⊥平面PAB， 又BC∥AD， ∴BC⊥平面PAB. ∴△PCD在平面PBA上的射影为△PAB， 设平面PBA与平面PCD所成的二面角为θ， ∴cos θ＝＝＝， ∴θ＝45°. 故平面PBA与平面PCD所成的二面角的大小为45°. 反思感悟　若多边形的面积为S，它在一个平面内的射影图形的面积为S′，且多边形与该平面所成的二面角为θ，则cos θ＝. 1．知识清单：二面角的定义及其平面角的作法，求二面角． 2．方法归纳：用定义法、垂面法、垂线法、射影面积法求二面角． 3．常见误区：寻找二面角的平面角，求二面角的三角函数值时出错． 1. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　B 解析　∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴CD⊥PA， 又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD， 又PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， ∴CD⊥平面PAD， 又PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD， 可知∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角． 在Rt△PAD中，由PA＝AD＝1， 可得∠PDA＝45°. 即侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是45°. 2. 如图，在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝4 cm，AC＝6 cm，BD＝8 cm，CD＝2 cm，则这个二面角的度数为(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 答案　B 解析　如图，过点A作AE∥BD且AE＝BD，连接CE，DE，则AE⊥AB，即∠CAE为二面角的平面角，由题意，得AE＝BD＝8 cm，AC＝6 cm，∵AB⊥AC，AB⊥AE，AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面ACE， ∴AB⊥平面ACE， ∴AB⊥CE， 又∵DE∥AB， ∴DE⊥CE， ∴CE2＝CD2－ED2＝(2)2－42＝52，由余弦定理， 得cos∠CAE＝＝＝， 则∠CAE＝60°，即这个二面角的度数为60°. 3．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角的大小为______． 答案　60° 解析　正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2， 则底面边长为2，底面积为12， 所以正四棱锥的高为3， 所以侧面与底面所成的二面角的正切值为， 故所求的二面角为60°. 4. 已知在如图所示的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC＝CD＝1，AD＝，则二面角B－CD－A的正切值为______． 答案　1 解析　∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD， ∴AB⊥CD，又BC⊥CD，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC， ∴CD⊥平面ABC，∴CD⊥AC， ∴∠ACB为二面角B－CD－A的平面角． ∵BC⊥CD， ∴BD＝＝. ∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥BC，AB⊥BD， ∴AB＝＝1，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝1. 1. 如图，三棱台ABC－A1B1C1的下底面是正三角形，AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A－BB1－C的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　C 解析　在三棱台ABC－A1B1C1中， B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1， 则BC⊥BB1， 又AB⊥BB1， 所以∠ABC为二面角A－BB1－C的平面角， 因为△ABC为等边三角形， 所以∠ABC＝60°，即二面角A－BB1－C的大小为60°. 2．如图所示，将等腰Rt△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°.则这个二面角的大小是(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 答案　C 解析　因为AD是等腰Rt△ABC斜边BC上的高， 所以B′D＝DC＝AC，∠ADC＝∠ADB′＝90°， 因此∠B′DC是这个二面角的平面角， 因为∠B′AC＝60°. 所以△B′AC是等边三角形，因此B′C＝AB′＝AC，所以在△B′DC中，∠B′DC＝90°. 3．已知二面角α－l－β的大小为130°，两条异面直线a，b满足a⊂α，b⊂β，且a⊥l，b⊥l，则a，b所成角的大小为(　　) A．40° B．50° C．130° D．140° 答案　B 解析　如图，在直线l上任取一点O，作OA∥b，OB∥a， 由a⊂α，b⊂β且a⊥l，b⊥l得∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则有∠AOB＝130°， 又OA∥b，OB∥a，所以a，b所成角的大小为180°－130°＝50°. 4. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱AD，BC的中点，则平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB⊥平面B1BCC1， E，F分别为棱AD，BC的中点，所以EF∥AB，所以EF⊥平面B1BCC1， 所以EF⊥FC1，EF⊥FC， 所以∠CFC1就是平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的平面角， cos∠CFC1＝＝＝. 5．(多选)如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是(　　) A．异面直线AC与BC1所成的角为60° B．直线AB1与平面ABC1D1所成的角为45° C．二面角A－B1C－B的正切值为 D．四面体D1－AB1C的外接球的体积为 答案　ACD 解析　如图所示，连接AD1，AO，CD1， 对于A，易知BC1∥AD1，则∠D1AC为异面直线AC与BC1所成的角，显然△AD1C为正三角形， ∴∠D1AC＝60°，故A正确； 对于B，∵B1O⊥BC1，B1O⊥AB，AB∩BC1＝B，∴B1O⊥平面ABC1D1，∴∠B1AO为直线AB1与平面ABC1D1所成的角，∵AO＝，B1O＝， ∴tan∠B1AO＝＝，∴∠B1AO＝30°，故B错误； 对于C，在△AB1C中，AO⊥B1C，∴∠AOB为二面角A－B1C－B的平面角，tan∠AOB＝＝＝，故C正确； 对于D，利用补形法可知三棱锥的外接球即为正方体的外接球，∴R＝，∴V＝R3＝，故D正确． 6. 如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都相等，则二面角A1－BC－A的平面角的正切值为(　　) A. B. C．1 D. 答案　D 解析　设棱长为a，BC的中点为E，连接A1E，AE(图略)，由正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都相等，可得A1E⊥BC，AE⊥BC，所以二面角A1－BC－A的平面角为∠A1EA，在等边△ABC中，AE＝a，所以tan∠A1EA＝＝＝，即二面角A1－BC－A的平面角的正切值为. 7. 如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中： (1)二面角D′－AB－D的大小为________． (2)二面角A′－AB－D的大小为________． 答案　(1)45°　(2)90° 解析　(1)在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面ADD′A′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小为45°. (2)因为AB⊥平面ADD′A′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD为二面角A′－AB－D的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D的大小为90°. 8. 如图所示，α∩β＝CD，P为二面角内部一点．PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B.若△PAB为等边三角形，则二面角α－CD－β的大小为________． 答案　120° 解析　设平面PAB与棱CD交于点E， 如图，连接BE，AE，易得CD⊥BE，CD⊥AE， 则∠BEA即为所求二面角的平面角． ∵△PAB为等边三角形， ∴∠APB＝60°， ∴∠BEA＝120°. 故二面角α－CD－β的大小为120°. 9．在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，求二面角A－CD－B的余弦值． 解　如图，由已知可得AD⊥DC， 又由其余各棱长都为1，得△BCD为等边三角形，取CD的中点E，连接BE，则BE⊥CD， 在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，连接BF，则EF⊥CD，则∠BEF为二面角A－CD－B的平面角． ∵EF＝，BE＝，BF＝， ∴cos∠BEF＝＝＝. 10．在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，∠ABC＝30°，求二面角P－BC－A的余弦值． 解　设PA＝AB＝2，过点A在平面ABCD内作AE⊥BC交BC于点E，连接PE，如图所示， ∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， ∴BC⊥PA， ∵AE⊥BC，PA∩AE＝A，PA，AE⊂平面PAE， ∴BC⊥平面PAE， ∵PE⊂平面PAE，∴PE⊥BC， ∴二面角P－BC－A的平面角为∠PEA， 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝30°， AB＝2， 则AE＝AB＝1， ∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD， ∴PA⊥AE， ∴PE＝＝， ∴cos∠PEA＝＝＝. ∴二面角P－BC－A的余弦值为. 11. 如图，将正方形A1BCD折成直二面角A－BD－C，则二面角A－CD－B的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵以正方形A1BCD的对角线BD为棱折成直二面角， ∴平面ABD⊥平面BCD，连接A1C交BD于点O，连接AO，如图所示， 则AO⊥BD， ∵平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD， ∴AO⊥平面BCD， ∴AO⊥CD， 取CD的中点M，连接OM，AM，则OM∥BC， ∴OM⊥CD， 又AO∩OM＝O， ∴CD⊥平面AOM， ∴AM⊥CD， ∴∠AMO即为二面角A－CD－B的平面角． 设正方形A1BCD的边长为2， 则AO＝，OM＝1， ∴AM＝＝. ∴cos∠AMO＝＝＝. 12．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD面积的2倍．沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　C 解析　由已知得BD＝2CD.翻折后，易知BC⊥CD.在Rt△BCD中，∠BDC＝60°.而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°. 13．二面角α－MN－β的平面角为θ1，AB⊂α，B∈MN，∠ABM＝θ2(θ2为锐角)，AB与β的夹角为θ3，则下列关系式成立的是(　　) A．cos θ3＝cos θ1·cos θ2 B．cos θ3＝sin θ1·cos θ2 C．sin θ3＝sin θ1·sin θ2 D．sin θ3＝cos θ1·sin θ2 答案　C 解析　如图，过点A作AH⊥β于点H，作HO⊥MN于点O，连接AO，则AO⊥MN，所以∠AOH为α－MN－β的平面角，∠ABH为AB与β所成的角，因为sin θ1＝，sin θ2＝， 所以sin θ1·sin θ2＝·＝＝sin θ3. 14．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使得点B和点D的距离为1，则二面角B－AC－D的大小为________． 答案　 解析　设翻折前AC与BD相交于点O， 则OB⊥AC，OD⊥AC，而翻折之后的图形如图所示， ∴∠BOD为二面角B－AC－D的平面角， ∵OB＝OD＝，BD＝1， ∴△BOD为等腰直角三角形，且∠BOD＝， ∴二面角B－AC－D的大小为. 15. “帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”．如图是一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面，若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为，底面矩形的长与宽之比为2∶1，则正脊与斜脊长度的比值为(　　) A. B．2 C. D. 答案　A 解析　设正脊长为a，斜脊长为b，底面矩形的长与宽分别为2t和t， 如图，过S作SO⊥上底平面于O，过O作OE⊥AD于E，作OF⊥AB于F， 连接SE，SF，OA， 由题意知tan∠SEO＝tan∠SFO＝， SE2＝SA2－AE2＝b2－2， SF2＝SB2－BF2＝b2－2， 所以＝，于是a＝t， SA＝b＝＝＝， 所以＝＝. 16. 如图，在水平放置的直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝DC＝AB＝1，以AB所在直线为轴，将梯形ABCD向上旋转角θ得到梯形ABEF，其中θ∈. (1)证明：平面ADF⊥平面CDFE； (2)若平面ADF与平面BCE所成的二面角的余弦值等于，求θ的值． (1)证明　由题意，知AB⊥AD，AB⊥AF，AD∩AF＝A，且AD，AF⊂平面ADF， 所以AB⊥平面ADF， 又AB∥CD， 所以CD⊥平面ADF， 因为CD⊂平面CDFE， 所以平面ADF⊥平面CDFE. (2)解　因为EF∥AB∥CD， 所以EF⊥平面ADF， 从而△BCE在平面ADF内的投影为△ADF， 所以平面ADF与平面BCE所成二面角的余弦值为， 由已知得∠FAD＝θ，AF＝AD＝1，BE＝BC＝，FD＝EC＝2sin ， 所以S△ADF＝sin θ＝sin cos ， S△BCE＝·2sin ·＝sin ·， 从而＝＝＝， 即cos2＝， 因为θ∈， 所以cos >0，所以cos ＝， 所以＝， 故θ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$