6.4.3.4 余弦定理、正弦定理应用举例 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

第4课时　 余弦定理、正弦定理应用举例 第六章　6.4.3　余弦定理、正弦定理 1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题. 2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力. 学习目标 导语 在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量. 具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案，把要求的距离、高度、角度等问题转化成解三角形的四类问题，然后利用正弦定理或余弦定理解决实际问题. 一、距离问题 二、高度问题 课时对点练 三、角度问题 随堂演练 内容索引 距离问题 一 例1　如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B两点之间的距离. 6 在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD， 在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°， ∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°. 7 8 求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是 (1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形. (2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解. 反思感悟 9 跟踪训练1　(1)A，B两地之间隔着一个山冈，如图，现选择另一点C，测得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为 km. 由余弦定理，得 AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C 10 (2)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是 m. 60 又AD＋DB＝120， ∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°， 11 高度问题 二 √ 13 在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°， ∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°， 14 测量高度问题的解题策略 (1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题. (2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路. 反思感悟 15 跟踪训练2　如图，照片中的建筑是某校的新宿舍楼，学生李明想要测量宿舍楼的高度MN.为此他进行了如下测量：首先选定观测点A和B，测得A，B两点之间的距离为33米，然后在观测点A处测得仰角∠MAN＝30°，进而测得∠MAB＝105°，∠MBA＝45°.根据李明同学测得的数据，该宿舍楼的高度为 米. 16 在△ABM中，因为∠MAB＝105°，∠MBA＝45°， 所以∠AMB＝30°，又AB＝33， 17 角度问题 三 19 如图所示.设经过t小时两船在C点相遇， B＝180°－60°＝120°， ∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°， ∴∠DAC＝60°－30°＝30°， ∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇. 20 测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解. 反思感悟 21 22 由余弦定理，得 因为AB＝40 m，所以AB＝PB，所以∠APB＝∠PAB＝30°，所以∠PBA＝120°.因此测绘人员到达点B时，目标参照物P在他的北偏东60°方向上，且目标参照物P与他的距离为40 m. 23 1.知识清单：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：方位角是易错点. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的 A.北偏东15°方向上 B.北偏西15°方向上 C.北偏东10°方向上 D.北偏西10°方向上 √ 1 2 3 4 如图所示，∠ACB＝90°. 又因为AC＝BC， 所以∠CBA＝45°. 因为β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°. 所以点A在点B的北偏西15°方向上. 1 2 3 4 2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点之间的距离为 √ 1 2 3 4 3.如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为 √ 1 2 3 4 4.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于 √ 1 2 3 4 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知海上A，B两个小岛相距10海里，C岛临近陆地，若从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10海里. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由余弦定理得， AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10(海里)，在Rt△ABC中，由正弦定理，可得AB＝5(海里)，所以这艘船的速度是10海里/时. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.从高出海平面h米的小岛上看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船的俯角为45°，则此时两船间的距离为 如图所示， √ 即此时两船间的距离为2h米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则该建筑物高度为 A.20 m B.30 m C.40 m D.60 m √ 如图，设O为塔顶在地面的射影， 在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20 m， 则BD＝40(m)，OD＝ 在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60(m).∴AB＝OA－OB＝40(m). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 A.30° B.45° C.60° D.75° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又CD＝50，所以在△ACD中， 又0°<∠CAD<180°， 所以∠CAD＝45°， 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.一艘船以每小时15 km的速度向正东方向航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向上，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向上，这时船与灯塔间的距离为 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°， 则∠ABC＝45°， AC＝15×4＝60(km)，根据正弦定理，得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在△ABD中，设BD＝x， 则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos 60°， 所以142＝x2＋102－10x，解得x＝16(x＝－6舍去). 又因为∠BDA＝60°，AD⊥CD， 所以∠CDB＝30°，在△BCD中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上. (1)求渔船甲的速度； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，知∠BAC＝120°，AB＝6，AC＝5×2＝10. 在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC ＝62＋102－2×6×10×cos 120°＝196， 所以渔船甲的速度为7 n mile/h. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求sin α. 在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝120°， BC＝14，∠BCA＝α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C) 所以索道AB的长为1 040 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.(多选)如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，则一定能确定A，B间距离的所有方案为 A.测量A，B，b B.测量a，b，C C.测量A，B，a D.测量A，B，C √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于B，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C即可解出c； 对于D，不知道长度，显然不能求c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　设AB＝x m，则BC＝x m. ∴BD＝(10＋x)m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　∵∠ACB＝45°，∠ADC＝30°， ∴∠CAD＝45°－30°＝15°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°方向前进100 m 到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，设乙的速度为x m/s， 因为AB＝1 040 m，BC＝500 m， 在△ABC中，由余弦定理的推论得， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两市相距20 km，C，D两市相距34 km，C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8 s后B市感到地表震动，20 s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km， 则震中A到B，C，D三市的距离分别为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，在△ABC中， AB－AC＝1.5×8＝12(km). 在△ACD中，AD－AC＝1.5×20＝30(km). 设AC＝x km， 则AB＝(12＋x)km，AD＝(30＋x)km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵B，C，D在一条直线上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设救援船应沿CD方向行驶t小时，才能最快追上(在D点)故障船， 在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又0°<∠ABC<60°，∴∠ABC＝45°， ∴B点在C点的正东方向上， ∴∠CBD＝90°＋30°＝120°， 又∵0°<∠BCD<60°，∴∠BCD＝30°， ∴救援船沿北偏东60°的方向行驶. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°， ∴∠CDB＝30°，∴BD＝BC， ∴救援船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快追上故障船，大约需要15分钟. ∴BD＝CD＝40，BC＝＝40. 由正弦定理，得AC＝＝20. 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠ACB ＝(20)2＋(40)2－2×20×40cos 60° ＝2 400， ∴AB＝20， 故A，B两点之间的距离为20 m. ＝72＋52－2×7×5×＝39. ∴AB＝. tan 30°＝，tan 75°＝， ∴AD＝60，故CD＝60.即河的宽度是60 m. 例2　如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是 A.10 m B.10 m C.10 m D.10 m 由正弦定理，得＝， 故BC＝＝10(m). 在Rt△ABC中，tan 60°＝， 故AB＝BC×tan 60°＝10(m). 11 即该宿舍楼的高度为11米. 所以＝， 即＝，解得AM＝33； 在Rt△AMN中，因为∠MAN＝30°，AM＝33， 所以MN＝AM·tan 30°＝11， 例3　甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 则在△ABC中，BC＝at(海里)，AC＝at(海里)， 由＝，得 sin∠CAB＝＝＝＝， 跟踪训练3　地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向，且距离为40 m，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m，到达点B.试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参照物P的距离. 如图，在△PAB中，∠PAB＝30°，PA＝40 m，AB＝40 m. PB＝ ＝＝40(m). ∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由＝，得AB＝100×＝50(m). A.50 m B.50 m C.25 m D. m 由题图，可得B＝45°，∠BAC＝30°，故BC＝＝＝30(m). A.20 m B.30 m C.20 m D.30 m A. B. C.－1 D.－1 ∴AC＝100. 在△ADC中，＝， ∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝＝－1. 在△ABC中，由正弦定理得＝， A.10 海里 B. 海里 C.5 海里 D.5 海里 由正弦定理，得＝， 所以BC＝5(海里). 2.(多选)某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果距离出发点恰好 km，则x的值为 A. B.2 C.2 D.3 如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°， 即()2＝x2＋32－6xcos 30°， ∴x2－3x＋6＝0. 解得x＝2或x＝. A.5 海里/时 B.5海里/时 C.10 海里/时 D.10海里/时 A.2h米 B.h米 C.h米 D.2h米 BC＝h，AC＝h， ∴AB＝＝2h. 20(m). 依题意，可得AD＝20，AC＝30， 由余弦定理的推论，得cos∠CAD＝ ＝＝， 30 BC＝＝＝30(km). 8.如图，要计算西湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得AD⊥CD，AD＝10 km，AB＝14 km，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则两景点B与C的距离为 km(精确到0.1 km，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236). 由正弦定理，得＝， 所以BC＝·sin 30°＝8≈11.3(km). 解得BC＝14，v甲＝＝7， 由正弦定理，得＝， 即sin α＝＝＝. 10.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝，求索道AB的长. 在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝， 所以sin A＝，sin C＝. ＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝. 由＝，得AB＝·sin C＝×＝1 040(m). 对于A，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c； 对于C，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c； A.10 m B.5 m C.5(－1)m D.5(＋1)m ∴tan∠ADB＝＝＝. 解得x＝5(＋1). ∴A点离地面的高AB等于5(＋1) m. 由正弦定理，得AC＝·sin∠ADC ＝·sin 30°＝5(＋)m. ∴AB＝ACsin 45°＝5(＋1)m. 即A点离地面的高AB等于5(＋1)m. 如图，设水柱的高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝ h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2×h×100×cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50或h＝－100(舍去)，故水柱的高度是50 m. 14.游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处.经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin A＝ . 则甲的速度为x m/s， 所以＝，解得AC＝1 260(m). cos A＝＝＝， 所以sin A＝＝＝. km， km， km 在△ABC中，cos∠ACB＝＝＝， 在△ACD中，cos∠ACD＝＝＝. ∴＝－， 即＝， 解得x＝.即AC＝(km). ∴AB＝(km)，AD＝(km). 16.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘故障船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的救援船奉命以10 海里/时的速度追赶故障船，此时故障船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向行驶.问：救援船沿什么方向行驶才能最快追上故障船？并求出所需时间(精确到1分钟). 则CD＝10t，BD＝10t， ＝(－1)2＋22－2(－1)×2×cos 120°＝6. ∴BC＝.又∵＝， ∴sin∠ABC＝＝＝， 在△BCD中，由正弦定理，得＝， ∴sin∠BCD＝＝＝. 即10t＝. ∴t＝(小时)≈15(分钟). $$