6.2.3 向量的数乘运算-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

6.2.3　向量的数乘运算 [学习目标]　1.了解向量数乘的概念.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法． 导语　 一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它向东运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？这就是我们今天要学到的数乘运算． 一、向量的数乘运算 问题1　如图，已知非零向量a作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)．它们的长度和方向分别是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样的？ 　 提示　＝＋＋＝a＋a＋a＝3a. ＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a. 显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍；－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍． 知识梳理　 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. 2λaa≠0的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0. 当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 注意点： (1)数乘向量仍是向量． (2)实数λ与向量不能相加． 例1　(多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的命题是(　　) A．当λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反 B．当λ＝0时，λa与a是共线向量 C．|λa|＝λ|a| D．当λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同 答案　ABD 解析　根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定，易知A正确；对于B，当λ＝0时，λa＝0,0与a是共线向量，故B正确；对于D，由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa与a同向，或者都是与a反向，所以λa与μa是同向的，故D正确；对于C，|λa|＝|λ||a|，C错误． 反思感悟　λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模． 跟踪训练1　已知非零向量a，b满足a＝4b，则(　　) A．|a|＝|b| B．4|a|＝|b| C．a与b的方向相同 D．a与b的方向相反 答案　C 解析　∵a＝4b,4>0， ∴|a|＝4|b|. ∵4b与b的方向相同， ∴a与b的方向相同． 二、向量的线性运算 知识梳理　 1．数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 例2　(1)若a＝2b＋c，则化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于(　　) A．－a B．－b C．－c D．c 答案　C 解析　原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b ＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c. (2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________. 答案　4b－3a 解析　由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0， 所以x＋3a－4b＝0， 所以x＝4b－3a. 反思感悟　向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 跟踪训练2　计算：(a＋b)－3(a－b)－8a. 解　(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b. 三、用已知向量表示其他向量 例3　如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则等于(　　) A.a－b B.a＋b C．a＋b D．a－b 答案　D 解析　因为E是BC的中点， 所以＝＝－＝－b， 所以＝＋＝＋＝a－b. 反思感悟　用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中，然后利用向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量． (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 跟踪训练3　在△ABC中，若点D满足＝2，则等于(　　) A.＋ B.－ C.－ D.＋ 答案　D 解析　示意图如图所示， 由题意可得＝＋＝＋＝＋(－) ＝＋. 四、向量共线定理 问题2　如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共线？反过来，若向量b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b＝λa(a≠0)? 提示　共线，存在． 知识梳理　 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 注意点： (1)向量共线定理中规定a≠0. (2)λ的值是唯一存在的． 例4　设a，b是不共线的两个向量． (1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b， 求证：A，B，C三点共线； (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值． (1)证明　∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b， 而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2， ∴与共线，且有公共点B， ∴A，B，C三点共线． (2)解　∵8a＋kb与ka＋2b共线， ∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)， 即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0， ∵a与b不共线，∴ 解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4. 延伸探究　若A，B，C三点共线，O为直线外一点，且＝x＋y，求证：x＋y＝1. 证明　∵A，B，C三点共线， ∴存在实数λ，使得＝λ， 即－＝λ(－)， ∴＝(1＋λ)－λ， 又＝x＋y， 则x＝1＋λ，y＝－λ， ∴x＋y＝1. 反思感悟　(1)证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数对应相等求解． 跟踪训练4　已知向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，则共线的三个点是________． 答案　A，B，D 解析　∵＝e1＋2e2， ＝＋ ＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2， ∴，共线，且有公共点B， ∴A，B，D三点共线． 1．知识清单： (1)向量的数乘及运算律． (2)向量共线定理． (3)三点共线的常用结论． 2．方法归纳：数形结合法、分类讨论法． 3．常见误区：忽视零向量这一个特殊向量． 1．已知a＝4d，b＝5d，c＝－3d，则2a－3b＋c等于(　　) A．10d B．－10d C．20d D．－20d 答案　B 解析　2a－3b＋c＝2(4d)－3(5d)－3d＝8d－15d－3d＝－10d. 2．(多选)下列运算正确的是(　　) A．(－3)·2a＝－6a B．2(a＋b)－(2b－a)＝3a C．(a＋2b)－(2b＋a)＝0 D．2(3a－b)＝6a－2b 答案　ABD 解析　根据向量数乘运算和加减运算规律知A，B，D正确；C中，(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以该运算错误． 3．如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，那么向量＋等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　在矩形ABCD中，AB綉CD，故＝，又∵E为CD的中点，∴＋＝＋＝＋＝. 4．设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k＝______. 答案　－ 解析　因为A，B，D三点共线， 故存在一个实数λ，使得＝λ， 又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2， 所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2) ＝(3－k)e1－(2k＋1)e2， 所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2， 所以 解得k＝－. 1．下列说法中正确的是(　　) A．λa与a的方向不是相同就是相反 B．若a，b共线，则存在实数λ，使b＝λa C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a D．若b＝±2a，则|b|＝2|a| 答案　D 2．(多选)下列各式计算正确的有(　　) A．(－7)6a＝－42a B．7(a＋b)－8b＝7a＋15b C．a－2b＋a＋2b＝2a D．4(2a＋b)＝8a＋4b 答案　ACD 解析　ACD正确，B错，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b. 3．(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列说法中正确的是(　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n 答案　AB 解析　由向量数乘的运算律知A，B正确；C中，当m＝0时，ma＝mb，但a不一定等于b，故错误；D中，当a＝0时等式成立，但m不一定等于n，故错误． 4．(多选)下列各组向量中，一定能推出a∥b的是(　　) A．a＝－3e，b＝2e B．a＝－e，b＝e C．a＝e1－e2，b＝－e1 D．a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋ 答案　ABC 解析　A中，a＝－b，所以a∥b； B中，a＝－b，所以a∥b； C中，b＝－e1＝＝－a，所以a∥b； D中，b＝＝(e1＋e2)，若e1与e2共线，则a与b共线，若e1与e2不共线，则a与b不共线． 5．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则k等于(　　) A．0 B．1 C．2 D. 答案　D 解析　∵向量m与向量n共线， ∴设m＝λn(λ∈R)， ∴－e1＋ke2＝λe2－2λe1， ∵e1与e2不共线， ∴　∴ 6.如图，向量，，的终点在同一直线上，且＝－3，设＝p，＝q，＝r，则下列等式中成立的是(　　) A．r＝－p＋q B．r＝－p＋2q C．r＝p－q D．r＝－q＋2p 答案　A 解析　由＝－3，＝p，＝q，＝r， 得r－p＝－3(q－r)，∴r＝－p＋q. 7．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________． 答案　± 解析　由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|. ∵|a|＝3，|b|＝5，∴|λ|＝，即λ＝±. 8.如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则＝________.(用，表示) 答案　－ 解析　利用向量的三角形法则，可得＝－，＝＋， ∵E为BC的中点，F为AE的中点， ∴＝，＝， ∴＝－＝－＝(＋)－＝＋－. 又∵＝， ∴＝－. 9．计算： (1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)； (2)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)． 解　(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b. (2)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c ＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c) ＝6a＋2b. 10．设两个非零向量a与b不共线． (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb反向共线． (1)证明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)． ∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b) ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5. ∴，共线，且有公共点B， ∴A，B，D三点共线． (2)解　∵ka＋b与a＋kb反向共线， ∴存在实数λ(λ<0)， 使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb， ∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a，b是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0， ∴(舍去)或∴k＝－1. 11．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＝×2＝. 12．已知在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD为(　　) A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 答案　A 解析　∵＝a＋2b，＝－5a－3b， ∴与不共线， ∵＝＋＋ ＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b) ＝－8a－2b＝2(－4a－b)， ∴＝2. ∴与共线，且||＝2||. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD∥BC，且AD＝2BC. ∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形． 13．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝＋λ，则λ等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　方法一　由题意设＝＋m， ＝＋m(－)， ＝(1－m)＋m， 1－m＝， ∴m＝λ＝. 方法二　由A，B，D三点共线可知，＋λ＝1， ∴λ＝. 14．已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________. 答案　3 解析　方法一　∵＋＋＝0， ∴点M是△ABC的重心． ∴＋＝3，∴m＝3. 方法二　在△ABC中，＝－， ＝－， 若＋＝m成立，则 (－)＋(－)＝m成立， 整理得，＋＋(m－2)＝0， 由已知可得，m－2＝1，即m＝3. 15.如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，＝2，若＝x＋y，则3x＋6y等于(　　) A. B．－ C．－6 D．6 答案　D 解析　＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋－＝＋. ∵＝x＋y，∴x＋y＝＋， ∴＝， 又与不共线， ∴x－＝0且－y＝0，故x＝，y＝. ∴3x＋6y＝6. 16．设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论． 解　b与a＋c共线．证明如下： ∵a＋b与c共线， ∴存在唯一的实数λ，使得a＋b＝λc.① ∵b＋c与a共线， ∴存在唯一的实数μ，使得b＋c＝μa.② 由①－②得，a－c＝λc－μa. ∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c. 又∵a与c不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0， ∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c， 即a＋b＋c＝0.∴a＋c＝－b. 故b与a＋c共线． 学科网（北京）股份有限公司 $$