6.1 平面向量的概念-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

[学习目标]　1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别.3.理解零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念． 导语　 请同学们阅读课本第6页阅读与思考(大约3分钟)，同学们，从向量的发展史来看，向量的出现对解决平面几何问题有重大的意义，尤其到现在在数学、物理、计算机科学等方面的应用非常广泛，对于我们数学来说，主要是作为一种工具，用来解决平面几何和空间几何问题，物理中我们也了解了矢量与标量之分，大家知道在计算机科学方面有哪些应用吗？比如说对于大家手机中的某款APP，打开后，所显示的内容稍有不同，这是因为大家兴趣、爱好等方面的不同，后台会有不同的推送，这就是向量在大数据中的应用． 一、向量的概念及几何表示 问题1　在物理中，我们学习过位移、速度和力，这些物理量与我们日常生活中的面积、质量等有什么区别？ 提示　面积、质量只有大小没有方向，而位移、速度和力既有大小又有方向． 知识梳理　 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量． 2．向量的表示 (1)有向线段 具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度． 以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||. (2)向量的表示 ①几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||. ②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，)． 注意点： (1)书写向量时带箭头． (2)向量强调长度和方向两个元素． (3)有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素．每一个有向线段对应一个向量，每一个向量对应无数个有向线段． (4)向量不能比较大小，它的模可以比较大小． 例1　某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方向走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D.试分别作出向量，和. 解　根据题意，在平面内任取一点为A，按照题意要求方向，作线段＝4，＝6，＝4， 则向量，和如图所示． 反思感悟　作向量的方法 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． 跟踪训练1　在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量． (1)＝3，点A在点O北偏西45°方向； (2)＝2，点B在点O正南方向． 解　(1)∵＝3，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点． (2)∵＝2＝，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径作圆，圆弧与OR的交点即为B点． 二、零向量和单位向量 知识梳理　 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 注意点： (1)零向量不能说没有方向，它的方向是任意的． (2)单位向量有无数个，它们大小相等，方向不一定相同． 例2　(多选)下列说法中，正确的是(　　) A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量的长度都为0 C．单位向量方向相同 D．单位向量的长度都相等 答案　BD 解析　对于AB，零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误，B正确； 对于C，D，单位向量是长度等于1个单位长度的向量，方向不一定相同，故C错误，D正确． 反思感悟　解决向量有关的概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 跟踪训练2　下列说法中正确的是(　　) A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 答案　C 解析　零向量的模为0，故A不正确；长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，不止一个，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确． 三、相等向量与共线向量 问题2　如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，向量与有什么关系？ 提示　大小相等，方向相同． 问题3　如图所示，在梯形ABCD中，向量与有什么关系？ 提示　大小不等，方向相同． 知识梳理　 平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量；向量a与b平行，记作a∥b 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a与b相等，记作a＝b 注意点： 在考查两向量平行或共线时，首先要考虑零向量的可能性． 例3　如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点． (1)写出与共线的向量； (2)写出模与的模相等的向量； (3)写出与相等的向量． 解　(1)因为E，F分别是AC，AB的中点， 所以EF∥BC，EF＝BC. 又因为D是BC的中点， 所以与共线的向量有，，，，，，. (2)模与的模相等的向量有，，，，. (3)与相等的向量有，. 反思感悟　相等向量与共线向量的探求方法 (1)相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． (2)共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． 跟踪训练3　如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形． (1)与向量相等的向量为________； (2)若||＝3，则||＝________. 答案　(1)，　(2)6 解析　(1)在▱ABCD和▱ABDE中， ∵＝，＝， ∴＝. (2)由(1)知，＝， ∴E，D，C三点共线，||＝||＋||＝2||＝6. 1.知识清单： (1)向量的概念及表示． (2)向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量)． 2．方法归纳：数形结合法． 3．常见误区：零向量和单位向量的方向容易混淆． 1．(多选)给出下列物理量，其中是向量的是(　　) A．质量 B．速度 C．加速度 D．功 答案　BC 解析　速度、加速度既有大小，又有方向，是向量；质量、功只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量． 2．若＝，则四边形ABCD的形状为(　　) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 答案　A 解析　因为＝， 所以BA＝CD且BA∥CD， 所以四边形ABCD为平行四边形． 3．(多选)下列说法错误的为(　　) A．共线的两个单位向量相等 B．相等向量的起点相同 C．若∥，则一定有直线AB∥CD D．若向量，共线，则点A，B，C必在同一直线上 答案　ABC 解析　A错，共线的两个单位向量的方向可能相反；B错，相等向量的起点和终点都可能不相同；C错，直线AB与CD可能重合；D正确，AB与BC平行且有公共点B，则A，B，C三点共线． 4．(多选)如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有(　　) A.＝ B.∥ C.与共线 D.＝ 答案　ABC 解析　∵与方向相同，长度相等，∴A正确； ∵A，O，C三点在一条直线上， ∴∥，B正确； ∵AB∥CD，∴与共线，C正确； ∵与方向不同，∴二者不相等，D错误． 1．下列命题中正确的有(　　) A．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 B．共线的向量，若起点不同，则终点一定不同 C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D．若|a|>|b|，则a>b 答案　C 解析　温度没有方向，所以不是向量，故A错；由共线向量的定义可知，共线的向量，起点不同，终点可能相同，故B错；向量不可以比较大小，故D错；若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故若a与b不共线，则应均为非零向量，故C对． 2.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是(　　) A.＝ B．||＝|| C.> D.< 答案　B 解析　||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等． 3．在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，那么这些向量的终点形成的图形是(　　) A．单位圆 B．一段弧 C．线段 D．直线 答案　A 4．(多选)下列能使a∥b成立的是(　　) A．a＝b B．|a|＝|b| C．a与b方向相反 D．|a|＝0或|b|＝0 答案　ACD 5．设O是△ABC的外心，则，，是(　　) A．相等向量 B．模相等的向量 C．平行向量 D．起点相同的向量 答案　B 解析　因为O是△ABC的外心，所以||＝||＝||. 6.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是(　　) A．与相等的向量只有1个(不含) B．与的模相等的向量有9个(不含) C.的模恰为的模的倍 D.与不共线 答案　ABC 解析　由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，因此选项A，B正确； 而在Rt△AOD中， 因为∠ADO＝30°，所以||＝||， 故||＝||，因此选项C正确；由于＝，因此与共线，因此选项D不正确． 7.如图，是某人行走的路线，那么的几何意义是某人从A点沿西偏南________方向行走了________ km. 答案　60°　2 解析　由已知图形可知，的几何意义是从A点沿西偏南60°方向行走了2 km. 8．在四边形ABCD中，若＝且||＝||，则四边形的形状为________． 答案　菱形 解析　∵＝，∴AB＝DC，AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵||＝||，∴四边形ABCD是菱形． 9.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心． (1)与的模相等的向量有多少个？ (2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与共线的向量有几个？ 解　(1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个． (2)存在．由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个． (3)由(2)知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个． 10.如图所示，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝，求证：＝. 证明　∵＝，∴AB＝DC且AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴＝，即CB＝DA， 又＝，∴CN＝MA，CN∥MA， ∴四边形CNAM是平行四边形， ∴＝，∴CM＝NA，CM∥NA. ∵CB＝DA，∴MB＝DN. 又DN∥MB，∴与的模相等且方向相同， ∴＝. 11．(多选)下列说法正确的有(　　) A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若a＝b，b＝c，则a＝c C．若a∥b，则a与b的方向相同或相反 D．若，共线，则A，B，C三点共线 答案　BD 解析　对于A选项，若b＝0，a，c均为非零向量，则a∥b，b∥c成立，但a∥c不一定成立，A错； 对于B选项，若a＝b，b＝c，则a＝c，B对； 对于C选项，若b＝0，a≠0，则b的方向任意，C错； 对于D选项，若，共线且AB，BC共点B，则A，B，C三点共线，D对． 12.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，||＝2，则||等于(　　) A．1 B. C. D．2 答案　A 解析　由||＝||，得∠ABC＝∠OCB＝30°，又∠ACB＝90°， 则||＝||＝×2＝1. 13．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________. 答案　0 解析　与不共线，零向量的方向是任意的，它与任意向量平行，所以唯有零向量才能同时与两个不共线向量平行． 14.设O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中，与共线的向量为__________；与的模相等的向量为___________． 答案　，，，，，，，，　，，，，，，，，，，，，，， 15.如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是(　　) A．||＝|| B.与共线 C.与共线 D.＝ 答案　C 解析　由向量相等及共线的概念，结合图形可知C不一定正确． 16．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝. (1)画出所有的向量； (2)求||的最大值与最小值． 解　(1)画出所有的向量，如图所示． (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时， ||取得最小值＝； ②当点C位于点C5或C6时， ||取得最大值＝. 所以||的最大值为，最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$