7.1.2 复数的几何意义-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

7.1.2　复数的几何意义 [学习目标]　1.掌握用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念．(重点)3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法． 导语　 我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示，复数作为数系的扩充，能不能进行几何表示呢？让我们来共同探究吧！ 一、复数与复平面内点的关系 问题1　有序实数对是与平面直角坐标系中的点一一对应的，复数能与平面直角坐标系中的点一一对应吗？ 提示　复数a＋bi(a，b∈R)实质上是有序实数对(a，b)，复数可以与平面直角坐标系中的点一一对应． 知识梳理　 1．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数集C与复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义． 例1　在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在y＝x的图象上，分别求实数m的值或取值范围． 解　复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10. (1)由题意，得m2－2m－8＝0. 解得m＝－2或m＝4. (2)由题意，得∴2<m<4. (3)由题意，得m2－2m－8＝m2＋3m－10， 故m＝. 反思感悟　利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据． (2)列出方程(组)或不等式(组)：根据复数的实部与虚部应满足的条件，建立方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)求解． 跟踪训练1　当实数m分别取何值时，在复平面内，复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点Z满足下列条件？ (1)在x轴上方； (2)在实轴负半轴上． 解　(1)∵点Z在x轴上方， ∴m2－3m＋2>0，解得m<1或m>2. (2)若点Z在实轴负半轴上， 则解得m＝1. 二、复数与复平面内向量的关系 问题2　能用平面向量表示复数吗？ 提示　在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，这样就可以用平面向量来表示复数． 知识梳理　 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定． 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数0与零向量对应)，即z＝a＋bi平面向量.这是复数的另一种几何意义． 例2　在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数． 解　记O为复平面的原点， 由题意得＝(2,3)，＝(3,2)，＝(－2，－3)． 设＝(x，y)，则＝(x－2，y－3)，＝(－5，－5)． 由题意知，＝， 所以解得 故点D对应的复数为－3－2i. 反思感悟　复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 跟踪训练2　(1)若O为复平面的原点，向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是(　　) A．－10＋8i B．10－8i C．0 D．10＋8i 答案　C 解析　由复数的几何意义，可得 ＝(5，－4)，＝(－5,4)， 所以＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)， 所以＋对应的复数为0. (2)在复平面内，把复数1＋i对应的向量按逆时针方向旋转180°，则所得向量对应的复数为________． 答案　－1－i 解析　复数1＋i对应的点的坐标为(1,1)，对应的向量按逆时针方向旋转180°，则对应的点的坐标为(－1，－1)，所得向量对应的复数为－1－i. 三、复数的模 知识梳理　 1．定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值． 2．记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|. 3．公式：|z|＝|a＋bi|＝. 例3　(1)已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z. 解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝， 代入方程得a＋bi＋＝2＋8i， ∴解得 ∴z＝－15＋8i. (2)设z∈C，且满足下列条件，求在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？ ①|z|<3；②|z|＝2. 解　①由|z|<3得向量的模小于3， 所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆面，不包括边界． ②由|z|＝2得向量的模等于2， 所以满足|z|＝2的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆． 反思感悟　复数模的计算 (1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． (2)设出复数的a＋bi(a，b∈R)的形式，利用模的定义转化为实数问题求解． 跟踪训练3　已知0<a<3，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是(　　) A．(1，) B．(1，) C．(1,3) D．(1,10) 答案　A 解析　0<a<3，复数z＝a＋i(i是虚数单位)， 则|z|＝∈(1，)． 四、共轭复数 知识梳理　 1．定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 2．表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi. 例4　(多选)下列说法正确的是(　　) A．复数和其共轭复数都是成对出现的 B．实数不存在共轭复数 C．互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称 D．复数和其共轭复数的模相等 答案　AD 反思感悟　互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称．特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上． 跟踪训练4　复数z＝3－4i的共轭复数对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　z＝3－4i的共轭复数为＝3＋4i，可知其对应的点在第一象限． 1．知识清单： (1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系． (2)复数的模及几何意义． (3)共轭复数． 2．方法归纳：待定系数法、数形结合． 3．常见误区：虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小． 1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　z＝－1－2i对应的点Z(－1，－2)位于第三象限． 2．已知z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1,2) B．(－2,1) C．(1，＋∞) D．(－∞，－2) 答案　B 解析　∵z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，∴m－1<0，m＋2>0，解得－2<m<1，则实数m的取值范围是(－2,1)． 3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1－2i，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数为(　　) A．－2－i B．2＋i C．1－2i D．－1＋2i 答案　C 解析　由题意可知，点A的坐标为(－1，－2)，则点B的坐标为(1，－2)，故向量对应的复数为1－2i. 4．向量a＝(3,4)，设向量a对应的复数为z，则z的共轭复数＝________，||＝________. 答案　3－4i　5 1．复平面内复数z对应的向量为，且＝，则|z|等于(　　) A. B．3 C．5 D．(－1,2) 答案　A 解析　由题意，复数的模即为其对应的向量的模， 故|z|＝＝. 2．已知复数z1＝2＋i，z2＝－i，则等于(　　) A. B. C. D．5 答案　C 解析　依题意得，|z1|＝＝，|z2|＝＝1，所以＝. 3．已知a为实数，若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i为纯虚数，则复数a－ai在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i为纯虚数， 则得即a＝－1， 则复数a－ai＝－1＋i在复平面内对应的点为(－1,1)，位于第二象限． 4．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于(　　) A．－1＋i B．1＋i C．－1＋i或1＋i D．－2＋i 答案　A 解析　由|z|＝2知 ＝2，解得a＝±1，因为z在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a<0， 故a＝－1，所以z＝－1＋i. 5．(多选)已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值可以为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　AC 解析　依题意可得＝2， 解得m＝1或m＝3. 6．已知复数z＝m＋i，则“|z|>”是“m>3”的(　　) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　由|z|＝>，得m2>9， 解得m>3或m<－3. 故“|z|>”是“m>3”的必要不充分条件． 7．若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i(a，b∈R)互为共轭复数，则a＝________，b＝________. 答案　2　4 解析　因为z1与z2互为共轭复数，所以a＝2，b＝4. 8．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是________． 答案　2＋4i 解析　因为复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B， 所以A(6,5)，B(－2,3)， 又C为线段AB的中点， 所以C(2,4)，所以点C对应的复数是2＋4i. 9．在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i. (1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数； (2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数． 解　(1)设向量对应的复数为z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)， 则点B的坐标为(x1，y1)， 由题意可知，点A的坐标为(2,1)． 根据对称性可知，x1＝2，y1＝－1， 故z1＝2－i. (2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)， 则点C的坐标为(x2，y2)， 由对称性可知，x2＝－2，y2＝－1， 故z2＝－2－i. 10．已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i. (1)求|z1|及|z2|并比较大小； (2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？ 解　(1)因为z1＝＋i，z2＝－＋i， 所以|z1|＝＝2， |z2|＝＝1， 所以|z1|>|z2|. (2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2， 根据复数几何意义可知|z|表示复数z对应的点到原点的距离， 所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圆及其外部所有点组成的集合， |z|≤2表示|z|＝2所表示的圆及其内部所有点组成的集合， 所以满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包括两边界)． 11．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点Z的集合是什么图形(　　) A．一个圆 B．线段 C．两点 D．两个圆 答案　A 解析　∵|z|2－2|z|－3＝0， ∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，∴|z|＝3， ∴复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的一个圆． 12．在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数是(　　) A．2 B．－2i C.－3i D．3＋i 答案　B 解析　复数对应的点的坐标为(3，－)，对应的向量按顺时针方向旋转，则对应的点的坐标为(0，－2)，所得向量对应的复数为－2i. 13．设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且|x|＝|y|，则满足|z|＝1的复数z的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　D 解析　由题意知 得或或或 故z有4个． 14．若复数z对应的点在y＝2x的图象上，且|z|＝，则复数z＝________________. 答案　1＋2i或－1－2i 解析　依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)， 由|z|＝，得＝， 解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i. 15．设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋itan B对应的点位于复平面的(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　因为A，B为锐角三角形的两个内角，所以A＋B>，即A>－B，则sin A>cos B，所以cos B－tan A＝cos B－<cos B－sin A<0，又tan B>0，所以点(cos B－tan A，tan B)在第二象限． 16．已知x为实数，复数z＝x－2＋(x＋2)i. (1)当x为何值时，复数z的模最小？ (2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn>0，求＋的最小值及取得最小值时m，n的值． 解　(1)由题意得|z|＝＝≥2，显然当x＝0时，复数z的模最小，最小值为2. (2)由(1)知当x＝0时，复数z的模最小，则Z(－2,2)． 因为点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2，即m＋＝1. 又mn>0， 所以＋＝＝＋＋≥＋.当且仅当＝，即n2＝2m2时等号成立． 又2m＋n＝2且mn>0，所以当＋取最小值＋时，m＝2－，n＝2－2. 学科网（北京）股份有限公司 $$