6.4.3.2 正弦定理(1)-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

第2课时　正弦定理(一) [学习目标]　1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题． 导语　 如图，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为600 m，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA的距离，如果船上有测角仪，我们能否计算出A，B的距离？ 一、正弦定理的推导 问题1　在Rt△ABC中，＝＝，在锐角三角形和钝角三角形中，上述关系是否成立？如何证明呢？ 提示　在锐角三角形中， 如图1，在锐角△ABC中，过点A作与垂直的单位向量j， 则j与的夹角为－A，j与的夹角为－C. 因为＋＝， 所以j·(＋)＝j·. 由分配律，得j·＋j·＝j·， 即|j|||cos ＋|j|||cos ＝|j|||cos， 也即asin C＝csin A， 所以＝. 同理，过点C作与垂直的单位向量m，可得 ＝. 因此＝＝. 在钝角三角形中，当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角(如图2所示)，过点A作与垂直的单位向量j， 则j与的夹角为A－，j与的夹角为－C， 仿照上述方法，同样可得 ＝＝. 问题2　在△ABC中，＝＝，那么这个比值有什么特殊的含义吗？ 提示　如图，无论怎么移动B′，都会有角B′＝B， 所以在△AB′C中，＝＝c， c是Rt△ABC，△AB′C外接圆的直径， 所以对任意△ABC，均有＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)． 知识梳理　 正弦定理语言叙述：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)． 二、已知两角及任意一边解三角形 例1　在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形． 解　因为B＝30°，C＝105°， 所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°. 由正弦定理，得＝＝， 解得a＝＝4，c＝＝2(＋)． 反思感悟　(1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． (2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角． 跟踪训练1　在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c的值． 解　A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°. 由＝得，c＝＝ ＝＝4(＋1)． 所以A＝45°，c＝4(＋1)． 三、已知两边及其中一边的对角解三角形 例2　在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形． 解　∵＝，∴sin C＝＝＝， ∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1； 当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1. ∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°. 延伸探究　若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？ 解　∵＝，∴sin A＝＝＝. ∵c＝>2＝a，∴C>A. ∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个． 反思感悟　已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤 (1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角． (2)用三角形内角和定理求出第三个角． (3)根据正弦定理求出第三条边． 其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值． 跟踪训练2　在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由正弦定理，得＝， 即＝，解得sin C＝， ∵AB<AC，∴C<B，∴cos C＝＝. 四、三角形解的个数的判断 例3　不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝9，b＝10，A＝60°； (3)b＝72，c＝50，C＝135°. 解　(1)sin B＝sin 120°＝×<，所以三角形有一解． (2)sin B＝sin 60°＝×＝，而<<1. 所以当B为锐角时，满足sin B＝的角B的取值范围是60°<B<90°.满足A＋B<180°； 当B为钝角时，满足sin B＝的角B的取值范围是90°<B<120°，也满足A＋B<180°.故三角形有两解． (3)sin B＝＝sin C>sin C＝. 所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解． 反思感悟　已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 (1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数． (2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a＝bsin A 一解 a<bsin A 无解 跟踪训练3　(多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是(　　) A．a＝8，b＝16，A＝30°，有一解 B．b＝18，c＝20，B＝60°，有两解 C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 答案　ABD 解析　A中，∵＝，∴sin B＝＝1，∴B＝90°，即只有一解；B中，∵sin C＝＝，且c>b，∴C>B，故有两解；C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝＝＝，有解；D中，∵＝，∴sin B＝＝，又b<a，∴角B只有一解． 1．知识清单： (1)正弦定理． (2)利用正弦定理解三角形． (3)三角形解的个数的判断． 2．方法归纳：转化化归、数形结合． 3．常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论． 1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则的值是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　根据正弦定理，得＝＝. 2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC等于(　　) A．4 B．2 C. D. 答案　B 解析　由正弦定理＝，得＝， 所以AC＝×＝2. 3．已知在△ABC中，b＝4，c＝2，C＝30°，那么此三角形(　　) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．解的个数不确定 答案　C 解析　由正弦定理和已知条件，得＝， ∴sin B＝>1，∴此三角形无解． 4．在△ABC中， a＝5，b＝5，A＝30°，则B＝________. 答案　60°或120° 解析　由正弦定理＝，得sin B＝＝. ∵b>a，∴B>A，且0°<B<180°， ∴B＝60°或120°. 1．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c等于(　　) A．1 B．2 C. D. 答案　B 解析　∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°. 由正弦定理，得c＝＝＝2. 2．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 答案　B 解析　由题意及正弦定理可知，＝b＝， 则sin B＝1， 又B∈(0，π)，故B为直角，△ABC是直角三角形． 3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝60°，a＝，则△ABC外接圆的半径等于(　　) A．2 B. C. D．1 答案　D 解析　设△ABC外接圆的半径为R， 根据正弦定理可得2R＝＝＝＝2， 所以R＝1，即△ABC外接圆的半径为1. 4．在△ABC中，已知AB＝AC，B＝30°，则C等于(　　) A．45° B．15° C．45°或135° D．15°或105° 答案　C 解析　由正弦定理＝， 得＝，解得sin C＝， 由AB＝AC可知AB>AC，所以C>B， 因为0°<C<180°， 所以C＝45°或C＝135°. 5．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　由正弦定理＝，得＝， ∴sin B＝＝＝. ∵a>b，∴A>B， 又∵A＝60°，∴B为锐角． ∴cos B＝＝＝. 6．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则下列各组条件中使得△ABC有唯一解的是(　　) A．a＝3，b＝4，A＝ B．a＝3，b＝4，cos B＝ C．a＝3，b＝4，C＝ D．a＝3，b＝4，B＝ 答案　BCD 解析　根据题意，A中，由正弦定理＝⇒sin B＝×sin A＝，因为<<，所以角B在和上各有一个解，并且这两个解与角A的和都小于π，所以A不满足题意； B中，根据余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B，即16＝9＋c2－c，解得c＝5或c＝－(舍)，所以只有1个解，满足题意； C中，条件为边角边，根据余弦定理可以求得唯一的c边，所以有唯一解，满足题意； D中，由正弦定理＝⇒sin A＝×sin B＝，因为<，所以角A在和上各有一个解，当解在上时，角B与角A的和大于π，所以只有1个解，满足题意． 7．在△ABC中，若a＝，b＝，B＝，则A＝________. 答案　或 解析　由正弦定理，得sin A＝＝＝， 又A∈(0，π)，a>b， ∴A>B，∴A＝或. 8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则sin B＝________，b＝________. 答案　　 解析　在△ABC中，由cos A＝，cos C＝， 可得sin A＝，sin C＝， 所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝， 又a＝1，故由正弦定理得，b＝＝. 9．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B的值． 解　∵＝， ∴a＝＝＝10. B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°. 又∵＝， ∴b＝＝＝20sin 75° ＝20×＝5(＋)． 10．在△ABC中，已知b＝6，c＝6，C＝30°，求a的值． 解　由正弦定理＝， 得sin B＝＝. 因为b>c，所以B>C＝30°，所以B＝60°或120°. 当B＝60°时，A＝90°，a＝＝＝12. 当B＝120°时，A＝30°，a＝＝＝6. 所以a＝6或12. 11．在△ABC中，若＝，则C的值为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　B 解析　由正弦定理，知＝，∴＝， ∴cos C＝sin C，∴tan C＝1， 又∵0°<C<180°，∴C＝45°. 12．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为(　　) A．45° B．60° C．75° D．90° 答案　C 解析　设C为最大角，则A为最小角， ∵A＋C＝120°， ∴＝＝ ＝ ＝×＋ ＝， ∴＝1.∴tan A＝1. 又∵A为锐角，∴A＝45°，C＝75°. 13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于(　　) A．3∶4∶5 B．5∶4∶3 C．2∶∶1 D．1∶∶2 答案　D 解析　在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶∶2. 14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为________． 答案　(，2) 解析　在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理＝，得c＝.若此三角形有两解，则必须满足的条件为c>b>csin B，即<b<2. 15．锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A>B.则下列三个不等式中成立的是________．(填序号) ①sin A>sin B； ②cos A<cos B； ③sin A＋sin B>cos A＋cos B. 答案　①②③ 解析　A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，故①成立． 函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减， ∵A>B，∴cos A<cos B，故②成立． 在锐角三角形中，∵A＋B>， ∴0<－B<A<， 又函数y＝sin x在区间上单调递增， 则sin A>sin，即sin A>cos B， 同理sin B>cos A，故③成立． 16．在△ABC中，a＝，A＝，试求△ABC的周长的取值范围． 解　由正弦定理，得＝＝， 即＝＝＝2， ∴b＝2sin B，c＝2sin C， ∴△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝＋2sin B＋2sin C ＝＋2sin B＋2sin ＝＋3sin B＋cos B ＝＋2sin， 又B∈， ∴B＋∈， ∴sin∈， ∴L∈(2，3]． 即△ABC的周长的取值范围为(2，3]． 学科网（北京）股份有限公司 $$