6.4.3.1 余弦定理 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

第1课时　余弦定理 第六章　6.4.3　余弦定理、正弦定理 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 学习目标 导语 千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间的距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？ 一、余弦定理的推导 二、已知两边及一角解三角形 课时对点练 三、已知三边解三角形 随堂演练 内容索引 四、利用余弦定理判断三角形形状 余弦定理的推导 一 问题1　在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c? 提示　如图， 那么c＝a－b， ① 我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|， 联想到数量积的性质c·c＝|c|2， 可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算. 由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b) ＝a·a＋b·b－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cos C. 所以c2＝a2＋b2－2abcos C， 同理可得a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos B. 问题2　在问题1的探究成果中，若C＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示　c2＝a2＋b2，即勾股定理；勾股定理是余弦定理的一个特例. 1.余弦定理语言叙述：三角形中任何一边的平方，等于其他两边________ 减去这两边与它们夹角的余弦的 . 2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 a2＝ ， b2＝ ， c2＝ . 注意点： 余弦定理对任意的三角形都成立. 平方的和 积的两倍 b2＋c2－2bccos A c2＋a2－2cacos B a2＋b2－2abcos C 知识梳理 9 已知两边及一角解三角形 二 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A 11 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 12 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边，此时需根据题意进行检验，需满足大角对大边，两边之和大于第三边. 反思感悟 13 2 14 3 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得5＝b2＋22－2×2bcos A， 15 已知三边解三角形 三 问题3　在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何解三角形？ 余弦定理的推论：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， 则cos A＝ ， cos B＝ ， cos C＝ . 注意点： 余弦定理及其推论把用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画. 知识梳理 18 19 20 已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角. 反思感悟 21 跟踪训练2　在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小. ∵a>c>b，∴A为最大角. 由余弦定理的推论，得 又∵0°<A<180°，∴A＝120°， ∴最大角A为120°. 22 利用余弦定理判断三角形形状 四 问题4　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？ 提示　A为直角⇔a2＝b2＋c2； A为锐角⇔b2＋c2>a2(前提是b，c是两个较小边)； A为钝角⇔b2＋c2<a2. 例3　在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状. 25 由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理的推论， 整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0. 因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2， 故△ABC是直角三角形. 26 利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线 (1)先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系. (2)先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. 反思感悟 27 跟踪训练3　在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 √ 在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc， 所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc， 所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0， 所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形. 28 1.知识清单： (1)余弦定理. (2)余弦定理解决的两类问题. (3)利用余弦定理判断三角形形状. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：易忽略三角形中的隐含条件. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 设第三条边长为x， √ 1 2 3 4 ∵a>b>c，∴C为最小角且C为锐角， √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状是 . 直角三角形 1 2 3 4 因为bcos C＋ccos B＝asin A， 所以由余弦定理的推论得， 整理，得a＝asin A， 因为a≠0，所以sin A＝1. 故△ABC为直角三角形. 课时对点练 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝ ，b＝2，c＝5，则A的大小为 A.30° B.60° C.45° D.90° √ 又0°<A<180°，所以A＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则角A等于 A.30° B.45° C.60° D.90° √ 由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3， 所以△ABC为直角三角形，A＝30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C等于 A.90° B.120° C.135° D.150° √ 又0°<B<180°，所以B＝60°，所以A＋C＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ ac，则角B的大小是 A.45° B.60° C.90° D.135° √ 又0°<B<180°，所以B＝45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝ b＝12，则c的值为 A.2 B.4 C.6 D.8 √ 利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C ＝(a＋b)2－2ab－2abcos C， 得(a＋b)2－c2＝2ab(1＋cos C) ＝2ab(1＋cos 60°)＝3ab＝4， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由余弦定理的推论，可得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝ . 由题意得，a＋b＝5，ab＝2. 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C ＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc. (1)求A的大小； ∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， ∴a2＝b2＋c2－bc， 而a2＝b2＋c2－2bccos A，∴2cos A＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴△ABC为等边三角形. ① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A， 化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以b2＋c2－a2＝2b2， 即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 设该等腰三角形为△ABC，且A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶角为C，周长为l， 因为l＝5c，所以a＝b＝2c， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下结论，其中正确的有 A.sin(B＋C)＝sin A B.cos(B＋C)＝cos A C.若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形 D.若a2＋b2<c2，则△ABC为锐角三角形 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，A正确； cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A，B不正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －19 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 依题意得，a＝5，b＝6，c＝7. 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则此三角形的最大边长为 . 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 已知a－b＝4，则a＞b且a＝b＋4. 又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b， 所以b＝c＋4，则b>c. 从而知a>b>c，所以a为最大边， 故A＝120°，b＝a－4，c＝2b－a＝a－8. 由余弦定理，得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2＋bc ＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)， 即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14. 又b＝a－4>0，所以a＝14， 即此三角形的最大边长为14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又0<B<π， (2)若a＋c＝1，求b的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B. 又0<a<1， 设＝a，＝b，＝c， 例1　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a的值； ＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°＝3， 所以a＝. (2)在△ABC中，已知b＝，c＝，B＝30°，求a的值. 得()2＝a2＋()2－2a××cos 30°， 即a2－3a＋10＝0，解得a＝或a＝2. 跟踪训练1　(1)已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝ . 根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2. (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2， cos A＝，则b＝ . 因为cos A＝，所以3b2－8b－3＝0， 解得b＝3. 提示　cos A＝， cos B＝， cos C＝. 例2　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C的大小. ∵C∈(0，π)，∴C＝. ∴B＝π－A－C＝π－－＝， ∴A＝，B＝，C＝. 根据余弦定理的推论，得cos A＝ ＝＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝， cos C＝＝＝， cos A＝＝＝－. 得a·＋a·＝b＋c， 即＋＝b＋c， ∴x＝2. 则x2＝52＋32－2×5×3×＝52， 1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则该三角形的第三条边长为 A.52 B.2 C.16 D.4 ＝＝. 又∵C为锐角，∴C＝. 由余弦定理的推论，得cos C＝ 2.在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为 A. B. C. D. ∴cos B＝＝＝， 又B为△ABC的内角，∴B＝. ∵a2－b2＋c2＝ac， 3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＋c2＝ ac，则角B为 A. B. C.或 D.或 又A∈(0，π)，所以A＝. b·＋c·＝asin A， 由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝， 所以c＝. 由余弦定理的推论得cos B＝＝＝. 因为a2＝b2－c2＋ac，所以a2＋c2－b2＝ac， 由余弦定理的推论，得cos B＝＝＝， 由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4， ∴ab＝. A. B.8－4 C.1 D. 7.在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝ ，AC边上的 高为 . cos A＝＝＝， 又0<A<π，∴A＝， ∴sin A＝. 则AC边上的高为h＝ABsin A＝3×＝. 所以c＝. ∴cos A＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝. (2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状. 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝， ∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc. 又∵b＋c＝2，与①联立，解得bc＝3， ∴∴b＝c＝， ∵cos A＝2cos2－1,2cos2＋cos A＝0， 10.已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0. (1)求A的大小； ∴2cos A＋1＝0，∴cos A＝－，∴A＝120°. (2)若a＝2，b＝2，求c的值. 又a＝2，b＝2，cos A＝－， ∴(2)2＝22＋c2－2×2×c×， 11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2＝，则△ABC是 在△ABC中，因为cos2＝， 所以＝＋， 所以cos A＝.由余弦定理的推论，知＝， 由余弦定理的推论，得cos C＝＝＝. A. B. C. D. 因为a2＋b2＝c2，则由余弦定理的推论得cos C＝＝0，而0<C<π，即有C＝，则△ABC为直角三角形，C正确； 因为a2＋b2<c2，则cos C＝<0，而0<C<π，即有<C<π，则△ABC为钝角三角形，D不正确. 14.若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·＝ . ∴·＝||·||·cos(π－B)＝－ac·cos B. ∴－ac·cos B＝(b2－a2－c2)＝×(62－52－72)＝－19， ∴·＝－19. 16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋ (cos A－sin A)cos B＝0. (1)求B的大小； 由已知得，－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin A·cos B＝0， 即sin Asin B－sin Acos B＝0. 因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝0. 又cos B≠0，所以tan B＝. 所以B＝. 因为a＋c＝1，cos B＝， 所以b2＝32＋. 所以≤b2<1，即≤b<1， b的取值范围为. $$