第6章 平面向量及其应用 章末复习课 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

章末复习课 第六章　平面向量及其应用 知识网络 一、向量的线性运算 二、向量的数量积运算 三、余弦定理、正弦定理 四、余弦、正弦定理在实际问题中的应用 内容索引 向量的线性运算 一 1.向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题. 2.通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养. 例1　(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则2a－b等于 A.(7，－2) B.(1，－2) C.(1，－3) D.(7,2) √ ∵a＝(2,1)，b＝(－3,4)， ∴2a－b＝2(2,1)－(－3,4)＝(4,2)－(－3,4) ＝(4＋3,2－4)＝(7，－2). 6 √ 作出示意图如图所示. 7 向量线性运算的基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面. 反思感悟 8 √ 9 10 向量的数量积运算 二 1.平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等. 2.通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养. 例2　(1)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝ . 因为a－λb＝(1,3)－λ(3,4)＝(1－3λ，3－4λ)，所以由(a－λb)⊥b可得， 13 9 14 (1)向量数量积的两种计算方法 ①当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ； ②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (2)利用向量数量积可以解决以下问题 ①设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b⇔x1y2－x2y1＝0， a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b均为非零向量)； 反思感悟 15 反思感悟 16 17 18 余弦定理、正弦定理 三 1.主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角形的面积，以及余弦定理、正弦定理简单的综合应用. 2.借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算素养. 例3　在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A). (1)求角C； 21 由题意及余弦定理，得2b2＝2bccos A·(1－tan A). ∴b＝c(cos A－sin A)， 由正弦定理可得sin B＝sin C(cos A－sin A)， ∴sin(A＋C)＝sin Ccos A－sin Csin A， ∴sin Acos C＝－sin Csin A， 又sin A≠0， ∴tan C＝－1，又0<C<π， 22 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 23 若选择条件①，S＝4且B>A， 24 25 在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B， 26 反思感悟 27 (1)求a的值； 28 (2)求cos C的值； 29 30 31 余弦、正弦定理在实际问题中的应用 四 1.余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验. 2.将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养. 例4　为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量.A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图).飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离.请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)； 34 需要测量的数据有：A观测M，N的俯角α1，β1，B观测M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示). 35 ②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤. 36 方法一　第一步：计算AM. 第二步：计算AN.在△ABN中，由正弦定理得， 第三步：计算MN.在△AMN中，由余弦定理得， 37 方法二　第一步：计算BM.在△ABM中，由正弦定理得， 第二步：计算BN.在△ABN中，由正弦定理得， 第三步：计算MN.在△BMN中，由余弦定理得， 38 正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题 (1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图. (2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等. (3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形. (4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累. 反思感悟 39 40 ∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°， 在△DAB中，由正弦定理得 41 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， ∴在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC·cos∠DBC 42 ∴CD＝30(n mile). ∴救援船到达D点需要1 h. 43 (2)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于 A.－ B.－ C.＋ D.＋ ＝＋＝＋ ＝×(＋)＋(－)＝－. 跟踪训练1　如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于 A. B. C. D.2 所以λ＋μ＝. 因为＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋) ＝λ＋μ(－＋) ＝(λ－μ)＋， 且＝＋，所以解得 3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝0，解得λ＝. ＝×(16×62－9×42)＝9. 因为＝＋＝＋， (2)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝ . ＝－＝－， 所以·＝(4＋3)·(4－3)＝(162－92) ②求向量的夹角和模的问题 设a＝(x1，y1)，则|a|＝. 两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量) cos θ＝＝ . 跟踪训练2　已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为 . ＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0， 解得λ＝. 由⊥，知·＝0， 即·＝(λ＋)·(－) ＝(λ－1)·－λ2＋2 解得C＝. (2)若c＝2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度. 条件①：△ABC的面积S＝4且B>A； 条件②：cos B＝. 由解得或 ∵S＝4＝absin C＝absin ， ∴ab＝8. 由余弦定理，得c2＝(2)2＝40＝a2＋b2－2abcos ， ∴a2＋b2＋ab＝40. ∵B>A，∴b>a，∴ ∴CD＝. 在△ACD中，AD2＝CA2＋CD2－2CA·CDcos C ＝16＋2－2×4×cos ＝26， ∴AD＝. 解得AD＝. 若选择条件②，cos B＝， ∴sin B＝. ∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝， 由正弦定理可得a＝＝2. (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行求解时，注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A＝sin B⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin 2A＝ sin 2B⇔A＝B或A＋B＝等. (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝，cos A＝等，通过代数变换. 跟踪训练3　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶，b＝. ∵sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶， 由正弦定理可得a∶b∶c＝2∶1∶， 又b＝，∴a＝2，c＝2. 由余弦定理的推论可得cos C＝＝＝. (3)求sin的值. ∴sin＝sin 2Ccos －cos 2Csin ＝×－×＝. 由(2)得cos C＝，∴sin C＝＝， ∴sin 2C＝2sin Ccos C＝2××＝， cos 2C＝2cos2C－1＝2×－1＝， 在△ABM中，由正弦定理得，AM＝； AN＝； MN＝. BM＝； BN＝； MN＝. 跟踪训练4　如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)n mile的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，该救援船到达D点需要多长时间？ ＝ 由题意知AB＝5(3＋)n mile， ＝， ∴DB＝＝ ＝＝10(n mile)， BC＝20 n mile， ＝300＋1 200－2×10×20×＝900， ∴t＝＝1(h). $$