6.4.2 向量在物理中的应用举例-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

6.4.2　向量在物理中的应用举例 [学习目标]　会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题，体会向量在解决物理和实际问题中的作用． 导语　 向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰． 一、向量与力 例1　如图，用两根长分别为5 m和10 m的绳子，将100 N的物体M吊在水平屋顶AB上，平衡后，物体M距屋顶的距离恰好为5 m，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)． 解　如图，由已知条件可知DM与铅垂方向成45°角，CM与铅垂方向成60°角． 设A处所受力为FA，B处所受力为FB，物体的重力为G. 因为∠EMC＝60°，∠EMD＝45°， 则有|FA|cos 45°＋|FB|cos 60°＝|G|＝100，① 且|FA|sin 45°＝|FB|sin 60°，② 由①②得|FA|＝(150－50)N， 所以A处所受力的大小为(150－50)N. 反思感悟　用向量解决物理问题的一般步骤 (1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题． (2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型． (3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值． (4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象． 跟踪训练1　一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°.求这三个力的合力F所做的功． 解　如图所示，以物体的重心O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系， 则F1＝(1，)， F2＝(2，2)， F3＝(－3,3)， ∴F＝F1＋F2＋F3＝(2－2,2＋4)． 又位移s＝(4，4)， ∴合力F所做的功W＝F·s＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝24(J)． ∴合力F所做的功为24 J. 二、向量与速度、加速度、位移 例2　有一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中的最大航速为4 km/h，问该船怎样航行可使它从A码头最快到达B码头？用时多少？ 解　如图所示， 设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED，且当AE与AB重合时能最快到达B码头，根据题意知AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中， ||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°， ∴||＝＝2， 又AB＝， ∴用时0.5 h，易知sin∠EAD＝， ∴∠EAD＝30°. ∴该船航行速度大小为4 km/h，与水流方向成120°角时能最快到达B码头，用时0.5 h. 反思感悟　速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算．用向量解决速度、加速度、位移等问题，主要借助于向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算． 跟踪训练2　某人从点O向正东方向走30 m到达点A，再向正北方向走30 m到达点B，则此人的位移的大小是________ m，方向是北偏东________． 答案　60　30° 解析　如图所示， 此人的位移是＝＋，且⊥， 则||＝ ＝＝60(m)， tan∠BOA＝＝＝， 所以∠BOA＝60°.所以的方向为北偏东30°. 三、向量与功 例3　已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10 m/s2) 解　如图所示，设木块的位移为s， 则WF＝F·s＝|F||s|cos 30°＝50×20×＝500(J)． 将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)， 所以摩擦力f的大小为|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)， 因此Wf＝f·s＝|f||s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)． 即F和f所做的功分别为500 J和－22 J. 反思感悟　力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F和s的夹角)． 跟踪训练3　一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5)．则在这个过程中三个力的合力所做的功为________ J. 答案　－40 解析　∵F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)， ∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8)． 又∵＝(－1,4)， ∴F·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40(J)， 即三个力的合力做的功为－40 J. 1．知识清单： (1)利用向量的加、减、数乘运算解决力、位移、速度、加速度的合成与分解的问题． (2)利用向量的数量积解决力所做的功的问题． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：不能将物理问题转化为向量问题． 1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度大小为(　　) A．v1－v2 B．v1＋v2 C．|v1|－|v2| D. 答案　C 解析　由向量的加法法则可知逆风行驶的速度为v1＋v2.人的速度和风速方向相反，故选C. 2．一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为5 N，则两个力的合力的大小为(　　) A．5 N B．5 N C．5 N D．5 N 答案　D 解析　两个力的合力的大小为|F1＋F2|＝＝＝5(N)． 3．已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小为|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为(　　) A．7 B．10 C．14 D．70 答案　D 解析　F做的功为F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14×＝70. 4．当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 答案　D 解析　作＝F1，＝F2，＝－G(图略)， 则＝＋， 当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形， 所以∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°，即θ的值为120°. 1．如果一架飞机从点A向东飞行200 km到达点B，再向南飞行300 km到达点C，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么(　　) A．s>|a| B．s<|a| C．s＝|a| D．s与|a|不能比较大小 答案　A 解析　在△ABC中，两边之和大于第三边，即s＝||＋||>||＝|a|. 2．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为(　　) A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．2 答案　D 解析　因为F1＋F2＝(1,2lg 2)， 所以W＝(F1＋F2)·s ＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2. 3．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于(　　) A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(－1,2) D．(1,2) 答案　D 解析　∵F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)， ∴F1＋F2＋F3＝(－1，－2)， 为要使物体保持平衡，只需F4＝－(－1，－2)＝(1,2)． 4．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　) A．10 m/s B．2 m/s C．4 m/s D．12 m/s 答案　B 解析　由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如图． ∴|v|＝＝＝2(m/s)． 5．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小约为400 N，则该学生的体重约为(参考数据：取重力加速度大小为g＝10 m/s2，≈1.732)(　　) A．63 kg B．69 kg C．75 kg D．81 kg 答案　B 解析　由题意知，|F1|＝|F2|＝400 N，夹角θ＝60°， 所以G＋F1＋F2＝0，即G＝－(F1＋F2)， 所以G2＝(F1＋F2)2＝4002＋2×400×400×cos 60°＋4002＝3×4002， 所以|G|＝400(N)， 则该学生的体重约为40≈40×1.732≈69(kg)． 6．(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是(　　) A．船垂直到达对岸所用时间最少 B．当船速v的方向与河岸垂直时用时最少 C．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样 D．船垂直到达对岸时航行的距离最短 答案　BD 解析　根据向量将船速v分解，当v垂直河岸时，用时最少．船垂直到达对岸时航行的距离最短． 7．一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m，且力F所做的功W＝250 J，则F与s的夹角等于________． 答案　 解析　设F与s的夹角为θ，由W＝F·s， 得250＝10×50cos θ，∴cos θ＝.又θ∈[0，π]， ∴θ＝. 8．一条河宽为8 000 m，一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________ h. 答案　0.5 解析　如图， v实际＝v船＋v水＝v1＋v2， |v1|＝20，|v2|＝12， ∴|v实际|＝ ＝＝16(km/h)． ∴所需时间t＝＝0.5(h)． ∴该船到达B处所需的时间为0.5 h. 9．已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)． (1)求F1，F2分别对质点所做的功； (2)求F1，F2的合力F对质点所做的功． 解　(1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)， W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)， W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)． ∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J. (2)W＝F·＝(F1＋F2)· ＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J)． ∴合力F对质点所做的功为－102 J. 10．在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船在静水中的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ 解　如图所示，设表示水流的速度，表示渡船在静水中的速度，表示渡船实际垂直过江的速度． 因为＋＝， 所以四边形ABCD为平行四边形． 在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12.5， ||＝25，所以∠CAD＝30°， 即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°. 11．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为(　　) A．40 N B．10 N C．20 N D. N 答案　B 解析　对于两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N时，可知这两个力的大小都是10 N；当它们的夹角为120°时，可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为10 N. 12．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小为|v2|＝4 km/h.设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸的点A′在A的正北方向，若游船正好到达A′处，则cos θ等于(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　D 解析　设船的实际速度为v，v1与南岸上游的夹角为α，如图所示． 要使得游船正好到达A′处， 则|v1|cos α＝|v2|， 即cos α＝＝， 又θ＝π－α，所以cos θ＝cos(π－α) ＝－cos α＝－. 13．一个物体受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且|F1|＝3 N，|F2|＝4 N，则F1与F3夹角的余弦值是________． 答案　－ 解析　因为物体处于平衡状态， 所以F1＋F2＋F3＝0. 因此F3＝－(F1＋F2)，于是|F3|＝ ＝ ＝＝， 设F1与F3的夹角是θ. 又F2＝－(F1＋F3)，所以|F2|＝ ＝ ＝＝4， 解得cos θ＝－. 14.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°≈0.6)，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为________J，重力所做的功为________J(g＝9.8 m/s2)． 答案　0　98 解析　物体m的位移大小为|s|＝≈(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F|·|s|cos 90°＝0(J)；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|cos 53°≈5×9.8××0.6＝98(J). 15.(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是(　　) A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 答案　AC 解析　设水的阻力为f，绳的拉力为F，绳AB与水平方向的夹角为θ， 则|F|cos θ＝|f|，∴|F|＝. ∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大． ∵|F|sin θ增大，∴船的浮力减小． 16.如图所示，在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O的东偏南θ方向，距点O 300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 解　设t h后，台风中心移动到Q处， 此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ＝θ－45°. ∵＝＋， ∴2＝(＋)2 ＝||2＋||2＋2· ＝||2＋||2－2||||cos(θ－45°) ＝3002＋(20t)2－2×300×20t× ＝100(4t2－96t＋900)． 依题意得2≤(60＋10t)2， 解得12≤t≤24. 所以12小时后该城市开始受到台风的侵袭． 学科网（北京）股份有限公司 $$