6.3 习题课 平面向量数量积的综合应用-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

习题课　平面向量数量积的综合应用 向量的数量积运算、向量的垂直是考查的热点，平面向量数量积的计算，向量垂直的条件与数量积的性质常以客观题形式考查．解答题以向量为载体，常与三角函数交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查，培养数学运算、直观想象等核心素养． 一、平面向量数量积的计算 例1　如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________. 答案　12 解析　因为·＝2·， 所以·－·＝·， 所以·＝·. 因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝， 所以2||＝||||cos ， 化简得||＝2. 故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos ＝12. 反思感悟　平面向量数量积的运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ为非零向量a，b的夹角)． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)选择合适的基底，转化为基底去解决问题． 提醒：解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补． 跟踪训练1　在△ABC中，已知与的夹角是90°，||＝2，||＝1，M是BC上的一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且·＝0，则的值为________． 答案　 解析　根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)， 所以＝(0,2)，＝(1,0)，＝(1，－2)． 设M(x，y)，则＝(x，y)， 所以·＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0， 所以x＝2y， 又＝λ＋μ， 即(x，y)＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)， 所以x＝μ，y＝2λ，所以＝＝. 二、平面向量数量积的应用 角度1　求模 例2　已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝______. 答案　2 解析　因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b， 所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2a·b＋b2) ＝4×＝4， 则||＝2. 角度2　求夹角 例3　已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝________. 答案　－ 解析　因为2＝，所以E为BC的中点． 设正方形的边长为2，则||＝，||＝2， ·＝·(－) ＝||2－||2＋· ＝×22－22＝－2， 所以cos θ＝＝＝－. 角度3　垂直问题 例4　已知O为坐标原点，＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)，则在线段OC上是否存在点M，使得⊥？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解　假设存在点M，且＝λ＝(6λ，3λ)(0≤λ≤1)，使得⊥. 则＝(2－6λ，5－3λ)，＝(3－6λ，1－3λ)， 且·＝0， 所以(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0， 即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝或λ＝， ∴＝(2,1)或＝， ∴存在M(2,1)或M满足题意． 反思感悟　(1)求向量的模的方法 ①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，然后求解． (2)求平面向量的夹角的方法 ①定义法：由向量数量积的定义知，cos θ＝，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系； ②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝. (3)两向量垂直的应用 a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)． 跟踪训练2　(1)(多选)已知向量a＋b＝(1,1)，a－b＝(－3,1)，c＝(1,1)，设a，b的夹角为θ，则(　　) A．|a|＝|b| B．a⊥c C．b∥c D．θ＝135° 答案　BD 解析　根据题意知，a＋b＝(1,1)，a－b＝(－3,1)， 则a＝(－1,1)，b＝(2,0)， 对于A，|a|＝，|b|＝2，则|a|＝|b|不成立，A错误； 对于B，a＝(－1,1)，c＝(1,1)，则a·c＝0，即a⊥c，B正确； 对于C，b＝(2,0)，c＝(1,1)，b∥c不成立，C错误； 对于D，a＝(－1,1)，b＝(2,0)，则a·b＝－2，|a|＝，|b|＝2，则cos θ＝＝－，又0°≤θ≤180°，则θ＝135°，D正确． (2)(多选)已知向量a＝(1,2)，b＝(m,1)(m<0)，且向量b满足b·(a＋b)＝3，则(　　) A．|b|＝ B．(2a＋b)∥(a＋2b) C．向量2a－b与a－2b的夹角为 D．向量a在向量b上的投影向量的模为 答案　AC 解析　将a＝(1,2)，b＝(m,1)代入b·(a＋b)＝3，得(m,1)·(1＋m,3)＝3，得m2＋m＝0，解得m＝－1或m＝0(舍去)，所以b＝(－1,1)，所以|b|＝＝，故A正确； 因为2a＋b＝(1,5)，a＋2b＝(－1,4)，1×4－(－1)×5＝9≠0，所以2a＋b与a＋2b不平行，故B错误； 设向量2a－b与a－2b的夹角为θ，因为2a－b＝(3,3)，a－2b＝(3,0)，所以cos θ＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故C正确； 向量a在向量b上的投影向量的模为＝＝，故D错误． 三、平面向量的数量积与三角函数的综合问题 例5　已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]，若f(x)＝a·b，求f(x)的最值． 解　f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x＝2cos. 因为x∈[0，π]，所以x＋∈， 从而－1≤cos≤，－2≤f(x)≤3. 于是，当x＋＝， 即x＝0时，f(x)取得最大值3； 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值－2. 反思感悟　平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，先运用向量相关知识，得到三角函数的关系式，然后求解． (2)当给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式时，其解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求解． 跟踪训练3　已知向量m＝(sin α－2，－cos α)，n＝(－sin α，cos α)，其中α∈R. (1)若m⊥n，求α； (2)若|m－n|＝，求cos 2α的值． 解　(1)若m⊥n，则m·n＝0， 即－sin α(sin α－2)－cos2α＝0， 解得sin α＝，可得α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z. (2)若|m－n|＝，则(m－n)2＝2， 即(2sin α－2)2＋(－2cos α)2＝2， 即4sin2α＋4－8sin α＋4cos2α＝2， 即8－8sin α＝2，可得sin α＝， 所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－. 1．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c等于(　　) A．12 B．0 C．－3 D．－11 答案　C 解析　∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)， ∴a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3. 2．已知向量a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　C 解析　∵a＝(4,3)，∴2a＝(8,6)． 又2a＋b＝(3,18)， ∴b＝(－5,12)，∴a·b＝－20＋36＝16. 又∵|a|＝5，|b|＝13， ∴cos〈a，b〉＝＝＝. 3．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，b方向上的单位向量为e.则a在b上的投影向量为(　　) A.e B.e C.e D.e 答案　A 解析　设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，所以a在b上的投影向量为|a|cos θe＝×e＝e. 4．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)．若c＝a－(a·b)b，则|c|等于(　　) A．4 B．2 C．8 D．8 答案　D 解析　因为a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c|＝＝8. 5．在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则·等于(　　) A. B．6 C．12 D．18 答案　D 解析　如图，过点O作OD⊥AB于点D， 可知AD＝AB＝3， 则·＝(＋)·＝·＋·＝3×6＋0＝18. 6．向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，当向量a＋2b与2a－b平行时，a·b等于(　　) A. B．2 C．1 D. 答案　A 解析　∵a＋2b＝(1＋2x,4)，2a－b＝(2－x,3)，a＋2b与2a－b平行， ∴3(1＋2x)＝4(2－x)， ∴x＝. ∴a·b＝(1,2)·＝1×＋2×1＝. 7．已知向量a＝(2,3)，b＝(－3,4)，则向量a在b上的投影向量为________(结果用坐标表示)． 答案　 解析　由题意，向量a＝(2,3)，b＝(－3,4)，可得a·b＝6，|b|＝5，b方向上的单位向量e＝， 设向量a，b的夹角为θ，所以向量a在b上的投影向量为|a|·cos θ·e＝·＝·＝. 8．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝.若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角的大小为________． 答案　120° 解析　设a与c的夹角为θ， 由a＋b＝(－1，－2)＝－a，|a|＝， 得cos θ＝＝＝＝－. ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 9．已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10. (1)求a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c. 解　(1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)， 则a·b＝λ＋4λ＝10， ∴λ＝2，∴a＝(2,4)． (2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10， ∴a(b·c)＝0·a＝0， (a·b)c＝10·(2，－1)＝(20，－10)． 10.如图，已知A(1,1)，B(5,4)，C(2,5)，设向量a是与向量垂直的单位向量． (1)求单位向量a的坐标； (2)求向量在单位向量a上的投影向量的模； (3)求△ABC的面积S△ABC. 解　(1)设a＝(x，y)， 依题意有＝(4,3)，||＝5，|a|＝1， 且a⊥，即a·＝0， 所以 解得或 所以a＝或a＝. (2)设向量与单位向量a的夹角为θ，在单位向量a上的投影向量为h， 则|h|＝|||cos θ|＝＝|·a|. 又因为＝(1,4)，所以 当a＝时，|h|＝＝； 当a＝时，|h|＝＝. 所以向量在单位向量a上的投影向量的模为. (3)S△ABC＝|||h|＝×5×＝. 11．已知点A(，1)，B(0,0)，C(，0)，设∠BAC的角平分线AE与BC相交于点E，那么有＝λ，其中λ等于(　　) A．2 B. C．－3 D．－ 答案　C 解析　以点B为坐标原点，BC，BC的垂线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示． 由题意知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝， ∴＝3，∴＝－3，即λ＝－3. 12.设A(a,1)，B(2，b)，C(4,5)为坐标平面上的三点，O为坐标原点．若在上的投影向量与在上的投影向量相等，则a与b满足的关系式为(　　) A．4a－5b＝3 B．5a－4b＝3 C．4a＋5b＝14 D．5a＋4b＝14 答案　A 解析　由题图知，要使在上的投影向量与在上的投影向量相等，只需使⊥，即(2－a，b－1)·(4,5)＝0，得4a－5b－3＝0，即4a－5b＝3. 13．(多选)点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有(　　) A．若＋＋＝0，则点O为△ABC的重心 B．若2＝2＝2，则点O为△ABC的垂心 C．若(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0，则点O为△ABC的外心 D．若·＝·＝·，则点O为△ABC的内心 答案　AC 解析　对于A，设边BC，AC，AB的中点分别为D，E，F， ＋＝2，则＋2＝0，所以＝－2，所以A，O，D三点共线，即点O在中线AD上，同理点O在中线BE，CF上， 则点O是△ABC的重心，故A正确； 对于B，若2＝2＝2，则||2＝||2＝||2，所以||＝||＝||， 所以点O为△ABC的外心，故B错误； 对于C，设边AB，BC，CA的中点分别为点D，E，F，则(＋)·＝2·＝0，所以OD为线段AB的垂直平分线， 同理OE，OF分别为线段BC，CA的垂直平分线，所以点O是△ABC的外心，故C正确； 对于D，由已知，·－·＝·(－)＝·＝0， 即OB⊥CA，也即点O在边AC的高上；同理，点O也在边AB，BC的高上， 所以点O是△ABC的垂心，故D错误． 14．在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则||＝________. 答案　 解析　如图，以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 则A(0,0)，B(0，)，C(3，)，D(3,0)，＝(3，)， 设＝λ(λ∈R)， 则点E的坐标为(3λ，λ)， 故＝(3λ，λ－)． 因为BE⊥AC，所以·＝0， 即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝， 所以E. 故＝， 则||＝＝. 15．已知菱形ABCD，AC＝2，BD＝4，且＝2，则∠DEC的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　在菱形ABCD中，设BD，AC交于点O，分别以BD，AC所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系． 由AC＝2，BD＝4， 得A(0,1)，B(－2,0)，C(0，－1)，D(2,0)， 因为＝2，则点B为线段AE的中点， 所以E(－4，－1)， 则＝(6,1)，＝(4,0)， 所以cos∠DEC＝＝ ＝. 16．已知向量a＝，b＝，且x∈. (1)求a·b及|a＋b|； (2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值． 解　(1)a·b＝cos cos －sin sin ＝cos＝cos 2x， |a＋b|＝ ＝ ＝＝2， 因为x∈，所以cos x≥0， 所以|a＋b|＝2cos x. (2)由(1)，可得f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos 2x－4λcos x， 即f(x)＝2cos2x－1－4λcos x ＝2(cos x－λ)2－1－2λ2. 因为x∈，所以0≤cos x≤1. ①当λ<0时，当且仅当cos x＝0时， f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾； ②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2， 由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝； ③当λ>1时，当且仅当cos x＝1时，f(x)取得最小值1－4λ， 由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ>1相矛盾． 综上所述，λ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$