6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 [学习目标]　1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线． 导语　 同学们，我们一起回顾一下上节课的内容． 1．平面向量的坐标如何表示？ 2．平面向量的加、减如何用坐标进行运算？ 3．已知两点A，B的坐标，如何求的坐标？ 一、平面向量数乘运算的坐标表示 问题1　已知a＝(x，y)，你能得出λa的坐标吗？ 提示　λa＝λ(xi＋yj)＝λxi＋λyj，即λa＝(λx，λy)． 知识梳理　 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 例1　已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求： (1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. 解　(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)a－b＝(－1,2)－(2,1) ＝－＝. 反思感悟　平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行运算． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性运算可完全类比数的运算进行． 跟踪训练1　(1)已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c等于(　　) A．(－23，－12) B．(23,12) C．(7,0) D．(－7,0) 答案　A 解析　∵3a－2b＋c＝0， ∴c＝－3a＋2b＝－3(5,2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)． (2)已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则等于(　　) A．(－2，－2) B．(2,2) C．(1,1) D．(－1，－1) 答案　D 解析　＝(－)＝(－2，－2)＝(－1，－1)． 二、向量共线的判定 问题2　已知a，b两向量，则两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？ 提示　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0， 由a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，则有(x1，y1)＝λ(x2，y2)，即消去λ，得x1y2－x2y1＝0. 知识梳理　 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0. 向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 例2　已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，且＝，＝，求证：∥. 证明　设E(x1，y1)，F(x2，y2)． 由题意知＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)， ∴＝＝， ＝＝， ∴(x1，y1)－(－1,0)＝， (x2，y2)－(3，－1)＝， ∴(x1，y1)＝， (x2，y2)＝， ∴＝(x2，y2)－(x1，y1)＝. ∵4×－(－1)×＝0， ∴∥. 反思感悟　向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配． 跟踪训练2　在平面直角坐标系中，O为坐标原点，向量＝(1,1)，＝(2，－3)，＝ (－6,29)，试判断A，B，C三点是否共线，写出理由． 解　因为＝－＝(2，－3)－(1,1)＝(1，－4)， ＝－＝(－6,29)－(1,1)＝(－7,28)， 所以1×28－(－4)×(－7)＝0，所以∥.又直线AB和AC有公共点A，故A，B，C三点共线． 三、利用向量共线的坐标表示求参数 例3　(1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3,4)．若(3a－b)∥(a＋kb)，则k＝________. 答案　－ 解析　由题意3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)， 因为(3a－b)∥(a＋kb)，所以0－(－10－30k)＝0， 解得k＝－. (2)已知＝(k,2)，＝(1,2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________. 答案　－ 解析　＝－＝(1－k,2k－2)， ＝－＝(1－2k，－3)， 由题意可知∥， 所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0， 解得k＝－(k＝1不合题意，舍去)． 反思感悟　利用向量平行的条件处理求值问题的思路 (1)利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解． (2)利用向量共线的坐标表示直接求解． 提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值． 跟踪训练3　(1)已知非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，则实数m的值为(　　) A．－1或 B．1或－ C．－1 D. 答案　D 解析　由题意得－2(m2－1)－1×(m＋1)＝0，且m≠－1，解得m＝. (2)若a＝(，cos α)，b＝(3，sin α)，且a∥b，则锐角α＝________. 答案　 解析　∵a＝(，cos α)，b＝(3，sin α)，且a∥b， ∴sin α－3cos α＝0，即tan α＝， 又0<α<，故α＝. 四、有向线段的定比分点坐标公式及应用 问题3　直线l上有两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，在l上取不同于P1，P2的任一点P，存在一个实数λ，使＝λ，λ叫做点P分有向线段所成的比．当λ＝1时，点P位于何位置？你能求出点P的坐标吗？ 提示　当λ＝1时，点P为P1P2的中点，点P的坐标为. 知识梳理　 若线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是直线P1P2上的一点，则当＝λ时， 点P的坐标为(λ≠－1)． 注意点： (1)λ的值可正、可负． (2)若λ＝－1，则点P1，P2重合，无意义． 例4　如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且＝2，求点G的坐标． 解　∵D是AB的中点， ∴点D的坐标为， ∵＝2，∴＝2， 设G点坐标为(x，y)，由定比分点坐标公式可得 x＝＝， y＝＝， 即点G的坐标为. 反思感悟　用有向线段的定比分点坐标公式(λ≠－1)可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比． 跟踪训练4　已知点A(2,3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|＝2|BP|，则点P的坐标为________． 答案　(6，－9) 解析　设点P的坐标为(x，y)，由条件可知＝－2，由定比分点坐标公式可知 即点P的坐标为(6，－9)． 1．知识清单： (1)平面向量数乘运算的坐标表示． (2)两个向量共线的坐标表示． (3)有向线段的定比分点坐标公式及应用． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：两个向量共线的坐标表示的公式易记错． 1．下列各组向量中，共线的是(　　) A．a＝(－1,2)，b＝(4,2) B．a＝(－3,2)，b＝(6，－4) C．a＝，b＝(10,5) D．a＝(0，－1)，b＝(3,1) 答案　B 解析　利用平面向量共线的坐标表示可知，只有B满足题意． 2．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b等于(　　) A．(1，－2) B．(1,2) C．(5,6) D．(2,0) 答案　A 解析　方法一　(待定系数法)设b＝(x，y)，则2a＋b＝2(1,2)＋(x，y)＝(2＋x,4＋y)＝(3,2)， 即解得所以b＝(1，－2)． 方法二　b＝(2a＋b)－2a＝(3,2)－2(1,2)＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)． 3．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1,2)，若a∥b，则实数x的值为(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 答案　D 解析　因为a∥b， 所以2×2－(－1)×(x－1)＝0，得x＝－3. 4．已知两点A(－2,2)，B(4,4)，则AB的中点坐标为________． 答案　 解析　AB的中点坐标为＝. 1．已知平面向量a＝(－2,0)，b＝(－1，－1)，则a－2b等于(　　) A．(1,2) B．(－1，－2) C．(－1,2) D．(1，－2) 答案　A 解析　a－2b＝(－1,0)－(－2，－2)＝(1,2)． 2．向量a＝(2，－1)，a∥b，则b可能是(　　) A．(6,3) B．(3,6) C．(－6，－3) D．(－6,3) 答案　D 3．与a＝(12,5)平行的单位向量为(　　) A. B. C.或 D. 答案　C 解析　设与a平行的单位向量为e＝(x，y)， 则解得或 所以与a平行的单位向量为或. 4．如果向量a＝(k,1)，b＝(4，k)共线且方向相反，则k等于(　　) A．±2 B．－2 C．2 D．0 答案　B 解析　∵a与b共线且方向相反，∴存在实数λ(λ<0)，使得b＝λa，即(4，k)＝λ(k,1)＝(λk，λ)，∴ 解得或(舍去)． 5．(多选)已知向量a＝(1，－2)，b＝(－2,4)，则下列结论正确的是(　　) A．a∥b B. {a，b}可以作为一个基底 C．2a＋b＝0 D．b－a与a方向相同 答案　AC 解析　对于A, 因为向量a＝(1，－2)，b＝(－2,4)，所以a＝－b，则a∥b，故A正确； 对于B, 由A知a∥b，所以{a，b}不可以作为一个基底，故B错误； 对于C, 因为向量a＝(1，－2)，b＝(－2,4)，所以2a＋b＝0，故C正确； 对于D，因为向量a＝(1，－2)，b＝(－2,4)，所以b－a＝(－3,6)，则a＝－(b－a)，所以b－a与a方向相反，故D错误． 6．(多选)已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中不正确的是(　　) A．存在实数x，使a∥b B．存在实数x，使(a＋b)∥a C．存在实数x，m，使(ma＋b)∥a D．存在实数x，m，使(ma＋b)∥b 答案　ABC 解析　由向量共线的坐标表示可知A，B，C无实数解；对于D，有x(mx－3)－(－3)×(3m＋x)＝0，即m(x2＋9)＝0，所以m＝0，x∈R，故D正确． 7．已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)，若p＝ma＋nb，则m＋n＝________. 答案　7 解析　由于p＝ma＋nb， 即(9,4)＝(2m，－3m)＋(n,2n)＝(2m＋n，－3m＋2n)， 所以 解得所以m＋n＝7. 8．已知A(2,4)，B(－4,6)，若＝，＝，则的坐标为________． 答案　 解析　设C(x1，y1)，D(x2，y2)， ＝， 则(x1－2，y1－4)＝(－6,2)＝(－9,3)， ∴x1＝－7，y1＝7，即C(－7,7)． ＝， 则(x2＋4，y2－6)＝(6，－2)＝， ∴x2＝4，y2＝，即D， 则＝. 9．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，求m的值，并判断ma＋4b与a－2b是同向还是反向？ 解　ma＋4b＝(2m,3m)＋(－4,8)＝(2m－4,3m＋8)， a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)， 因为ma＋4b与a－2b共线， 所以4(3m＋8)－(－1)×(2m－4)＝0，得m＝－2. 当m＝－2时，ma＋4b＝(－8,2)， 所以ma＋4b＝－2(a－2b)， 所以ma＋4b与a－2b方向相反． 10．已知两点A(3，－4)，B(－9,2)，点P在直线AB上，且||＝||，求点P的坐标． 解　设点P的坐标为(x，y)， ①若点P在线段AB上，则＝， ∴(x－3，y＋4)＝(－9－x,2－y)． 解得x＝－1，y＝－2， ∴P(－1，－2)． ②若点P在线段BA的延长线上， 则＝－， ∴(x－3，y＋4)＝－(－9－x,2－y)． 解得x＝7，y＝－6， ∴P(7，－6)． 综上可得，点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6)． 11．已知向量a＝(－6,1)，b＝(7，－2)，且(a＋mb)∥(3a－b)，则m等于(　　) A. B．－ C. D. － 答案　B 解析　∵向量a＝(－6,1)，b＝(7，－2)， ∴a＋mb＝(－6＋7m,1－2m)，3a－b＝(－25,5)． ∵(a＋mb)∥(3a－b)， ∴5(－6＋7m)－(－25)×(1－2m)＝0， 解得m＝－. 12．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(　　) A．k＝－2 B．k＝ C．k＝1 D．k＝－1 答案　C 解析　因为A，B，C三点不能构成三角形，所以A，B，C三点共线，则∥，又＝－＝(1,2)，＝－＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，即k＝1. 13．(多选)已知λ，μ∈R，＝(λ，1)，＝(－1,1)，＝(1，μ)，那么(　　) A.＋＝(λ－1,1－μ) B．若∥，则λ＝2，μ＝ C．若A是BD的中点，则B，C两点重合 D．若点B，C，D共线，则μ＝1 答案　AC 解析　A选项，＋＝－＋－＝－＝(λ，1)－(1，μ)＝(λ－1,1－μ)，A选项正确； B选项，若∥，则λ·μ＝1，故也可取λ＝3，μ＝，B选项错误； C选项，若A是BD的中点，则＝－， 即(λ，1)＝(－1，－μ)⇒λ＝μ＝－1， 所以＝＝(－1,1)，所以B，C两点重合，C选项正确； D选项，由于B，C，D三点共线，所以∥， ＝－＝(－1,1)－(λ，1)＝(－1－λ，0)， ＝－＝(1，μ)－(λ，1)＝(1－λ，μ－1)， 则(－1－λ)×(μ－1)＝0×(1－λ)⇒λ＝－1或μ＝1， 所以D选项错误． 14．平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC延长至点E，使||＝||，则点E的坐标为________． 答案　 解析　∵＝， ∴A为BC的中点，＝， 设C(xC，yC)，则(xC－2，yC＋1)＝(1，－5)， ∴C点的坐标为(3，－6)， 又||＝||，且点E在DC的延长线上， ∴＝－. 设E(x，y)， 则(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)， 得解得 故点E的坐标是. 15.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，则直线AC与BD的交点P的坐标为________． 答案　 解析　设P(x，y)，则＝(x－1，y)，＝(5,4)，＝(－3,6)，＝(4,0)． 由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ)． 又因为＝－＝(5λ－4,4λ)， 由与共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0. 解得λ＝，所以＝(x－1，y)＝，所以x＝，y＝， 所以点P的坐标为. 16．设向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)，b＝，其中λ，m，α为实数，若a＝2b，求的取值范围． 解　由a＝2b，知 ∴ ∴＝＝2－， ∵cos2α＋2sin α＝－sin2α＋2sin α＋1＝ －(sin α－1)2＋2，－1≤sin α≤1， ∴－2≤cos2α＋2sin α≤2， ∴－2≤λ2－m＝(2m－2)2－m≤2， ∴≤m≤2， ∴－6≤2－≤1， 即－6≤≤1， ∴的取值范围为[－6,1]． 学科网（北京）股份有限公司 $$