6.4.3.2 正弦定理(1) （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

第2课时　正弦定理(一) 第六章　6.4.3　余弦定理、正弦定理 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系. 2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题. 学习目标 导语 如图，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为600 m，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA的距离，如果船上有测角仪，我们能否计算出A，B的距离？ 一、正弦定理的推导 二、已知两角及任意一边解三角形 课时对点练 三、已知两边及其中一边的对角解三角形 随堂演练 内容索引 四、三角形解的个数的判断 正弦定理的推导 一 提示　在锐角三角形中， 也即asin C＝csin A， 仿照上述方法，同样可得 提示　如图，无论怎么移动B′，都会有角B′＝B， c是Rt△ABC，△AB′C外接圆的直径， 正弦 知识梳理 12 已知两角及任意一边解三角形 二 例1　在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形. 因为B＝30°，C＝105°， 所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°. 14 反思感悟 15 跟踪训练1　在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c的值. A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°. 16 已知两边及其中一边的对角解三角形 三 ∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°. 18 延伸探究　若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？ 19 已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤 (1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角. (2)用三角形内角和定理求出第三个角. (3)根据正弦定理求出第三条边. 其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值. 反思感悟 20 跟踪训练2　在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C等于 √ 21 三角形解的个数的判断 四 例3　不解三角形，判断下列三角形解的个数. (1)a＝5，b＝4，A＝120°； 23 (2)a＝9，b＝10，A＝60°； 24 (3)b＝72，c＝50，C＝135°. 所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解. 25 已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 (1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数. (2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： 反思感悟 26   A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a＝bsin A 一解 a<bsin A 无解 反思感悟 27 跟踪训练3　(多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是 A.a＝8，b＝16，A＝30°，有一解 B.b＝18，c＝20，B＝60°，有两解 C.a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D.a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 √ √ √ 28 29 1.知识清单： (1)正弦定理. (2)利用正弦定理解三角形. (3)三角形解的个数的判断. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 ∵b>a，∴B>A，且0°<B<180°， ∴B＝60°或120°. 60°或120° 课时对点练 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 ∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 √ 则sin B＝1， 又B∈(0，π)，故B为直角，△ABC是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设△ABC外接圆的半径为R， √ 所以R＝1，即△ABC外接圆的半径为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在△ABC中，已知AB＝ AC，B＝30°，则C等于 A.45° B.15° C.45°或135° D.15°或105° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为0°<C<180°， 所以C＝45°或C＝135°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a>b，∴A>B， 又∵A＝60°，∴B为锐角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则下列各组条件中使得△ABC有唯一解的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C中，条件为边角边，根据余弦定理可以求得唯一的c边，所以有唯一解，满足题意； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又A∈(0，π)，a>b， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为b>c，所以B>C＝30°，所以B＝60°或120°. 所以a＝6或12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 ∴cos C＝sin C，∴tan C＝1， 又∵0°<C<180°，∴C＝45°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设C为最大角，则A为最小角， ∵A＋C＝120°， 又∵A为锐角，∴A＝45°，C＝75°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶ ∶2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝60°，c ＝2的三角形有两解，则b的取值范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A>B.则下列三个不等式中成立的是 .(填序号) ①sin A>sin B； ②cos A<cos B； ③sin A＋sin B>cos A＋cos B. ①②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，故①成立. 函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减， ∵A>B，∴cos A<cos B，故②成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴b＝2sin B，c＝2sin C， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 问题1　在Rt△ABC中，＝＝，在锐角三角形和钝角三角形中，上述关系是否成立？如何证明呢？ 由分配律，得j·＋j·＝j·， 即|j|||cos ＋|j|||cos＝|j|||cos， 如图1，在锐角△ABC中，过点A作与垂直的单位向量j， 则j与的夹角为－A，j与的夹角为－C. 因为＋＝， 所以j·(＋)＝j·. 在钝角三角形中，当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角(如图2所示)，过点A作与垂直的单位向量j， 所以＝. 同理，过点C作与垂直的单位向量m，可得 ＝. 因此＝＝. 则j与的夹角为A－，j与的夹角为－C， ＝＝. 问题2　在△ABC中，＝＝，那么这个比值有什么特殊的含义吗？ 所以在△AB′C中，＝＝c， 所以对任意△ABC，均有＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径). 正弦定理语言叙述：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比 相等，即 ＝2R(R为△ABC外接圆的半径). ＝＝ 由正弦定理，得＝＝， 解得a＝＝4，c＝＝2(＋). (1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个. (2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角. 由＝得，c＝＝ ＝＝4(＋1). 所以A＝45°，c＝4(＋1). ∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°. 例2　在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形. ∵＝，∴sin C＝＝＝， 当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1； 当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1. ∵c＝>2＝a，∴C>A. ∵＝，∴sin A＝＝＝. ∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个. A. B. C. D. 由正弦定理，得＝， 即＝，解得sin C＝， ∵AB<AC，∴C<B，∴cos C＝＝. sin B＝sin 120°＝×<，所以三角形有一解. sin B＝sin 60°＝×＝，而<<1. 所以当B为锐角时，满足sin B＝的角B的取值范围是60°<B<90°.满足A＋B<180°； 当B为钝角时，满足sin B＝的角B的取值范围是90°<B<120°，也满足A＋B<180°.故三角形有两解. sin B＝＝sin C>sin C＝. A中，∵＝，∴sin B＝＝1，∴B＝90°，即只有一解； B中，∵sin C＝＝，且c>b，∴C>B，故有两解； C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝＝＝，有解； D中，∵＝，∴sin B＝＝，又b<a， ∴角B只有一解. 根据正弦定理，得＝＝. 1.在△ABC中，a＝5，b＝3，则的值是 A. B. C. D. 所以AC＝×＝2. 由正弦定理＝，得＝， 2.在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC等于 A.4 B .2 C. D. ∴sin B＝>1，∴此三角形无解. 由正弦定理和已知条件，得＝， 3.已知在△ABC中，b＝4，c＝2，C＝30°，那么此三角形 A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 4.在△ABC中， a＝5，b＝5，A＝30°，则B＝ . 由正弦定理＝，得sin B＝＝. 由正弦定理，得c＝＝＝2. 1.在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c等于 A.1 B.2 C. D. 由题意及正弦定理可知，＝b＝， 3.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝60°，a＝，则△ABC外接圆的半径等于 A.2 B. C. D.1 根据正弦定理可得2R＝＝＝＝2， 由正弦定理＝， 得＝，解得sin C＝， 由AB＝AC可知AB>AC，所以C>B， A.－ B. C.－ D. 由正弦定理＝，得＝， ∴sin B＝＝＝. ∴cos B＝＝＝. A.a＝3，b＝4，A＝ B.a＝3，b＝4，cos B＝ C.a＝3，b＝4，C＝ D.a＝3，b＝4，B＝ 根据题意，A中，由正弦定理＝⇒sin B＝×sin A＝，因为<<，所以角B在和上各有一个解，并且这两个解与角A的和都小于π，所以A不满足题意； B中，根据余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B，即16＝9＋c2－c，解得c＝5或c＝－(舍)，所以只有1个解，满足题意； D中，由正弦定理＝⇒sin A＝×sin B＝，因为<，所以角A在和上各有一个解，当解在上时，角B与角A的和大于π，所以只有1个解，满足题意. 由正弦定理，得sin A＝＝＝， 7.在△ABC中，若a＝，b＝，B＝，则A＝ . 或 ∴A>B，∴A＝或. 8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝， a＝1，则sin B＝ ，b＝ . 在△ABC中，由cos A＝，cos C＝， 可得sin A＝，sin C＝， 所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝， 又a＝1，故由正弦定理得，b＝＝. ∵＝， ∴a＝＝＝10. 又∵＝， ∴b＝＝＝20sin 75° ＝20×＝5(＋). 10.在△ABC中，已知b＝6，c＝6，C＝30°，求a的值. 由正弦定理＝， 得sin B＝＝. 当B＝60°时，A＝90°，a＝＝＝12. 当B＝120°时，A＝30°，a＝＝＝6. 由正弦定理，知＝，∴＝， 11.在△ABC中，若＝，则C的值为 A.30° B.45° C.60° D.90° 12.在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为 A.45° B.60° C.75° D.90° ∴＝＝ ＝＝×＋＝， ∴＝1.∴tan A＝1. 13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于 A.3∶4∶5 B.5∶4∶3 C.2∶∶1 D.1∶∶2 在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理＝，得c＝.若此三角形有两解，则必须满足的条件为c>b>csin B，即<b<2. (，2) 在锐角三角形中，∵A＋B>， ∴0<－B<A<， 又函数y＝sin x在区间上单调递增， 则sin A>sin，即sin A>cos B，同理sin B>cos A，故③成立. 16.在△ABC中，a＝，A＝，试求△ABC的周长的取值范围. 由正弦定理，得＝＝， 即＝＝＝2， ∴△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝＋2sin B＋2sin C ＝＋2sin B＋2sin＝＋3sin B＋cos B ＝＋2sin， 又B∈， ∴B＋∈， ∴sin∈， ∴L∈(2，3]. 即△ABC的周长的取值范围为(2，3]. $$