10.1.2 事件的关系和运算 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

10.1.2　事件的关系和运算 第十章　§10.1　随机事件与概率 1.理解事件的关系和运算. 2.通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念. 学习目标 从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件.这些事件有的简单，有的复杂.我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算. 导语 一、事件的关系 二、事件的运算 课时对点练 三、互斥事件与对立事件 随堂演练 内容索引 事件的关系 一 问题1　在掷骰子试验中，事件A＝“点数为1”，事件B＝“点数为奇数”，表示A与B两事件的集合有什么关系？A与B事件有什么关系？ 提示　集合B包含集合A；事件A发生，则事件B一定发生.   定义 符号 图示 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B______发生，就称事件B_____事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B)   相等关系 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B____A且A____B，则称事件A与事件B相等 _______   一定 包含 ⊇ ⊇ A＝B 知识梳理 7 例1　在掷骰子试验中，可以得到以下事件： A：{出现1点}；B：{出现2点}；C：{出现3点}；D：{出现4点}；E：{出现5点}；F：{出现6点}；G：{出现的点数不大于1}；H：{出现的点数小于5}；I：{出现奇数点}；J：{出现偶数点}. 请判断下列两个事件的关系： (1)B_____H；(2)D_____J；(3)E_____I；(4)A_____G. ⊆ ⊆ ⊆ ＝ 8 因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B⊆H； 同理D⊆J，E⊆I； 易知事件A与事件G相等，即A＝G. 9 判断事件之间的关系，主要是判断表示事件的两集合间的包含关系. 反思感悟 10 跟踪训练1　连续掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A为“3次正面向上”，B为“只有1次正面向上”，C为“至少有1次正面向上”，试判断事件A，B，C之间的包含关系. 当事件A发生时，事件C一定发生，当事件B发生时，事件C一定发生，因此有A⊆C，B⊆C；当事件A发生时，事件B一定不发生，当事件B发生时，事件A一定不发生，因此事件A与事件B之间不存在包含关系. 11 二 事件的运算 问题2　在掷骰子试验中，用集合的形式表示事件D1＝“点数不大于3”，事件E1＝“点数为1或2”和事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？ 提示　D1＝{1,2,3}，E1＝{1,2}，E2＝{2,3}.{1,2}∪{2,3}＝{1,2,3}，即E1∪E2＝D1. 13 问题3　在掷骰子试验中，事件C2＝“点数为2”，事件E1＝“点数为1或2”和事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？ 提示　E1＝{1,2}，E2＝{2,3}，C2＝{2}.{1,2}∩{2,3}＝{2}，即E1∩E2＝C2. 问题4　怎样从集合的角度理解并事件和交事件？ 提示　事件的并、交可以借助集合的并集、交集进行理解. 14   定义 符号 图示 并事件 (或和事件) 一般地，事件A与事件B_____有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，则称这个事件为事件A与事件B的并事件 (或和事件) A∪B (或A＋B)   至少 知识梳理 15 交事件 (或积事件) 一般地，事件A与事件B_____发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，则称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) ___________   同时 A∩B(或AB) 知识梳理 16 例2　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}. 求：(1)事件D与A，B是怎样的运算关系？ 事件D包含的样本点为{1个红球、2个白球}，{2个红球、1个白球}，故D＝A∪B. 17 (2)事件C与A的交事件是什么事件？ 事件C包含的样本点为{1个红球、2个白球}，{2个红球、1个白球}，{3个红球}， 故C∩A＝A. 18 延伸探究　在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与B，E分别是什么运算关系？C与F的交事件是什么事件？ 事件C包含的样本点为{1个红球、2个白球}，{2个红球、1个白球}，{3个红球}，故B⊆C，E⊆C，而事件F包含的样本点为{1个白球、2个红球}，{2个白球、1个红球}，{3个白球}，所以C∩F＝{1个红球、2个白球或2个红球、1个白球}＝D. 19 事件间的运算方法 (1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有的样本点，分析并利用这些结果进行事件间的运算. (2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有的样本点，把这些结果在图中列出，进行运算. 反思感悟 20 跟踪训练2　对空中移动的目标连续射击两次，设A＝{两次都击中目标}，B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一次击中目标}，D＝{至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是 A.A⊆D B.B∩D＝∅ C.A∪C＝D D.A∪C＝B∪D √ 21 对于选项A，事件A包含于事件D，故A正确； 对于选项B，由于事件B，D不能同时发生，故B∩D＝∅正确； 对于选项C，由题意知正确； 对于选项D，由于A∪C＝D＝{至少有一次击中目标}，不是必然事件；而B∪D为必然事件，所以A∪C≠B∪D，故D不正确. 22 三 互斥事件与对立事件 问题5　用集合的形式表示事件C3＝“点数为3”和事件C4＝“点数为4”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？ 提示　C3＝{3}，C4＝{4}，C3∩C4＝∅. 问题6　用集合的形式表示事件F＝“点数为偶数”，事件G＝“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？ 提示　F＝{2,4,6}，G＝{1,3,5}.F∪G＝Ω，F∩G＝∅. 24 定义 一般地，如果事件A与事件B__________发生，也就是说______是一个不可能事件，即A∩B＝____，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) 含义 A与B不能同时发生 符号表示 __________ 图形表示   不能同时 1.互斥事件 A∩B ∅ A∩B＝∅ 知识梳理 25 定义 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且__________，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 含义 A与B有且仅有一个发生 符号表示 __________，__________ 图形表示   A∩B＝∅ 2.对立事件 A∩B＝∅ A∪B＝Ω 知识梳理 26 例3　(多选)从一批产品(既有正品也有次品)中取出3件产品，设A＝{3件产品全不是次品}，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中正确的是 A.A与C互斥 B.B与C互斥 C.任何两个都互斥 D.A与B对立 √ √ √ 27 由题意可知，C＝{3件产品有次品，但不全是次品}，包含“1件次品、2件正品”“2件次品、1件正品”两个样本点， A＝{3件产品全不是次品}＝{3件产品全是正品}， B＝{3件产品全是次品}，由此知，A与C互斥，B与C互斥，A与B互斥，故A，B，C正确； 由于样本空间中还包含“1件次品，2件正品”“2件次品，1件正品”两个样本点，故A与B不对立，故D错误. 28 辨析互斥事件与对立事件的思路 (1)从发生的角度看 ①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生. ②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例. (2)从事件个数的角度看 互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件. 反思感悟 29 跟踪训练3　(多选)从1,2,3，…，9中任取两个数，其中不是对立事件的是 A.恰有一个偶数和恰有一个奇数 B.至少有一个偶数和两个都是偶数 C.至少有一个奇数和两个都是偶数 D.至少有一个奇数和至少有一个偶数 √ √ √ 30 根据题意，从1,2,3，…，9中任取两个数，其中可能的情况有“两个奇数”“两个偶数”“一个奇数与一个偶数”，共三种情况，依次分析所给的4个事件. 对于A，恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”的情况，不是对立事件； 对于B，至少有一个偶数包括“两个偶数”和“一个奇数与一个偶数”两种情况，与“两个都是偶数”不是对立事件； 31 对于C，至少有一个奇数包括“两个奇数”和“一个奇数与一个偶数”两种情况，与“两个都是偶数”是对立事件； 对于D，至少有一个奇数包括“两个奇数”和“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”和“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件. 32 1.知识清单： (1)事件的包含关系与相等关系. (2)并事件和交事件. (3)互斥事件和对立事件. 2.方法归纳：列举法、Venn图法. 3.常见误区：互斥事件和对立事件之间的关系易混淆. 课堂小结 随堂演练 四 1.某人射击一次，设事件A为“击中环数小于4”，事件B为“击中环数大于4”，事件C为“击中环数不小于4”，事件D为“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是 A.A与B互为对立 B.B与C互斥 C.C与D互为对立 D.B与D互斥 1 2 3 4 √ 在A中，A与B互斥但不对立，故A错误； 在B中，B和C能同时发生，不是互斥事件，故B错误； 在C中，C与D是互斥事件，故C错误； 在D中，B与D为互斥事件，故D正确. 2.在包含10件次品的100件产品中，抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为 A.至多有2件次品 B.至多有1件次品 C.至多有2件正品 D.至少有2件正品 1 2 3 4 √ 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9个样本点，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品. 3.从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件B，则A∪B和A∩B包含的样本点数分别为 A.1,6 B.4,2 C.5,1 D.6,1 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}. 其中事件A包含的样本点有：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共4个. 事件B包含的样本点有：(1,3)，(2,4)，共2个. 所以事件A∪B包含的样本点有：(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共5个； 事件A∩B包含的样本点有：(2,4)，共1个. 4.从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个两位数.事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件A∩B用样本点表示为__________________________. 1 2 3 4 {10,20,30,40,50,32,42,52,54} 从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个两位数，所有的样本点为10,12, 13,14,15,20,21,23,24,25,30,31,32,34,35,40,41,42,43,45,50,51,52,53,54，共25个，则事件A＝{10,12,14,20,24,30,32,34,40,42,50,52,54}，事件B＝{10,20,30,40,50,21,31,41,51,32,42,52,43,53,54}，故事件A∩B用样本点表示为{10,20,30,40,50,32,42,52,54}. 课时对点练 五 1.从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A表示 “所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是 A.所取的3个球中至少有一个白球 B.所取的3个球中恰有2个白球、1个黑球 C.所取的3个球都是黑球 D.所取的3个球中恰有1个白球、2个黑球 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，事件A的互斥事件是所取的3个球中白球多于1个，所以事件A的互斥事件是所取的3个球中恰有2个白球、1个黑球. 2.设“本周至少做完3套练习题”为事件A，则A的对立事件为 A.至多做完3套练习题 B.至多做完2套练习题 C.至多做完4套练习题 D.至少做完2套练习题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6，…套练习题，故它的对立事件为做完0,1,2套练习题，即至多做完2套练习题. 3.向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和小于10，事件B表示两次点数之和能被5整除，则事件 ∩B用样本点表示为 A.{(5,5)} B.{(4,6)，(5,5)} C.{(6,5)，(5,5)} D.{(4,6)，(6,4)，(5,5)} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 事件B的样本点表示的集合为{(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(5,5)，(4,6)，(6,4)}， 4.分别投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A＝“两枚骰子的点数都是奇数”，事件B＝“两枚骰子的点数都是偶数”，事件C＝“两枚骰子的点数之和为奇数”，则事件A∪B与事件C A.不互斥 B.互斥但不对立 C.互为对立 D.以上说法都不对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 投掷两枚质地均匀的骰子共有三种结果，一奇一偶，两奇，两偶，所以和事件A∪B与事件C互为对立. 5.(多选)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名去参加比赛，则下列事件是互斥事件的是 A.“恰有一名男生”和“全是男生” B.“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C.“至少有一名男生”和“全是男生” D.“至少有一名男生”和“全是女生” 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A是互斥事件，恰有一名男生的实质是选出的两人中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生； B不是互斥事件，当选出的两人是一男一女时，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”同时发生； C不是互斥事件； D是互斥事件. 6.(多选)设A，B是两个随机事件，下列关系正确的是 A.A∪B＝A B.A∪AB＝A √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 若A∪B＝A，则B⊆A，故A错误； ∵AB⊆A，∴A∪AB＝A，故B正确； ∵A⊆(A∪B)，∴A(A∪B)＝A，故D正确. 7.向上抛掷一枚骰子，设事件A＝{点数为2或4}，事件B＝{点数为2或6}，事件C＝{点数为偶数}，则事件C与A，B的运算关系是__________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C＝A∪B 8.现有语文、数学、英语、物理和化学5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A，B，C，D，E，则事件取出的书不是语文和英语可记为___________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色.设事件A＝“三个圆的颜色全不相同”，事件B＝“三个圆的颜色不全相同”，事件C＝“其中两个圆的颜色相同”，事件D＝“三个圆的颜色全相同”. (1)写出试验的样本空间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知3个圆可能颜色一样，可能有2个一样，另1个异色，或者三个圆都异色.则试验的样本空间Ω＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)，(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}. (2)用集合的形式表示事件A，B，C，D； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A＝{(红，黄，蓝)}， B＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}， C＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)}， D＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)}. (3)事件B与事件C有什么关系？事件A和B的交事件与事件D有什么关系？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(2)可知事件B包含事件C，事件A和B的交事件与事件D互斥. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件A＝{两次出现的点数相同}，事件B＝{两次出现的点数之和为4}，事件C＝{两次出现的点数之差的绝对值为4}，事件D＝{两次出现的点数之和为6}. (1)用样本点表示事件C∩D，A∪B； 由题意得，事件A＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，事件B＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}，事件C＝{(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)}，事件D＝{(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}. C∩D＝{(1,5)，(5,1)}，A∪B＝{(1,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若事件E＝{(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(5,1)，(6,2)}，则事件E与已知事件是什么运算关系？ E＝B∪C. 11.(多选)若甲、乙、丙三个人站成一排，则下列是互斥事件的有 A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙不站排尾” C.“甲不站排头和排尾”与“乙不站排头和排尾” D.“甲站排头”与“乙站排尾” 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 √ 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 按照站排头可分为三种情况：甲站排头、乙站排头、丙站排头，所以A正确，B错误； “甲不站排头和排尾”与“乙不站排头和排尾”等价于“甲站排中”与“乙站排中”，是互斥的，所以C正确； “甲站排头”包括“乙站排尾”，所以D错误. 12.盒子内分别有3个红球，2个白球，1个黑球，从中任取2个球，则下列选项中的两个事件互斥而不对立的是 A.“至少有1个白球”和“至多有1个白球” B.“至少有1个白球”和“至少有1个红球” C.“至少有1个白球”和“没有白球” D.“至少有1个白球”和“红球、黑球各1个” 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当取出的2个球是1白1红时，A中两个事件同时发生，所以A中的两个事件不是互斥事件，此时B也一样，所以排除A，B； C中，两个事件不可能同时发生，但是必有一个发生，所以C中的两个事件是互斥且对立事件，所以排除C； D中，两个事件不可能同时发生，但是当取出的2个球都是红球时，这两个事件都没有发生，所以D中的两个事件是互斥事件但不是对立事件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 选项A，表示H，E，F三个事件至少有一个发生； 选项B，表示三个事件恰有一个发生； 选项C，表示三个事件恰有一个不发生； 选项D，表示三个事件至少有一个不发生. 14.在如图所示的电路中，用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝__________ ______________.(用B，C，D间的运算关系式表示) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (BC)∪(BD) 要使电灯变亮，则开关I闭合，且开关Ⅱ，Ⅲ至少有一个闭合，所以A＝(BC)∪(BD)或B∩(C∪D). (或B∩(C∪D)) 15.如果A，B是互斥事件，那么 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 16 √ 16.如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生. (1)从这个班任意选择一名学生，用自然语言 描述1,4,5,8各区域所代表的事件； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 区域1表示事件“这名学生同时订阅了数学、语文、 英语三种学习资料”； 区域4表示事件“这名学生订阅了数学、语文两种 学习资料，但没有订阅英语学习资料”； 区域5表示事件“这名学生仅订阅了语文学习资料”； 区域8表示事件“这名学生没有订阅数学、语文、英语学习资料”. (2)用A，B，C表示下列事件： ①至少订阅一种学习资料； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A∪B∪C. ②恰好订阅一种学习资料； ③没有订阅任何学习资料. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 事件的样本点表示的集合为{(5,5)，(6,6)，(4,6)，(6,4)，(5,6)，(6,5)}， 所以事件∩B用样本点表示为{(4,6)，(6,4)，(5,5)}. C.⊆A D.A(A∪B)＝A ∵当事件A，B都不发生时，发生， ∴事件不包含于A，故C错误；  B∪D∪E(或∪) 13.设H，E，F三个事件，，，分别表示它们的对立事件，表示“H，E，F三个事件恰有一个发生”的表达式为 A.H∪E∪F B.H∪E∪F C.HE∪HF∪EF D.∪∪ A.∪是必然事件 B.与一定是互斥事件 C.与一定不是互斥事件 D.A∪B是必然事件 由互斥事件的概念，A，B互斥即A∩B为不可能事件，所以∪是必然事件，故A正确； C选项中，当B＝时，与互斥，故C错误； D和B可举反例，如投掷骰子试验中，A表示向上数字为1，B表示向上数字为2，A∪B不是必然事件，与不是互斥事件，故B，D错误.  A∪B∪C. . $$