6.4.3.3 正弦定理(2)-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

第3课时　正弦定理(二) [学习目标]　1.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系.2.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.3.掌握正弦、余弦定理的简单应用． 一、利用正弦、余弦定理解三角形 问题　利用正、余弦定理可以解决哪几类问题？ 提示　①已知两边和夹角的问题：先利用余弦定理求第三边，再用余弦定理的推论求另外两角； ②已知三边的问题：利用余弦定理的推论求三个角； ③已知两角和任一边的问题：先由三角形内角和求第三个角，再利用正弦定理求另外两边； ④已知两边和其中一边对角的问题：可先由余弦定理求第三边，此时需从边的角度进行检验，需满足任意两边之和大于第三边，再由余弦定理的推论求另外两角；也可由正弦定理求另外一边的对角，此时需从角的角度进行检验，大边对大角，小边对小角，内角和为180°，再由内角和求第三个角，最后由正弦定理求第三边． 例1　在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解三角形． 解　方法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°， ∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°； 当a＝6时，由正弦定理，得sin A＝＝＝1， ∴A＝90°，C＝60°. 方法二　由正弦定理，得＝，解得sin C＝， 又c>b，∴30°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得a＝6； 当C＝120°时，A＝30°＝B，a＝b＝3. 反思感悟　若已知三角形的两边及其一边的对角，则可直接应用正弦定理求出另一边的对角；也可用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A求出c；不管利用正弦定理还是余弦定理，都需要检验，利用大边对大角、小边对小角、两边之和大于第三边、两边之差小于第三边以及内角和为180°等进行检验． 跟踪训练1　已知⊙O的半径为R，在它的内接△ABC中有2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)·sin B成立，求角C的大小． 解　由正弦定理，得 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 因为2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B， 所以(2R)2(sin2A－sin2C)＝2R(a－b)sin B， 所以a2－c2＝(a－b)b， 即a2＋b2－c2＝ab. 因为cos C＝， 所以cos C＝. 因为0°<C<180°，所以C＝45°. 二、利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 例2　(1)已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acos B＝bcos A，则△ABC一定是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案　A 解析　由正弦定理得，acos B＝bcos A⇒sin Acos B＝sin Bcos A⇒sin(A－B)＝0，由于－π<A－B<π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形． (2)在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． 解　根据正弦定理，得＝＝， ∵sin2A＝sin2B＋sin2C， ∴a2＝b2＋c2，∴A是直角． ∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C， ∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C， ∴sin(B－C)＝0. 又－90°<B－C<90°，∴B－C＝0，∴B＝C， ∴△ABC是等腰直角三角形． 反思感悟　判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解． 跟踪训练2　(1)在△ABC中，已知3b＝2asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 答案　D 解析　由3b＝2asin B，得＝，根据正弦定理，得＝，所以＝， 即sin A＝.又角A是锐角，所以A＝60°. 又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角， 所以B＝C.故△ABC为等边三角形． (2)在△ABC中，若acos C＋ccos A＝bsin B，则此三角形为(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案　C 解析　在△ABC中，由acos C＋ccos A＝bsin B，以及正弦定理可知，sin Acos C＋sin Ccos A＝sin2B，即sin(A＋C)＝sin B＝sin2B，∵0<B<π，sin B≠0，∴sin B＝1，B＝，∴△ABC为直角三角形． 三、正弦、余弦定理的综合应用 例3　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B. (1)求B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． 解　(1)∵bsin A＝acos B， ∴由正弦定理，得sin Bsin A＝sin Acos B. 在△ABC中，sin A≠0， ∴sin B＝cos B， 即得tan B＝，∴B＝. (2)∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理，得c＝2a， 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 即9＝a2＋4a2－2a·2acos ， 解得a＝，∴c＝2a＝2. 反思感悟　利用正弦、余弦定理解三角形的注意点 正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键． 跟踪训练3　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B. (1)求B的大小； (2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值． 解　(1)由正弦定理，得a2＋c2－ac＝b2，即a2＋c2－b2＝ac. 由余弦定理的推论，得cos B＝＝. 又0°<B<180°，因此B＝45°. (2)sin A＝sin(30°＋45°) ＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝. 故由正弦定理，得a＝b·＝1＋. 由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°， 故c＝b·＝2×＝. 1．知识清单： (1)利用正弦、余弦定理解三角形． (2)利用正弦、余弦定理判断三角形的形状． (3)正弦、余弦定理的综合应用． 2．方法归纳：转化化归、数形结合． 3．常见误区：利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现不等价变形． 1．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则由c2＝a2＋b2－2abcos C，得13＝9＋b2－2×3b×，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1(负值舍去)，即AC＝1. 2．如果将直角三角形的三边各增加同样的长度，则新三角形的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度确定的 答案　A 解析　设直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2，三边都增加x，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形． 3．在△ABC中，已知AC＝1，BC＝，B＝，则角C为(　　) A. B. C.或 D.或 答案　C 解析　在△ABC中，已知AC＝1，BC＝，B＝， 因为＝， 所以sin A＝＝＝， 又BC>AC，所以<A<π， 所以A＝或，所以C＝或. 4．若acos A＝bcos B，则△ABC是________三角形． 答案　等腰或直角 解析　由正弦定理＝，得＝. 又acos A＝bcos B，所以＝， 所以＝，所以sin A·cos A＝sin B·cos B， 所以2sin A·cos A＝2sin B·cos B， 即sin 2A＝sin 2B， 因为A，B为三角形的内角， 所以2A＝2B或2A＋2B＝π， 得A＝B或A＋B＝， 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形． 1．在△ABC中，a＝，b＝，A＝60°，则B等于(　　) A．45° B．90° C．135° D．45°或135° 答案　A 解析　∵在△ABC中，a＝，b＝，A＝60°， ∴由正弦定理得sin B＝＝， ∵b<a，∴B<A，∴B＝45°. 2．(多选)在△ABC中，若a＝2bsin A，则B等于(　　) A. B. C. D. 答案　AC 解析　由正弦定理，得sin A＝2sin Bsin A，所以sin A·(2sin B－)＝0.因为0<A<π，0<B<π，所以sin A≠0，sin B＝，所以B＝或. 3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则C等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由＝和3sin A＝5sin B，得3a＝5b，即b＝a，又b＋c＝2a，∴c＝a，∴由余弦定理的推论，得cos C＝＝－，∴C＝. 4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则等于(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 答案　A 解析　∵asin A－bsin B＝4csin C， ∴由正弦定理，得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2. 由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝＝－，∴＝6. 5．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式恒成立的是(　　) A．a2＝b2＋c2－2bccos A B．asin B＝bsin A C．a＝bcos C＋ccos B D．acos B＋bcos C＝c 答案　ABC 解析　对于A，根据余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bccos A，故A正确； 对于B，根据正弦定理边角互化， 可得asin B＝bsin A⇔ab＝ab，故B正确； 对于C，根据正弦定理，得a＝bcos C＋ccos B ⇒sin A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A，故C正确； 对于D, 根据正弦定理的边角互化可得， sin Acos B＋sin Bcos C＝sin C＝sin(A＋B)＝sin A·cos B＋cos Asin B， 即sin Bcos C＝cos Asin B， 又sin B≠0，所以cos C＝cos A，当A＝C时，等式成立，故D不正确． 6．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 答案　A 解析　∵＝， ∴由正弦定理得＝， 整理得acos A＝bcos B， 由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B， ∴2A＝2B或2A＋2B＝π， 即A＝B或A＋B＝. 当A＋B＝时，C＝， 此时△ABC为直角三角形，有ccos B＝a，则a－ccos B＝0，分母无意义，故舍去， ∴A＝B，此时△ABC为等腰三角形． 7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，a2＋b2－c2＝ab，c＝3，则角C＝________，a＝______. 答案　　 解析　由a2＋b2－c2＝ab， 得cos C＝＝， ∵C∈(0，π)，∴C＝，由正弦定理＝， 得a＝＝＝. 8．在△ABC中，若b＝acos C，则△ABC的形状为______________． 答案　直角三角形 解析　∵b＝acos C，∴sin B＝sin Acos C， 则sin(A＋C)＝sin Acos C．即cos Asin C＝0， ∵A，C∈(0，π)，∴sin C≠0，∴cos A＝0， ∴A＝，∴△ABC为直角三角形． 9．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋c＝b. (1)求A的大小； (2)若a＝1，b＝，求c的值． 解　(1)由acos C＋c＝b， 得sin Acos C＋sin C＝sin B. 因为sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C， 所以sin C＝cos Asin C. 因为sin C≠0，所以cos A＝. 因为0<A<π，所以A＝. (2)由正弦定理，得sin B＝＝. 所以B＝或. ①当B＝时，由A＝，得C＝， 所以c＝2； ②当B＝时，由A＝，得C＝， 所以c＝a＝1. 综上可得，c＝1或2. 10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－. (1)求B的大小； (2)若b＝，a＋c＝4，求a的值． 解　(1)由余弦定理的推论，得cos B＝， cos C＝， ∴原式化为·＝－， 整理，得a2＋c2－b2＋ac＝0， ∴cos B＝＝＝－， 又0<B<π，∴B＝. (2)将b＝，a＋c＝4，B＝， 代入b2＝a2＋c2－2accos B得， 13＝a2＋(4－a)2－2a(4－a)·cos ， 即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3. 11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos B＋bcos A＝4sin C，则△ABC外接圆的面积为(　　) A．16π B．8π C．2π D．4π 答案　D 解析　因为acos B＋bcos A＝4sin C，所以由正弦定理可得， sin Acos B＋sin Bcos A＝， 化简得，sin(A＋B)＝， 在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C， 解得R＝2，所以△ABC外接圆的面积为S＝πR2＝4π. 12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于(　　) A. B．－ C．± D. 答案　A 解析　因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且8b＝5c，C＝2B，所以8sin B＝5sin C＝5sin 2B＝10sin Bcos B，又sin B≠0，所以cos B＝，所以cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝. 13．在△ABC中，若A＝，sin B＝cos C，则△ABC为(　　) A．直角非等腰三角形 B．等腰非直角三角形 C．非等腰且非直角三角形 D．等腰直角三角形 答案　D 解析　由A＝，sin B＝cos C⇒＝⇒＝＝＋tan C＝⇒tan C＝1，又C∈(0，π)，则C＝， 所以B＝，△ABC为等腰直角三角形． 14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Asin Bcos C＝sin2C，则＝__________，角C的最大值为________． 答案　2　 解析　∵2sin Asin Bcos C＝sin2C， ∴2abcos C＝c2⇒a2＋b2－c2＝c2⇒＝2， ∴cos C＝＝≥， ∵0<C<π，∴0<C≤，当且仅当a＝b时取等号． 即角C的最大值为. 15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，B＝，若a2＋c2＝4ac，则＝________. 答案　 解析　由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝5ac， 由正弦定理，得sin2B＝5sin Asin C＝， 所以sin Asin C＝， 所以＝＝. 16．在△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C. (1)求A； (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． 解　(1)由正弦定理和已知条件得 BC2－AC2－AB2＝AC·AB.① 由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A．② 由①②得cos A＝－. 因为0<A<π，所以A＝. (2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2， 从而AC＝2sin B， AB＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sin B. 故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B ＝3＋2sin. 又0<B<， 所以当B＝时，△ABC的周长取得最大值，为3＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $$