8.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 [学习目标]　1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．(重点)3.了解简单组合体的概念及结构特征．(难点) 导语　 你到过孔子六艺城吗？在孔子六艺城中有一个地方是数学爱好者必去的，那就是“数厅”，如图，以圆柱体为基座，巨型球体悬其之上，形成了国内少有的圆形建筑物，甚为壮观，你知道其中隐含的数学知识吗？今天我们就一起来研究吧！ 一、旋转体的结构特征 知识梳理　 1．圆柱的概念及结构特征 圆柱 图形及表示 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 图中圆柱记作圆柱O′O 相关概念 圆柱的轴：旋转轴； 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 2.圆锥的概念及结构特征 圆锥 图形及表示 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 图中圆锥记作圆锥SO 相关概念 圆锥的轴：旋转轴； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 3．圆台的概念及结构特征 圆台 图形及表示 定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 图中圆台记作圆台O′O 相关概念 圆台的轴：旋转轴； 圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面； 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 4.球的概念及结构特征 球 图形及表示 定义 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图中的球记作球O 相关概念 球心：半圆的圆心； 半径：连接球心和球面上任意一点的线段； 直径：连接球面上两点并经过球心的线段 例1　(多选)下列选项中，正确的是(　　) A．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 B．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 C．以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥 D．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面 答案　CD 解析　A中，以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；B中，它们的底面为圆面；C，D正确． 反思感悟　(1)判断简单旋转体结构特征的方法 ①明确由哪个平面图形旋转而成． ②明确旋转轴是哪条直线． (2)简单旋转体的轴截面及其应用 ①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量． ②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想． 跟踪训练1　(多选)下列说法正确的是(　　) A．圆柱的母线与它的轴可以不平行 B．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的 答案　BD 解析　由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知BD正确，AC错误． 二、简单组合体的结构特征 知识梳理　 现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单组合体．简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成． 例2　(1)请描述如图所示的几何体是如何形成的． 解　①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体． (2)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形绕轴旋转而成(　　) 答案　A 解析　此几何体自上向下由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，是由A中的平面图形旋转而形成的． 延伸探究　将本例(2)中的组合体变为如图所示的几何体，则可由下列哪个三角形绕轴旋转而成(　　) 答案　D 解析　该组合体为一个大圆锥去掉一个同底的小圆锥，是由D中的图形绕轴旋转而成的． 反思感悟　判断组合体构成的方法 (1)判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体． (2)组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的．要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证． 跟踪训练2　(1)如图所示的简单组合体的组成是(　　) A．棱柱、棱台 B．棱柱、棱锥 C．棱锥、棱台 D．棱柱、棱柱 答案　B (2)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括(　　) A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆柱、一个圆锥 C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥 答案　D 解析　图①是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图②，它包括一个圆柱、两个圆锥． 三、旋转体的有关计算 例3　已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径． 解　如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R， 则πr＝5π，πr＝8π， ∴r＝5，r＝8， 又∵R2＝r＋d＝r＋d， ∴d－d＝8－5＝3， 即(d1－d2)(d1＋d2)＝3， 又d1－d2＝1， ∴解得 ∴R＝＝＝3， 即球的半径为3. 反思感悟　(1)用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)求解． (2)利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键． 跟踪训练3　如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长． 解　设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm.过轴SO作截面，如图所示． 则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm. 所以＝. 所以＝＝. 解得l＝9，即圆台的母线长为9 cm. 1．知识清单： (1)圆柱、圆锥、圆台的结构特征． (2)球的结构特征． (3)简单组合体的结构特征． 2．方法归纳：分类讨论、转化与化归． 3．常见误区：同一平面图形绕不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的． 1．(多选)下列说法中不正确的是(　　) A．将正方形旋转不可能形成圆柱 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 答案　ABD 解析　将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误． 2.下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是(　　) 答案　B 解析　由题意知，该几何体是组合体，上、下各一个圆锥，显然B正确． 3.一条排水管的截面如图．已知排水管的截面圆半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面水深CD等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　B 解析　由题意知OD⊥AB，交AB于点C，∵AB＝16， ∴BC＝AB＝×16＝8，在Rt△OBC中，∵OB＝10，BC＝8， ∴OC＝＝＝6，∴CD＝OD－OC＝10－6＝4. 4．两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形，以一边所在直线为轴旋转所成的圆柱的底面积为________ cm2. 答案　16π或9π 解析　当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为4 cm，底面积为16π cm2； 当以4 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为3 cm，底面积为9π cm2. 1．下列几何体中不是旋转体的是(　　) 答案　D 2．(多选)下列命题中正确的是(　　) A．过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径 B．母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等 C．圆台中所有平行于底面的截面都是圆面 D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形 答案　ACD 3．下面几何体的截面一定是圆面的是(　　) A．圆台 B．球 C．圆柱 D．圆锥 答案　B 解析　截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球． 4.如图所示的平面中阴影部分以虚线为轴旋转一周，形成的几何体形状为(　　) A．一个球体 B．一个球体中间挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球体中间挖去一个长方体 答案　B 解析　圆面绕着直径所在的轴旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱. 5．图①②中的图形折叠后的图形分别是(　　) A．圆锥、棱柱 B．圆锥、棱锥 C．球、棱锥 D．圆锥、圆柱 答案　B 解析　易知①为圆锥，②为三棱锥． 6．过球面上两点A，B作大圆，可能的个数是(　　) A．有且只有一个 B．一个或无穷多个 C．无数个 D．以上均不正确 答案　B 解析　当过点A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；当直线AB不经过球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆． 7．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________．(用Q表示) 答案　 解析　设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r. ∴4r2＝Q，解得r＝，∴此圆柱的底面半径为. 8．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面哪几种____________(填序号)． ①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球． 答案　①②③⑤ 解析　可能是棱柱、棱锥、棱台、圆锥． 9．一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积． 解　如图，设轴截面为△SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则∠ASO＝30°. 在Rt△SOA中， AO＝SO·tan 30°＝(cm)． SA＝＝＝(cm)． 所以S△ASB＝SO·2AO＝(cm2)． 所以圆锥的母线长为 cm，圆锥的轴截面的面积为 cm2. 10.如图所示，四边形ABCD绕边AD所在的直线EF旋转，其中AD∥BC，AD⊥CD.当点A选在射线DE上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点． 解　当AD>BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得的几何体是由底面半径为CD的圆柱和圆锥拼成的组合体；当AD＝BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得的几何体是圆柱；当AD<BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得的几何体是从圆柱中挖去一个同底的圆锥而得到的． 11．如图，某工厂生产的一种机器零件原胚是一个中空的圆台，中空部分呈圆柱形状，且圆柱底面圆心与圆台底面圆心重合，该零件原胚可由下面图形中的一个绕对称轴(直线l)旋转而成，这个圆形是(　　) 答案　B 解析　根据题意，中空部分呈圆柱形状，而圆柱形状由矩形旋转形成，圆台由梯形旋转形成，分析四个选项，A项，旋转后为圆台；C项，旋转后为圆台；D项，旋转后为球体中挖去一个小球；B项正确． 12．如果圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是(　　) A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．顶角为30°的等腰三角形 D．其他等腰三角形 答案　A 解析　因为圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，所以圆锥的底面圆的直径为，母线长也为，所以此圆锥的轴截面是等边三角形． 13．(多选)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是(　　) 答案　AD 解析　一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分． 14．如图所示的立体图形可由平面图形________绕轴旋转而成．(填写序号) 答案　③④ 解析　题图中的半球可由③绕轴旋转一周而成，也可由④绕轴旋转180°而成． 15．如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成． (1)若从模块⑥中拿掉一个小正方体，再从模块①～⑤中选出一个模块放到模块⑥上，使得模块⑥成为长方体，则①～⑤中选出的模块可以是________． (2)若从模块①～⑤中选出3个放到模块⑥上，使模块⑥成为棱长为3的大正方体，则选出的3个模块可以是________． 答案　(1)①(或②或⑤)(答案不唯一)　(2)①②⑤(或①④⑤或②③④)(答案不唯一) 解析　(1)由图可知，①～⑤中选出的一个模块可以是①，也可以是②，也可以是⑤. (2)以①②⑤为例，中间层用⑤补齐，最上层用①②.(答案不唯一) 16．已知圆锥SO的底面半径R＝5，高H＝12. (1)求圆锥SO的母线长． (2)设圆锥SO的内接圆柱OO′的高为h，当h为何值时，内接圆柱OO′的轴截面面积最大？求出最大值． 解　(1)∵圆锥SO的底面半径R＝5，高H＝12， ∴圆锥SO的母线长l＝＝13. (2)作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示， 其中SO＝12，OA＝OB＝5，OO′＝h(0<h<12)． 设圆柱底面半径为r，则＝，即r＝. 设圆柱OO′的轴截面面积为S′，则S′＝2r·h＝(12h－h2)＝[－(h－6)2＋36](0<h<12)． ∴当h＝6时，S′有最大值，最大值为30. 学科网（北京）股份有限公司 $$