10.2 事件的相互独立性(2) （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

§10.2　事件的相互独立 　　　 性(二) 第十章　概　率 1.掌握事件相互独立的定义. 2.会求相互独立事件的概率. 学习目标 一、相互独立事件乘法公式的应用 二、相互独立事件的综合应用 课时对点练 三、统计与事件相互独立性的综合应用 随堂演练 内容索引 相互独立事件乘法公式的应用 一 (1)分别求乙、丙两人各自做对这道题的概率； 5 设甲、乙、丙三人各自做对这道题分别为事件A，B，C， 6 (2)求甲、乙、丙中恰有一个人做对这道题的概率. 设“甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题”为事件D， 7 用相互独立事件的乘法公式解题的步骤 (1)用恰当的字母表示题中有关事件. (2)根据题设条件，分析事件间的关系. (3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立). (4)利用乘法公式计算概率. 反思感悟 8 (1)求p1，p2； 9 因为A，B，C为相互独立事件， 所以甲、丙击中目标而乙没有击中目标的概率为 10 (2)写出事件A∪B∪C包含的所有互斥事件，并求事件A∪B∪C发生的概率. 事件A∪B∪C包含的互斥事件有 11 二 相互独立事件的综合应用 (1)求p，q的值； 13 (2)求甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的概率. 14 每轮投篮结束后，甲得分可能为0,2,3,5. 记甲第一轮投篮得i分为事件Ci(i＝0,2,3,5)，第二轮投篮得i分为事件Di(i＝0,2,3,5)，则P(Ci)＝P(Di)，Ci，Di相互独立， 记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E， 则E＝C3D5＋C5D3＋C5D5，且C3D5，C5D3，C5D5彼此互斥. 15 所以P(E)＝P(C3D5＋C5D3＋C5D5)＝P(C3D5)＋P(C5D3)＋P(C5D5) 16 求较复杂事件的概率的一般步骤 (1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示. (2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式. (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算. (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率. 反思感悟 17 跟踪训练2　11分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.已知甲、乙两位同学进行11分制乒乓球比赛，双方10∶10平后，甲先发球，甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立. (1)求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率； 18 设双方10∶10平后的第k个球甲获胜为事件Ak(k＝1,2,3，…)，又打了X个球比赛结束， 19 (2)求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率. ＝0.5×0.6×0.5×0.4＋0.5×0.4×0.5×0.4＝0.1. 20 三 统计与事件相互独立性的综合应用 例3　某中学在2022年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析.经统计，某班有50名同学，总分都在区间[600,700]内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图 所示的频率分布直方图. (1)估计该班级的平均分； 根据频率分布直方图，可知平均分为 22 (2)经过相关部门的计算，本次高考总分不低于680分的同学可以获得高校T的“强基计划”入围资格.高校T的“强基计划”校考分为两轮.第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目分为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有A＋，A，B，C四个等级，两科中至少有一科得到A＋，且两科均不低于B，才能进入第二轮面试.已知入围的同学参加第 23 ①总分高于690分的这位同学进入第二轮面试的概率P1； 24 总分不低于680分的同学有50×0.04＝2(人)， 由已知，其中有1人总分不高于690分，1人 总分高于690分. 25 ②该班恰有1名同学通过“强基计划”被高校T提前录取的概率P2. 26 设总分高于690分的同学被高校T提前录取为事件M，总分不高于690分的同学被高校T提前录取为事件N，则 27 28 (1)用恰当的字母表示题中的事件. (2)根据题设条件，分析事件间的关系. (3)利用公式求出事件的概率. 反思感悟 29 跟踪训练3　某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试.现从男、女生中各随机抽取20人，把他们的测试数据按照《国家学生体质健康标准》整理成下表.规定：总分大于等于60，体质健康等级为合格. 等级 总分 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分 优秀 [90,100] 5 91.3 2 91 良好 [80,89.9] 4 83.9 4 84.1 合格 [60,79.9] 8 70 11 70.2 不合格 60以下 3 49.6 3 49.1 总计 — 20 — 20 — 30 (1)从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康等级是合格的概率； 等级 总分 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分 优秀 [90,100] 5 91.3 2 91 良好 [80,89.9] 4 83.9 4 84.1 合格 [60,79.9] 8 70 11 70.2 不合格 60以下 3 49.6 3 49.1 总计 — 20 — 20 — 31 样本中体质健康等级是合格的学生人数为5＋2＋4＋4＋8＋11＝34，样本总数为20＋20＝40， 32 (2)从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质健康等级是优秀的概率. 等级 总分 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分 优秀 [90,100] 5 91.3 2 91 良好 [80,89.9] 4 83.9 4 84.1 合格 [60,79.9] 8 70 11 70.2 不合格 60以下 3 49.6 3 49.1 总计 — 20 — 20 — 33 设事件A为“从男生样本中随机选出一人，其体质健康等级是优秀”，事件B为“从女生样本中随机选出一人，其体质健康等级是优秀”， 因为A，B为相互独立事件， 所以所求概率为 ＝P(A)[1－P(B)]＋[1－P(A)]P(B) 34 1.知识清单： (1)相互独立事件概率的计算. (2)相互独立事件的综合应用. (3)相互独立事件与统计的综合应用. 2.方法归纳：构造方程(组)、正难则反思想. 3.常见误区：相互独立事件与互斥事件易混淆. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 √ 由题意知三项标准互不影响， A.0.42 B.0.28 C.0.12 D.0.18 1 2 3 4 √ 3.一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为 A.1－a－b B.1－ab C.(1－a)(1－b) D.1－(1－a)(1－b) 1 2 3 4 √ 因为2道工序相互独立，所以产品的正品率为(1－a)(1－b). 1 2 3 4 4.某天上午，李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床，他用A，B两个闹钟叫醒自己.假设A闹钟准时响的概率是0.8，B闹钟准时响的概率是0.9，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是_____. 0.98 至少有一个准时响的概率为1－(1－0.9)×(1－0.8)＝1－0.1×0.2＝0.98. 课时对点练 五 1.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.6,0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为 A.0.48 B.0.4 C.0.32 D.0.24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 √ 16 由题意可知该选手只闯过前两关，第三关没闯过，由相互独立事件的概率可知P＝0.8×0.6×(1－0.5)＝0.24，故该选手只闯过前两关的概率为0.24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则三人都没命中目标的概率为 ＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ 4.(多选)将两个质地均匀且四面分别标有1,2,3,4的正四面体各掷一次，记事件A＝“第一个四面体向下的一面为偶数”；事件B＝“第二个四面体向下的一面为奇数”；事件C＝“两个四面体向下的一面均为奇数或者均为偶数”.则下列结论正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵事件AB与事件C为互斥事件，∴P(ABC)＝0，故C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 该同学站在三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设P(A)＝x，P(B)＝y，x，y∈(0,1)， 7.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0.26 所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)三人都合格的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)恰有两人合格的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)至少有一人合格的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.2022年3月5日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，2021年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长，某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取100人，经统计，这100人去年可支配收入(单位：万元)均在区间[4.5,10.5]内，按[4.5,5.5)，[5.5,6.5)，[6.5，7.5)，[7.5,8.5)，[8.5,9.5)，[9.5,10.5]分成6组，所得频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1. (1)求a，b的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由频率分布直方图，可得0.05＋0.12＋a＋b＋0.2＋0.08＝1， 则a＋b＝0.55， ① 因为居民收入数据的第60百分位数为8.1， 所以0.05＋0.12＋a＋(8.1－7.5)×b＝0.6， 则a＋0.6b＝0.43， ② 所以平均值为0.05×5＋0.12×6＋0.25×7＋0.3×8＋0.2×9＋0.08×10＝7.72. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的3人中至少有2人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，设事件A，B，C分别为甲、乙、丙在[7.5,8.5)内，则P(A)＝P(B)＝P(C)＝0.3. ＝0.3×0.3×(1－0.3)＋0.3×(1－0.3)×0.3＋(1－0.3)×0.3×0.3 ＝0.189. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②“抽取的3人中有3人在[7.5,8.5)内”为事 件ABC，由相互独立的定义，得 P2＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝0.3×0.3×0.3 ＝0.027. 所以抽取的3人中至少有2人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率为 P1＋P2＝0.189＋0.027＝0.216. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 √ 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片跳到另一片)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A片荷叶上，则跳三次之后停在A片上的概率是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 灯不亮包括4个开关都断开，或开关C和D都断开且开关A和B中有一个断开，这两种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的， ∵灯亮与灯不亮是对立事件， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 比赛结束时A队的得分高于B队的得分包含三种情况. ①A全胜；②第一局A胜，第二局B胜，第三局A胜；③第一局B胜，第二局A胜，第三局A胜. 15.如图为类似“杨辉三角”图形的竖直平面内的一些通道，图中线条均表示通道，一钢珠从入口E处自上而下沿通道自由落下，则其落到B 处的概率是_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 首先分清从E处出发到达B处的具体途径，然后继续求解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.为刺激消费，逐渐形成以国内大循环为主体，国内、国际双循环相互促进的新发展格局，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如表： 某天恰好有持有这种消费券 的老年人、中年人、青年人 各一人到该旅游景点. (1)求这三人恰有两人的消费 额不少于300元的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16   200元 300元 400元 500元 老年 0.4 0.3 0.2 0.1 中年 0.3 0.4 0.2 0.1 青年 0.3 0.3 0.2 0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率为P1， 则P1＝(0.7)2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448.   200元 300元 400元 500元 老年 0.4 0.3 0.2 0.1 中年 0.3 0.4 0.2 0.1 青年 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)求这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16   200元 300元 400元 500元 老年 0.4 0.3 0.2 0.1 中年 0.3 0.4 0.2 0.1 青年 0.3 0.3 0.2 0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 消费总额为1 500元的概率是0.1×0.1×0.2＝0.002， 消费总额为1 400元的概率是(0.1)2×0.2＋2×(0.2)2×0.1＝0.01， 消费总额为1 300元的概率是(0.1)2×0.3＋0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋(0.2)3＋2×(0.2)2×0.1＝0.033， 0.002＋0.01＋0.033＝0.045， 所以消费总额大于或等于 1 300元的概率是0.045.   200元 300元 400元 500元 老年 0.4 0.3 0.2 0.1 中年 0.3 0.4 0.2 0.1 青年 0.3 0.3 0.2 0.2 例1　甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是. 所以乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为和或和. 则P(A)＝，由题意得 解得或 则P(D)＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C) ＝＋＋＝. 所以甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为. 跟踪训练1　甲、乙、丙三人打靶，他们的命中率分别为p1，p2，，若三人同时射击一个目标，甲、丙击中目标而乙没有击中目标的概率为，乙击中目标而丙没有击中目标的概率为.设事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”，事件C表示“丙击中目标”.已知A，B，C是相互独立事件. 联立①②，解得p1＝，p2＝. 由题意知P(A)＝p1，P(B)＝p2，P(C)＝， P(AC)＝P(A)P()P(C)＝p1(1－p2)＝， ① 乙击中目标而丙没有击中目标的概率为P(B)＝P(B)P()＝p2＝， ②  ABC，BC，AC，AB，C，A，B， P(A∪B∪C)＝1－P()＝1－××＝1－＝. 例2　某篮球场有A，B两个定点投篮位置，每轮投篮按先A后B的顺序各投1次，在A点投中一球得2分，在B点投中一球得3分.设球员甲在A点投中的概率为p，在B点投中的概率为q，其中0<p<1,0<q<1，且甲在A，B两点投篮的结果互不影响.已知甲在一轮投篮后得0分的概率为，得2分的概率为. 由题意得解得 易得P(C3)＝P(D3)＝×＝， P(C5)＝P(D5)＝×＝， ＝×＋×＋×＝. 所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为. P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(12)＝P(A1)P(A2)＋P(1)P(2)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5. P(X＝4且甲获胜)＝P(A12A3A4)＋P(1A2A3A4) ＝P(A1)P(2)P(A3)P(A4)＋P(1)P(A2)P(A3)P(A4) ＝(610×0.004＋630×0.01＋650×0.02＋670×0.014＋690×0.002)× 20＝650. 一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取A＋，A，B，C的概率分别为，，，；总分不高于690分的同学在每科笔试中取得A＋，A， B，C的概率分别为，，，； 进入第二轮面试的同学，若两科笔试成绩均为A＋，则免面试，并被高校T提前录取；若两科笔试成绩只有一个A＋，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为，总分不高于690分的同学面试“通过”的概率为，面试“通过”的同学也将被高校T提前录取.若该班级本次高考总分不低于680分的同学都报考了高校T的“强基计划”，且恰有1人成绩高于690分.求： P1＝P(A＋A＋＋A＋A＋A＋B)＝2＋2××＋ 2××＝＋＋＝， 因此，总分高于690分的这位同学进入第二轮面试的概率P1＝. P(N)＝P(A＋A＋)＋P(A＋A＋A＋B) ＝2＋× P(M)＝P(A＋A＋)＋P(A＋A＋A＋B) ＝2＋×＝， 因此该班恰有1名同学通过“强基计划”被高校T提前录取的概率P2＝. ＝＋×＝， P2＝×＋×＝， 所以这名学生体质健康等级是合格的概率为＝. 则P(A)＝＝，P(B)＝＝. P(A＋B)＝P(A)＋P(B) ＝×＋×＝. 1.从高中应届生中选飞行员，已知这批学生体形合格的概率为，视力合格的概率为，其他综合标准合格的概率为，三项标准互不影响，从中任选一学生，则三项均合格的概率为 A. B. C. D. ∴P＝××＝. 2.对于两个相互独立的事件A与B，若P(A)＝0.3，P(B)＝0.4，则P(A)等于 由相互独立事件的性质知A与也相互独立，所以P(A)＝P(A)[1－P(B)] ＝0.18. 2.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为 A. B. C. D. 设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. 因遇红灯停车一次即为事件BC＋AC＋AB， 故概率P＝××＋××＋××＝. 3.甲、乙、丙三人射击，甲命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，若三人同时射击，则目标被击中的概率为 A. B. C. D. 设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，“丙命中目标”为事件C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝， 因为A，B，C相互独立，所以，，也相互独立， P()＝P()P()P() ＝××＝， 所以目标被击中的概率是1－＝. A.P(A)＝ B.P(AB)＝ C.P(ABC)＝ D.P(B)＝ 由题意知P(A)＝＝，故A正确； ∵P(B)＝＝，事件A与B相互独立，∴P(AB)＝×＝，故B正确，D错误； 5.某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别为，，p，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则p的值为 A. B. C. D. 1－(1－p)＝，解得p＝. 6.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)等于 A. B. C. D. 由题意知，P()·P()＝， P()·P(B)＝P(A)·P(). 则即 ∴x2－2x＋1＝， 解得x＝或x＝(舍去)，故P(A)＝. 8.某机构对国产杀毒软件进行考核，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰，已知某个软件在四轮考核中能够准确对病毒进行查杀的概率依次是，，，，且各轮 考核能否通过互不影响，则该软件至多进入第三轮考核的概率为_____. 设事件Ai(i＝1,2,3,4)表示“该软件在第i轮能够准确对病毒进行查杀”，由已知得P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝，设事件C表示“该软件至多进入第三轮”，则P(C)＝P(1＋A12＋A1A23)＝P(1)＋P(A12)＋P(A1A23)＝＋×＋××＝. 9.某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计，甲、乙、丙三人100 m跑的成绩在13秒内(称为合格)的概率分别为，，.若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检测，求： 三人都合格的概率P1＝××＝. 恰有两人合格的概率P2＝××＋××＋××＝. 至少有一人合格的概率P＝1－＝. 将①与②联立，解得 ①“抽取的3人中有2人在[7.5,8.5)内”为 事件AB∪AC∪BC，且AB与AC 与BC两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立的定义，得 P1＝P(AB∪AC∪BC) 11.某大学的“书法”“篮球”“轮滑”三个社团考核挑选新社员，已知某大一新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“书法”“篮球”“轮滑”三个社团考核的概率依次为m，，n，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则m＋n等于 A. B. C. D. 因为至少通过一个社团考核的概率为，则三个社团都没有通过的概率为， 依题意得 即解得m＋n＝， 所以m＋n＝. A. B. C. D. 由题意知逆时针方向跳的概率为，顺时针方向跳的概率为，青蛙跳三次要回到A片荷叶只有两条途径： 第一条：A→B→C→A，P1＝××＝； 第二条：A→C→B→A，P2＝××＝， 所以跳三次之后停在A片上的概率P＝P1＋P2＝＋＝. 13.如图，已知电路中4个开关每个闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为 A. B. C. D. ∴灯不亮的概率为×××＋×××＋× ××＝. ∴灯亮的概率是1－＝. 14.某校组织《最强大脑》PK赛，最终A，B两队进入决赛，两队各由3名选手组成，每局两队各派一名选手PK，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为 A. B. C. D. 所以比赛结束时，A队的得分高于B队的得分的概率P＝3＋××＋××＝. 钢珠从E处落下，①有的概率落到EF，经FH后有的概率落到HJ，经JM后有的概率落到MN，最后落到B处，即P1＝××＝； ②有的概率落到EF，经FH后有的概率落到HK，经KO后有的概率落到ON，最后落到B处，即P2＝××＝； ③有的概率落到EG，经GI后有的概率落到IK，经KO后有的概率落到ON，最后落到B处，即P3＝××＝. 所以P＝P1＋P2＋P3＝. $$