6.4.1 平面几何中的向量方法-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

6.4.1　平面几何中的向量方法 [学习目标]　1.能用向量方法解决简单的几何问题.2.体会向量在解决数学问题中的作用． 导语　 向量集“数”与“形”于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量是几何研究的一个有效工具． 一、用向量解决平面几何中的平行(或共线)问题 例1　如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.求证：点E，O，F在同一直线上． 证明　设＝m，＝n， 由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点， 所以＝＋＝＋ ＝－m＋(m＋n)＝m＋n， ＝＋＝＋ ＝(m＋n)－m＝m＋n. 所以＝. 又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上． 反思感悟　用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 跟踪训练1　设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，AB∥DC，试用向量证明：PQ∥AB. 证明　设＝λ(λ>0且λ≠1)， 因为＝－＝＋－ ＝＋(－) ＝＋[(－)－(＋)] ＝＋(－) ＝(＋)＝(－λ＋1)， 所以∥，又P，Q，A，B四点不共线， 所以PQ∥AB. 二、利用向量证明平面几何问题 例2　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明　方法一　设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0. 又＝＋＝－a＋， ＝＋＝b＋， 所以·＝· ＝－－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 方法二　如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)， 则＝(2,1)，＝(1，－2)． 因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 反思感悟　用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤： ①选取基底； ②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； ④把计算所得结果转化为几何问题． (2)向量的坐标运算法的四个步骤： ①建立适当的平面直角坐标系； ②把相关向量坐标化； ③利用向量的坐标运算找到相应关系； ④利用向量关系回答几何问题． 跟踪训练2　如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF. 证明　方法一　设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0<a<1)， 则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a， ∴·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋·＋· ＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0. ∴⊥，即DP⊥EF. 方法二　如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系． 设正方形ABCD的边长为1， AP＝λ(0<λ<)， 则D(0,1)，P，E，F. ∴＝，＝. ∴·＝λ－λ2＋λ2－λ＝0， ∴⊥，即DP⊥EF. 三、利用平面向量求几何中的长度问题 例3　在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 解　设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b， 而||＝|a－b|＝＝＝＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝， 又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2 ＝1＋4＋2a·b＝6， ∴||＝，即AC＝. 反思感悟　用向量法求长度的策略 (1)根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解． (2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. 跟踪训练3　在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边上的中线AD的长是(　　) A．2 B. C．3 D. 答案　B 解析　∵BC的中点为D，＝， ∴||＝＝. 四、利用平面向量求几何中的角度问题 例4　如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC. 求： (1)AD的长； (2)∠DAC的大小． 解　(1)设＝a，＝b， 则＝＋ ＝＋＝＋(－) ＝＋＝a＋b. ∴||2＝2＝2 ＝a2＋2×a·b＋b2 ＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3. ∴AD＝. (2)设∠DAC＝θ(0°<θ<120°)， 则θ为与的夹角． ∴cos θ＝＝ ＝＝＝0. ∴θ＝90°，即∠DAC＝90°. 反思感悟　用向量法求角度的策略 (1)将要求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，然后求出该夹角，再转化为实际问题中的角即可． (2)要注意，两向量的夹角和要求角的关系． 跟踪训练4　正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则cos∠DOE＝________. 答案　 解析　以O为原点，以OA，OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示． 由题意知，＝，＝， 故cos∠DOE＝＝＝. 1．知识清单： (1)用向量解决平面几何中的平行(或共线)问题． (2)利用向量证明平面几何问题． (3)利用平面向量求几何中的长度问题． (4)利用平面向量求几何中的角度问题． 2．方法归纳：转化法、数形结合法． 3．常见误区：不能将几何问题转化为向量问题． 1．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC(　　) A．是正三角形 B．是直角三角形 C．是等腰三角形 D．形状无法确定 答案　C 解析　(＋)·(－)＝2－2＝0， 即||＝||，即CA＝CB，则△ABC是等腰三角形． 2．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为(　　) A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 答案　A 解析　∵＝(3,3)，＝(－2，－2)， ∴＝－，∴与共线． 又||≠||，∴该四边形为梯形． 3．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos∠BDC等于(　　) A．－ B. C．0 D. 答案　B 解析　如图，以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 则B(0,0)，A(0,8)，C(6,0)，D(3,4)， ∴＝(－3，－4)， ＝(3，－4)． 又∠BDC为，的夹角， ∴cos∠BDC＝＝＝. 4．在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||＝________. 答案　1 解析　∵＝＋(＋)， ∴－＝(＋)， 即＝(＋)， ∴AP为Rt△ABC的斜边BC上的中线． ∴||＝1. 1．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形ABCD为(　　) A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 答案　D 解析　由＋＝0，得＝－＝，∴四边形ABCD为平行四边形．由·＝0知，▱ABCD对角线互相垂直，故四边形ABCD为菱形． 2．在四边形ABCD中，若＝(1,3)，＝(－6,2)，则该四边形的面积为(　　) A. B．2 C．5 D．10 答案　D 解析　∵·＝－6＋6＝0，∴AC⊥BD. ∴四边形ABCD的面积 S＝||||＝××2＝10. 3．已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是(　　) A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 答案　C 解析　由题意知，·(－)＋·(－)＝0， 即·＋·＝0， 即·＝0， 则⊥，故△ABC为直角三角形． 4．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且＝，则(　　) A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的反向延长线上 C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上 答案　B 解析　∵＝＝－， ∴－＝(－)， ∴＝. ∴点P在线段AB的反向延长线上． 5.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||等于(　　) A. B．2 C．3 D．2 答案　B 解析　以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设||＝a(a>0)，则A(0,0)，C(4，a)， D(0，a)，E(2,0)， 所以＝(2，－a)，＝(4，a)． 因为⊥，所以·＝0， 所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8. 所以a＝2，所以＝(2，－2)， 所以||＝＝2. 6．在△ABC中，AB＝AC＝2，点M满足＋2＝0，若·＝，则BC的长为(　　) A．1 B. C．2 D．3 答案　C 解析　取BC的中点O，连接AO，如图所示． ∵＋2＝0，即＝2， ∴M为BC边上靠近C的三等分点， ∵AB＝AC，∴AO⊥BC， ∴·＝0， 又＝， ∴·＝·(＋)＝·＋·＝·＝||2＝， 解得||＝2，即BC＝2. 7．在△ABC中，M是线段BC的中点，且||＝1，若P为△ABC的重心，则(＋)·(＋)＝________. 答案　 解析　由题意知＋＝2， 所以(＋)·(＋)＝·(＋) ＝2·＝2||||cos 0° ＝2×××1＝. 8．已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则(＋)·＝________. 答案　－ 解析　如图，以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(2,0)，D(0,1)， ∴C(2,1)． ∵E，F分别为BC，CD的中点， ∴E，F(1,1)，∴＝，＝(1,1)， ∴＋＝，＝(－2,1)， ∴(＋)·＝3×(－2)＋×1＝－. 9.如图，已知E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：四边形EFGH是平行四边形． 证明　如图所示，连接AC, 因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥AC，且EF＝AC，即＝， 同理可得＝， 所以＝， 又因为EF，HG不在一条直线上， 所以四边形EFGH是平行四边形． 10.如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上． (1)若AB＝BC＝2，点F是边CD上靠近点C的三等分点，求·的值； (2)若AB＝，BC＝2，当·＝0时，求CF的长． 解　以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)因为AB＝BC＝2，点F是边CD上靠近点C的三等分点，点E是BC边上的中点， 所以A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(2,1)，D(0,2)，F， 所以＝(2,1)，＝， 所以·＝－＋1＝－. (2)因为AB＝，BC＝2， 所以A(0,0)，B(，0)，E(，1)，C(，2)，D(0,2)， 设F(a,2)(0≤a≤)， 所以＝(，1)，＝(a－，2)， 当·＝0时，(a－)＋2＝0， 解得a＝， 所以CF＝－＝. 11．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5 答案　B 解析　如图，D为BC边的中点， 则＝(＋)． 因为3－－＝0， 所以3＝2，所以＝， 所以S△ABM＝S△ABD＝S△ABC. 12．在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M形成的图形必经过△ABC的(　　) A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 答案　C 解析　假设BC的中点是O，则2－2＝(＋)·(－)＝2·＝2·，即(－)·＝·＝0，所以⊥，所以动点M在线段BC的垂直平分线上，所以动点M形成的图形必经过△ABC的外心． 13．在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于(　　) A．2 B．4 C．5 D．10 答案　D 解析　将△ABC各边及PA，PB，PC均用向量表示， 则＝ ＝ ＝ ＝－6＝42－6＝10. 14．在△ABC中，AB＝5，AC＝4，∠BAC＝60°，D为BC的中点，点E满足＝4，直线CE与AD交于点P，则cos∠DPE等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　如图，以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 则A(0,0)，B(5,0)，C(2,2)，E(4,0)，因为D为BC的中点，故D， 则＝(2，－2)，＝， 故cos〈，〉＝＝＝， 所以cos∠DPE＝cos〈，〉＝. 15．已知四边形ABCD中，·＝0，＝2，||＝10，||＝5，＝，F为BD与AE的交点，则||等于(　　) A. B．2 C．2 D．2 答案　A 解析　如图所示， 由题意得 A(0,0)，B(10,0)，C(5,5)，D(0,5)，E. 设点F(x，y)， 则＝(x，y)，＝， 由A，F，E三点共线得 x－y＝0， 即x－3y＝0，① ＝(x－10，y)，＝(－x,5－y)， 由B，F，D三点共线得 (x－10)(5－y)－y(－x)＝0， 即x＋2y＝10，② 由①②解得x＝6，y＝2，则F(6,2)， ∴＝(1，－3)， ∴||＝＝. 16.如图所示，以△ABC的两边AB，AC为边向外作正方形ABGF和ACDE，M为边BC的中点．求证：AM⊥EF. 证明　因为M是边BC的中点， 所以＝(＋)． 又因为＝－， 所以·＝(＋)·(－) ＝(·＋·－·－·) ＝(0＋·－·－0) ＝(·－·) ＝[||||·cos(90°＋∠BAC)－||||·cos(90°＋∠BAC)]＝0， 所以⊥，即AM⊥EF. 学科网（北京）股份有限公司 $$