6.2.4 向量的数量积(1)-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

6.2.4　向量的数量积(一) [学习目标]　1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握向量数量积的定义及投影向量.3.会计算平面向量的数量积． 导语　 如图所示，一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos α.表明功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积． 我们知道W(功)是数量，F(力)是向量，s(位移)是向量，α是数量． 这就给我们一种启示：能否把功W看成两个向量F与s的一种运算结果呢？为此我们引入向量数量积，今天，我们就来学习向量的数量积． 一、两向量的夹角 问题　在功的公式W＝|F||s|cos θ中，θ是谁与谁的夹角？ 提示　θ是向量F与向量s的夹角． 知识梳理　 1.夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角，也可以记作〈a，b〉． 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向． 2．垂直：如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 注意点： 两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角． 例1　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 解　如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°. 以，为邻边作平行四边形OACB， 则＝a＋b，＝a－b. 因为|a|＝|b|＝2， 所以平行四边形OACB是菱形， 又∠AOB＝60°， 所以与的夹角为30°，与的夹角为60°. 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. 反思感悟　(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． (2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ. 跟踪训练1　在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　C 解析　如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即与的夹角是120°. 二、两向量的数量积 知识梳理　 1．已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. (5)cos θ＝. 注意点： (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写． (2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. (3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量． (4)|a|＝是求向量的长度的工具． (5)区分0·a＝0与0·a＝0. (6)a·b>0是a与b的夹角为锐角的必要不充分条件；a·b<0是a与b的夹角为钝角的必要不充分条件． 例2　已知正△ABC的边长为1，求： (1)·；(2)·；(3)·. 解　(1)∵与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. (2)∵与的夹角为120°， ∴·＝||||cos 120°＝1×1×＝－. (3)∵与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. 反思感悟　定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 跟踪训练2　(1)在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝4，则·＝________，·＝______，·＝________. 答案　0　－16　－16 解析　由题意，得||＝4，||＝4，||＝4， 所以·＝4×4×cos 90°＝0，·＝4×4×cos 135°＝－16，·＝4×4×cos 135°＝－16. (2)设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为________． 答案　 解析　设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 三、投影向量 知识梳理　 1.如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量． 2.如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θe. 注意点： (1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量． (2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性． (3)由定义可知，投影是一个过程，而投影向量是一个结果． 例3　已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e. (1)求a·b； (2)求a在b上的投影向量． 解　(1)a·b＝|a||b|cos θ ＝5×4×cos 120°＝－10. (2)a在b上的投影向量为|a|cos θe＝e＝－e＝－e. 反思感悟　任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θe(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量)． 跟踪训练3　(1)已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影向量的模是________． 答案　1 解析　已知向量a，b的夹角θ＝60°， 故b在a上的投影向量的模为|b|cos θ＝2cos 60°＝2×＝1. (2)已知a·b＝16，e为与b方向相同的单位向量．若a在b上的投影向量为4e，则|b|＝________. 答案　4 解析　设a与b的夹角为θ， 则a·b＝|a||b|cos θ＝16， 又∵a在b上的投影向量为4e， ∴|a|cos θe＝4e， ∴|a|cos θ＝4，∴|b|＝4. 1．知识清单： (1)向量的夹角． (2)向量数量积的定义． (3)投影向量． (4)向量数量积的性质． 2．方法归纳：数形结合法． 3．常见误区：向量夹角共起点；a·b>0⇏两向量夹角为锐角，a·b<0⇏两向量夹角为钝角． 1．已知在▱ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　C 解析　如图，∠DAB＝60°，则与的夹角为∠ABC＝120°. 2．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　　) A．3 B．－3 C．－3 D．3 答案　B 解析　由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×＝－3. 3．已知正方形ABCD的边长为2，则·的值等于(　　) A．4 B．－4 C．－2 D．2 答案　A 解析　∵||＝2，||＝2，∠BAC＝45°， ∴·＝||||cos∠BAC ＝2×2×＝4. 4．已知|a|＝2，且a与b的夹角为60°，所以与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为____________． 答案　e 解析　因为a与b的夹角为60°，所以a在b上的投影向量为|a|cos 60°e＝2×e＝e. 1．若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为135°，则a·b等于(　　) A．－3 B．－6 C．6 D．2 答案　B 解析　a·b＝|a||b|cos 135°＝3×4×＝－6. 2．在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是(　　) A．直角梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 答案　C 解析　由·＝0，知AB⊥BC.由＝，知BC綉AD，所以四边形ABCD是矩形． 3.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角．则当小车向前运动10 m时，力F做的功为(　　) A．100 J B．50 J C．50 J D．200 J 答案　B 解析　由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10×cos 60°＝50(J)． 4．(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中不正确的是(　　) A．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B．向量a与向量b夹角的范围是[0，π) C．若a⊥b，则a·b＝0 D．|a|＝ 答案　AB 解析　a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误； 向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误； 由数量积的性质知，C正确； 因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2， 所以|a|＝，所以D正确． 5．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　A 解析　a·b＝·＝－· ＝－||·||cos 60°＝－. 同理b·c＝－，c·a＝－， ∴a·b＋b·c＋c·a＝－. 6．已知|b|＝3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为(　　) A．3 B. C．2 D. 答案　B 解析　设a与b的夹角为θ， ∵|a|cos θ＝b， ∴|a|cos θ＝， ∴|a|cos θ＝， ∴a·b＝|a||b|cos θ＝3×＝. 7．已知向量a，b均为单位向量，a·b＝，则a与b的夹角为________． 答案　 解析　设a与b的夹角为θ， 由题意知|a|＝|b|＝1， 则cos θ＝＝， 又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 8．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________． 答案　b 解析　设a与b的夹角为θ， ∵a·b＝|a||b|cos θ＝12，又|b|＝5， ∴|a|cos θ＝，＝， 即a在b上的投影向量为b. 9．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，e为与b同向的单位向量． (1)求a与b的夹角θ； (2)求a在b上的投影向量． 解　(1)由a·b＝|a||b|cos θ， 得cos θ＝＝＝－. ∴θ＝120°. (2)a在b上的投影向量为 |a|cos θe＝e＝－e. 10.如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y. (1)若＝，求x，y的值； (2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值． 解　(1)若＝，则＝＋， 故x＝y＝. (2)因为||＝4，||＝2，∠BOA＝60°， 所以∠OBA＝90°， 所以||＝2. 又因为＝3， 所以||＝. 所以||＝＝，cos∠OPB＝. 设与的夹角为θ， 所以与的夹角θ的余弦值为－. 所以·＝||||cos θ＝－3. 11．(多选)下列说法正确的是(　　) A．向量a在向量b上的投影向量可表示为· B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是 C．若△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，则，的夹角为45° D．若a·b＝0，则a⊥b 答案　AB 解析　对于选项A，根据投影向量的定义，知A正确；对于选项B，∵a·b＝|a||b|cos θ<0，则cos θ<0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈，故B正确；对于选项C，若△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，则，的夹角为135°，故C错误；对于选项D，a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，故D错误． 12．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于(　　) A．－7 B．7 C．25 D．－25 答案　D 解析　由题意知∠ABC＝90°， 所以原式＝0＋4×5cos(180°－C)＋5×3cos(180°－A) ＝－20cos C－15cos A ＝－20×－15×＝－16－9＝－25. 13．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　) A．8 B．－8 C．8或－8 D．6 答案　A 解析　cos θ＝＝＝－， ∵θ∈[0，π]， ∴sin θ＝. ∴|a×b|＝2×5×＝8. 14．在△ABC中，＋＝0，·＝，则△ABC为(　　) A．直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰非等边三角形 答案　C 解析　∵在△ABC中，A，B，C∈(0，π)， ＋＝0， ·＝， ∴＋＝0， 即||cos A－||cos C＝0， ∴cos A＝cos C，∴A＝C. ∵·＝||||cos B ＝||||， ∴cos B＝，∴B＝， ∴△ABC为等边三角形． 15．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________． 答案　90° 解析　由题意可画出图形，如图所示，在△OAB中， 因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|， 所以∠ABO＝30°， OA⊥OB， 即向量a与c的夹角为90°. 16.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. (1)若点D是线段OB上靠近点O的四等分点，用，表示向量； (2)求·的取值范围． 解　(1)由已知可得＝，连接MA，MB(图略)， 四边形OAMB是菱形，则＝＋， 所以＝－＝－(＋) ＝－－. (2)易知∠DMC＝60°，且||＝||， 那么只需求MC的最大值与最小值即可． 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝， 则·＝××cos 60°＝. 当MC与MO(或MA)重合时，MC最大，此时MC＝1， 则·＝cos 60°＝. 所以·的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$