7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 [学习目标]　1.熟练掌握复数的加、减运算法则．(重点)2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．(难点) 导语　 1．上一节我们学习了复数的几何意义，请同学们思考：复数、点、向量之间的对应关系是什么？ 2．实数可以进行加减乘除四则运算，且运算的结果仍为一个实数，那么复数呢？ 3．多项式的加、减运算法则，合并同类项法则是什么？ 一、复数的加、减法运算 知识梳理　 1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2．对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 例1　(1)复数(2＋3i)－(1－i)＋(7＋i)＝______. 答案　8＋5i 解析　复数(2＋3i)－(1－i)＋(7＋i)＝(2－1＋7)＋(3＋1＋1)i＝8＋5i. (2)设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围． 解　∵z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i， ∴z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i ＝＋(m2－2m－15)i. ∵z1＋z2是虚数，∴m2－2m－15≠0且m＋2≠0. ∴m≠5且m≠－3且m≠－2，m∈R. 即m的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)． 反思感悟　复数加、减运算的解题思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)． 跟踪训练1　复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点的坐标为(9,1)，在第一象限． 二、复数加、减法的几何意义 问题　我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？ 提示　设＝(a，b)，＝(c，d)，则＋＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d)．几何意义是以，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线． 知识梳理　 如图，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应的向量分别为，，则＝(a，b)，＝(c，d)，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量＝(a＋c，b＋d)与复数z1＋z2对应，向量＝(a－c，b－d)与复数z1－z2对应． 因此，复数的加法(减法)可以按照向量的加法(减法)来进行，这就是复数加法(减法)的几何意义． 例2　如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i.求： (1)对应的复数； (2)对应的复数； (3)对应的复数及||的长度． 解　(1)因为＝－， 所以对应的复数为－3－2i. (2)因为＝－， 所以对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为＝＋， 所以对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 所以||＝＝. 反思感悟　复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应． (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变． 跟踪训练2　(1)已知复平面内的向量，对应的复数分别是－2＋i,3＋2i，则||＝________. 答案　 解析　∵＝＋， ∴对应的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， ∴||＝＝. (2)若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是________． 答案　(－∞，2) 解析　z2－z1＝1＋(a－2)i，由题意知a－2<0，即a<2. 三、复数模的综合问题 例3　如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　) A．1 B. C．2 D. 答案　A 解析　设复数z，－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3， 因为|z＋i|＋|z－i|＝2， |Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2. 所以点Z在线段Z1Z2上移动，|ZZ3|min＝1， 所以|z＋i＋1|min＝1. 反思感悟　两个复数差的模的几何意义 (1)|z－z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． (2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆． (3)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． 跟踪训练3　△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点P是△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 答案　A 解析　由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z对应的点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，∴点P是△ABC的外心． 1．知识清单： (1)复数代数形式的加、减运算法则． (2)复数加、减法的几何意义． (3)复数模的综合问题． 2．方法归纳：类比、数形结合． 3．常见误区：忽略模的几何意义． 1．计算(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　) A．－1＋i B．1－i C．i D．－i 答案　A 解析　原式＝1－i－2－i＋3i＝－1＋i. 2．已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i. 故z对应的点的坐标为(－1，－3)，位于第三象限． 3．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为(　　) A. B．5 C．2 D．10 答案　B 解析　依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5. 4．若复数z满足|z|＝2，且z－4是纯虚数，则复数z＝________________. 答案　4＋2i或4－2i 解析　设复数z＝x＋yi(x，y∈R)， 则z－4＝(x－4)＋yi， 依题意，得 解得或 故复数z＝4＋2i或z＝4－2i. 1．已知z＋5－6i＝3＋4i，则复数z为(　　) A．－4＋20i B．－2＋10i C．－8＋20i D．－2＋20i 答案　B 解析　z＝3＋4i－(5－6i)＝(3－5)＋(4＋6)i＝－2＋10i. 2．(多选)复数(3＋mi)－(2＋i)对应的点在第一象限内，则实数m可能是(　　) A．－1 B．3 C．1 D．2 答案　BD 解析　∵(3＋mi)－(2＋i)＝3＋mi－2－i＝1＋(m－1)i， ∴m－1>0，∴m>1. 3．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是(　　) 答案　A 解析　由图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)．故选A. 4．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为(　　) A．3 B．2 C．1 D．－1 答案　D 解析　z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i ＝5＋(1＋a)i. ∵z1＋z2所对应的点在实轴上， ∴1＋a＝0，解得a＝－1. 5．已知i为虚数单位，复数z满足则z等于(　　) A．2－i B．2＋i C．1－2i D．1＋2i 答案　A 解析　令z＝a＋bi，则＝a－bi， ∵z＋＝2a＝4，∴a＝2， 又z－＝2bi＝－2i， ∴b＝－1，故z＝2－i. 6．在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，若＝，则点D对应的复数是(　　) A．1－3i B．－3－i C．3＋5i D．5＋3i 答案　C 解析　∵点A，B，C所对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i， ∴对应的复数为2＋i－(－i)＝2＋2i. 设点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)， ∴对应的复数为x－1＋(y－3)i， 又＝，∴x－1＋(y－3)i＝2＋2i， 由复数相等得∴ ∴点D对应的复数为3＋5i. 7．已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝________. 答案　±2－2i 解析　因为z＋2i是实数，所以可设z＝a－2i(a∈R)， 由|z|＝4，得a2＋4＝16， 所以a2＝12，所以a＝±2， 所以z＝±2－2i. 8．设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则f(z1＋z2)＝________. 答案　3＋3 解析　z1＋z2＝3＋3i，故f(z1＋z2)＝f(3＋3i)＝3＋|3＋3i|＝3＋3. 9．计算： (1)＋； (2)(3＋2i)＋(－2)i； (3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|； (4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)． 解　(1)原式＝－i＝－i. (2)原式＝3＋(2＋－2)i＝3＋i. (3)原式＝1＋2i＋i－1＋5＝5＋3i. (4)原式＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i. 10．已知复数z1＝a＋(7－a)i，z2＝5＋(3a＋1)i(a∈R，i是虚数单位)． (1)若z2的实部与z1的模相等，求实数a的值； (2)若复数z1＋z2在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围． 解　(1)依题意，|z1|＝＝，因为z2的实部与z1的模相等，则＝5，整理得a2－7a＋12＝0，解得a＝3或a＝4. (2)因为z1＋z2＝(a＋5)＋(2a＋8)i，且z1＋z2在复平面内对应的点在第四象限， 所以解得－5<a<－4，所以实数a的取值范围是(－5，－4)． 11．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点Z在(　　) A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限 答案　B 解析　∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的垂直平分线上，即在虚轴上． 12．复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为(　　) A．3－2 B.－1 C．3＋2 D.＋1 答案　D 解析　|z1－z2|＝|(1－sin θ)＋(cos θ＋1)i| ＝ ＝ ＝. ∵－1≤cos≤1， ∴|z1－z2|max＝＝＋1. 13．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是坐标原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 答案　B 解析　根据复数加(减)法的几何意义，可知以OA，OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形． 14.如图，在复平面内，向量对应的复数z1＝2＋i，绕点O逆时针旋转90°后对应的复数为z2，则|z1＋z2|等于________． 答案　 解析　方法一　由题意可设z2＝a＋bi(a<0，b>0)， 则 解得 ∴z2＝－1＋2i， ∴z1＋z2＝(2＋i)＋(－1＋2i)＝1＋3i， ∴|z1＋z2|＝. 方法二　点A绕点O逆时针旋转90°后对应的点为B， 由图可知，B点坐标为(－1,2)， 故z2＝－1＋2i， z1＋z2＝(2＋i)＋(－1＋2i) ＝1＋3i. ∴|z1＋z2|＝. 15．(多选)设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，则下列命题为真命题的是(　　) A．z＋∈R B．z－是纯虚数 C．若z＝cos ＋isin ，则|z|＝1 D．若|z－i|＝1，则|z|的最大值为2 答案　AD 解析　因为复数z与其共轭复数的实部相等，虚部互为相反数，所以z＋∈R，A为真命题； 当z为实数时，也为实数，则z－是实数，B为假命题； 若z＝cos ＋isin ， 则|z|＝≠1，C为假命题； |z－i|＝1表示以点(0,1)为圆心，1为半径的圆，结合图形(图略)知，|z|的最大值为圆心到原点的距离与半径之和，即为1＋1＝2，D为真命题． 16．已知在复平面内有一平行四边形ABCD，点A对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，O为坐标原点． (1)求点C，D对应的复数； (2)求▱ABCD的面积． 解　(1)∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，＝－， ∴向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又＝＋， ∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵＝， ∴向量对应的复数为3－i， 又＝＋， ∴点D对应的复数为2＋i＋3－i＝5. (2)∵·＝||||cos B， ∴cos B＝＝＝＝. ∴sin B＝. ∴S▱ABCD＝||||sin B＝××＝7， 故▱ABCD的面积为7. 学科网（北京）股份有限公司 $$