6.3.1 平面向量基本定理-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

6.3.1　平面向量基本定理 [学习目标]　1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 导语　 七个音符谱出千支乐曲，二十六个字母写就百态文章！在多种多样的平面向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？ 一、平面向量基本定理 问题1　如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量．请你将向量a按e1，e2的方向分解． 提示　＝e1，＝λ1e1，＝e2，＝λ2e2，＝a＝＋＝λ1e1＋λ2e2. 问题2　上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？ 提示　分解方法唯一．如果a还可以表示成μ1e1＋μ2e2的形式，那么λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，可得(λ1－μ1)e1＋(λ2－μ2)e2＝0，由此式可推出λ1－μ1，λ2－μ2全为0(假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0，不妨假设λ1－μ1≠0，则e1＝－e2.由此可得e1，e2共线，这与已知e1，e2不共线矛盾)，即λ1＝μ1，λ2＝μ2，因此，分解方法是唯一的． 知识梳理　 1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 注意点： (1)同一平面内的基底有无数个，只要两向量不共线即可． (2)当基底确定后，任一向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的． 例1　(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 答案　ACD 解析　选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底． 反思感悟　考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一表示． 跟踪训练1　(多选)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，则下列向量可作为这个平行四边形所在平面内所有向量的一个基底的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 答案　AC 解析　与不共线； ＝－，则与共线； 与不共线； ＝－，则与共线． 由基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成平面内所有向量的一个基底，故AC满足题意. 二、用基底表示向量 例2　如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用{a，b}为基底表示，. 解　因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点， 所以＝＝＝b. ＝＋＋ ＝－－＋ ＝－×b－a＋b＝b－a. 反思感悟　用基底表示向量的一般方法 (1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算． (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量． 跟踪训练2　如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则以{a，b}为基底时，可表示为________，以{a，c}为基底时，可表示为________． 答案　a＋b　2a＋c 解析　以{a，b}为基底时，＝＋＝a＋b； 以{a，c}为基底时，将平移，使点B与点A重合，再由向量加法的三角形法则或平行四边形法则得＝2a＋c. 三、平面向量基本定理的应用 例3　如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝a，＝c. (1)用a，c表示向量； (2)若点F在AC上，且＝a＋c， 求AF∶CF. 解　(1)因为＝－＝c－a，点D是AC的中点， 所以＝＝(c－a)， 因为点E是BD的中点， 所以＝(＋)＝＋＝－a＋(c－a)＝c－a. (2)设＝λ(0<λ<1)， 所以＝＋＝＋λ＝a＋λ(c－a)＝(1－λ)a＋λc. 又＝a＋c，所以λ＝， 所以＝，所以AF∶CF＝4∶1. 反思感悟　(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的． (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决． 跟踪训练3　如图，在▱ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________. 答案　 解析　设＝a，＝b， 则＝＋＝＋＝a＋b， ＝＋＝＋＝a＋b， 又∵＝a＋b，∴＝(＋)， 即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝. 1．知识清单： (1)平面向量基本定理． (2)用基底表示向量． (3)平面向量基本定理的应用． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量． 1．(多选)下列选项中，正确的是(　　) A．基底中的向量可以有零向量 B．一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 C．一个平面内有无数组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 D．平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的 答案　CD 解析　因为零向量与任何向量都共线，所以零向量不可以作为基底；由平面向量基本定理可知，在一个平面内，只要两向量不共线就可以作为该平面内所有向量的基底，并且基底确定后，该平面内关于基底的线性分解形式也随之唯一确定，故A，B不正确，C，D正确． 2.如图，在△ABC中，＝a，＝b，＝3，＝2，则等于(　　) A．－a＋b B.a－b C.a＋b D．－a＋b 答案　D 解析　＝＋＝＋ ＝(－)－＝－＋ ＝－a＋b. 3．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系式是(　　) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 答案　A 解析　由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y， 所以消去λ得x＋y－2＝0. 4．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案　 解析　如图， ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋， 又∵与不共线， ∴λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝－＋＝. 1．若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量的基底的是(　　) A．{e1－e2，e2－e1} B. C．{2e2－3e1,6e1－4e2} D．{e1＋e2，e1＋3e2} 答案　D 解析　选项A中，两个向量为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，e2－e1为共线向量；选项B中，2e1－e2＝2，为共线向量；选项C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，为共线向量．根据不共线的向量可以作为基底，可知只有选项D中的两向量可作为基底． 2.如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于(　　) A.(5e1＋3e2) B.(5e1－3e2) C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1) 答案　A 解析　＝＝(＋)＝(＋) ＝(5e1＋3e2)． 3．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为(　　) A．0,0 B．1,1 C．3,0 D．3,4 答案　D 解析　∵向量e1与e2不共线，且3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2， ∴解得 4．(多选)如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是(　　) A．若存在实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0 B．对平面α内任一向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R C．λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内 D．对于平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对 答案　AB 解析　A正确；B正确，平面内的任一向量都可以用基底表示；C错误，在平面α内任一向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D错误，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是无数对． 5．在△ABC中，＝，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设＝a，＝b，则用a，b表示为(　　) A.(a－b) B.(b－a) C.(a－b) D.(b－a) 答案　D 解析　由题意得＝＝(－)＝(－)＝(b－a)． 6.如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则等于(　　) A. B. C．3 D. 答案　A 解析　由题意可得，＝－＝－， ＝＋＝＋＝＋＝＋， 据此可知λ＝，μ＝， 则＝. 7.如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设＝a，＝b，则＝______.(用a，b表示) 答案　a＋b 解析　＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋＝a＋b. 8．已知向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝______，μ＝______. 答案　　－ 解析　由条件可知解得 9.如图，在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示，. 解　方法一　设AC，BD交于点O(图略)， 则有＝＝＝a， ＝＝＝b. 所以＝＋＝－＝a－b， ＝＋＝a＋b. 方法二　设＝x，＝y， 则＝＝y， 又 所以解得 即＝a－b，＝a＋b. 10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：{a，b}可以作为一个基底； (2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2. (1)证明　假设a＝λb(λ∈R)， 则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)． 由e1，e2不共线，得方程组无解， 所以λ不存在． 故a与b不共线，可以作为一个基底． (2)解　设c＝ma＋nb(m，n∈R)， 则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2) ＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2. 所以解得 所以c＝2a＋b. 11．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则等于(　　) A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b C．λa＋b D.a＋b 答案　D 解析　∵＝λ， ∴－＝λ(－)， ∴(1＋λ)＝＋λ， ∴＝＋＝a＋b. 12.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB的两个三等分点，＝a，＝b，则等于(　　) A．a－b B.a－b C．a＋b D.a＋b 答案　D 解析　连接CD，OD(图略)， ∵点C，D是半圆弧AB的两个三等分点， ∴＝，∴CD∥AB，∠CAD＝∠DAB＝30°， ∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°， ∴∠CAD＝∠ADO＝30°， ∴AC∥DO， ∴四边形ACDO为平行四边形，＝＋. ∵＝＝a，＝b， ∴＝a＋b. 13．(多选)已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是(　　) A．||＝||＝|| B.＋＋＝0 C.＝＋ D．S△MBC＝S△ABC 答案　BD 解析　如图，M为△ABC的重心，则＋＋＝0，A错误，B正确； ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，C错误； 由DM＝AM＝AD得S△MBC＝S△ABC，D正确． 14．已知在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝________. 答案　 解析　＝－＝x－y， 由∥，可设＝λ(λ∈R)， 即x－y＝λ(－) ＝λ＝－＋λ， 所以则＝. 15.如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________. 答案　6 解析　如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作▱OMCN，使得M在射线OA上，N在射线OB上， ∴＝＋，又＝λ＋μ， ∴＝λ，＝μ. 在Rt△OCM中， ∵||＝2， ∠COM＝30°，∠OCM＝90°， ∴||＝2，||＝4，∴＝4， 又||＝||＝2，∴＝2， ∴λ＝4，μ＝2， ∴λ＋μ＝6. 16.如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，BM＝BC，AN＝AB. (1)试用向量a，b来表示，； (2)若AM交DN于点O，求AO∶OM的值． 解　(1)因为AN＝AB， 所以＝＝a， 所以＝－＝a－b. 因为BM＝BC，所以＝＝＝b， 所以＝＋＝a＋b. (2)因为A，O，M三点共线，所以∥， 设＝λ， 则＝－＝λ－＝λ－b ＝λa＋b. 因为D，O，N三点共线， 所以∥，存在实数μ使＝μ， 则λa＋b＝μ. 由于向量a，b不共线，则 解得 所以＝，＝， 所以AO∶OM＝3∶11. 学科网（北京）股份有限公司 $$