6.4.3.5 余弦定理、正弦定理的应用 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

第5课时 余弦定理、正弦定理的应用 第六章　6.4.3　余弦定理、正弦定理 1.理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式. 2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用. 3.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用. 学习目标 一、三角形面积公式 二、余弦、正弦定理在平面几何中的应用 课时对点练 三、余弦、正弦定理与三角函数的综合应用 随堂演练 内容索引 三角形面积公式 一 问题　已知△ABC的两边a，b和角C，如何求△ABC的面积？ 1.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积 公式为S＝ ＝ ＝ . 2.△ABC中的常用结论 (1)A＋B＋C＝ ， sin(A＋B)＝ ，cos(A＋B)＝ ； (2)大边对大角，即a>b⇔A>B⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B. 180° sin C －cos C 知识梳理 6 例1　(1)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积 为 . 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B得，72＝52＋c2－2×5c×cos 120°， 即c2＋5c－24＝0，解得c＝3或c＝－8(舍去). 7 ①求C的大小； 8 ②求△ABC的面积. 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C， 即7＝a2＋b2－ab， ∴7＝(a＋b)2－3ab＝25－3ab，故ab＝6， 9 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用. 反思感悟 10 (1)若b＝4，求sin A的值； 11 12 (2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值. 13 余弦、正弦定理在平面几何中的应用 二 例2　在四边形ABCD中，A＝45°，∠ABC＝105°，C＝60°，BC＝1，CD＝2. (1)求∠CBD的大小； 在△BCD中，由余弦定理，得 由BC＝1，CD＝2，得BC2＋BD2＝CD2， ∴∠CBD＝90°. 15 (2)求AB的值. ∵∠ABC＝105°，∠DBC＝90°， ∴∠ABD＝105°－90°＝15°， ∴∠ADB＝180°－∠A－∠ABD＝120°， 16 在平面几何中求边、求角，通常思路是先找所求的边、角所在的三角形，再在三角形中通过余弦、正弦定理求边和角. 反思感悟 17 (1)求AC的长； 18 19 20 21 余弦、正弦定理与三角函数的综合应用 三 (1)求角B； 2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B， 23 24 所以a＝2sin A，c＝2sin C， 25 正弦、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式：一是先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式可以求解问题中出现的三角函数值；二是利用三角函数的性质，一般把求边的范围转化成求角的范围，解与三角形有关的问题. 反思感悟 26 跟踪训练3　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c. 27 28 29 所以cos B＝2sin B. 从而cos2B＝(2sin B)2，即cos2B＝4(1－cos2B)， 因为sin B>0， 所以cos B＝2sin B>0， 30 1.知识清单： (1)三角形的面积公式. (2)利用余弦、正弦定理解决平面几何问题. (3)余弦、正弦定理与三角函数的综合应用. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：利用余弦、正弦定理求值时会出现增根，易忽略检验. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 2.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为 将c2＝a2＋b2－2abcos C与(a＋b)2－c2＝4联立， √ 1 2 3 4 3.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2，BD＝4，则sin B的值为 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc ∴c2＝64，∴c＝8，b＝10. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 A.30° B.60° C.150° D.120° √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以A＝60°或120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 √ 由正弦定理得sin Bcos A＝sin A－sin Acos B，即sin C＝sin A， 由于A，C为三角形内角，所以C＝A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B， ∴BC2－3BC＋2＝0， ∴BC＝1或BC＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由余弦定理BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcos∠CDB， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在△ABC中，由余弦定理，得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又因为b<a，所以B<A，所以B＝45°，则C＝75°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是 . 因为△ABC是钝角三角形，a＝1，b＝2，且c是最大边， 于是得c2>a2＋b2＝12＋22＝5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(sin B＋sin C)2＝sin2A＋sin Bsin C. (1)求A的大小； ∵(sin B＋sin C)2＝sin2A＋sin Bsin C. ∴由正弦定理，得(b＋c)2＝a2＋bc， 即b2＋c2－a2＝－bc， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又b＋c＝6， ∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－bc＝36－8＝28， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图所示，在四边形ABCD中，D＝2B，且AD＝1, CD＝3，cos B＝ (1)求△ACD的面积； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为D∈(0，π)， 因为AD＝1，CD＝3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D＝12， 所以AB＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.如图，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5，DA＝7，则AB的长为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为DC＝5，DA＝7，AC＝8， 又B＝45°，DA＝7， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知向量a＝(2，－1)，b＝(2,2)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为 A.6 B.3 C.4 D.8 √ 设向量a与b的夹角为θ，则由题意得， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知在△ABC中，AC＝2，AB＝3，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平 分线，则AD＝ . 如图，∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝AD＝4，则四边形ABCD的面积S为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，连接BD，由余弦定理，得 在△ABD中，BD2＝4＋16－2×2×4cos A＝20－16cos A， 在△CBD中，BD2＝16＋36－2×4×6cos C＝52－48cos C， ∵A＋C＝180°， ∴20－16cos A＝52＋48cos A， (1)求f(x)的单调递增区间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时等号成立. 提示　边b上的高h为asin C，故面积为S＝bh＝absin C. absin C bcsin A casin B 所以S△ABC＝acsin B＝×5×3sin 120°＝. (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋b＝5，c＝，且ccos A＋a＝b. 由正弦定理，得sin Ccos A＋sin A＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C， 即sin A＝sin Acos C， ∵sin A≠0，∴cos C＝，又C∈(0，π)，∴C＝. ∴S△ABC＝absin C＝×6×＝， 故△ABC的面积为. 跟踪训练1　已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝. 所以sin A＝＝. 因为cos B＝， 所以sin B＝＝， 在△ABC中，由正弦定理得＝， 即＝， 综上，b＝，c＝5. 因为S△ABC＝acsin B＝4， 所以×2×c×＝4，解得c＝5. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋25－2×2×5×＝17， 所以b＝， BD＝＝＝. 在△ABD中，由正弦定理得＝， ∴AB＝＝＝. 跟踪训练2　如图，在平面四边形ABCD中，D＝，CD＝，△ACD的面积为. ∴AC＝3. ∵D＝，CD＝，△ACD的面积为， ∴S△ACD＝AD·CD·sin D＝×AD××＝， ∴AD＝， ∴由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos D ＝6＋6－2×6×＝18， (2)若AB⊥AD，B＝.求BC的长. ∵AB⊥AD，∴∠BAC＝. 又∵B＝，AC＝3， ∴在△ABC中，由正弦定理，得＝， 即＝，∴BC＝3. 由(1)知，在△ACD中，AD＝，CD＝，D＝， ∴∠DAC＝， 例3　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcos B＝acos C＋ccos A. 由bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理得， 因为B∈(0，π)，所以sin B>0，所以cos B＝，所以B＝. (2)若b＝，c≥b，求2c－a的取值范围. 所以≤C－<，所以≤sin<1， 所以≤2c－a<2，即2c－a的取值范围为. 因为b＝，B＝，由正弦定理可得＝＝＝＝2， 所以2c－a＝2×＝2× ＝3sin C－cos C＝2sin， 由c≥b且B＝，可得≤C<， (1)若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值； 因为a＝3c，b＝，cos B＝， 由余弦定理的推论cos B＝， 得＝，即c2＝. 所以c＝. (2)若＝，求sin的值. 因为＝， 由正弦定理＝，得＝， 故cos2B＝. 从而cos B＝.因此sin＝cos B＝. 所以S△ABC＝absin C＝××4×＝. 由题意可知，a＝，b＝4，C＝， 1.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝，b＝4，C＝，则△ABC的面积为 A.2 B. C. D. 解得ab＝4，∴S△ABC＝absin C＝. A. B. C. D.2 由题意，得△ADC为等边三角形，则∠ADB＝120°，AC＝2，由余弦定理，得AB2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB，即AB＝2，由正弦定理，得＝，则sin B＝＝. A. B. C. D. 4.在△ABC中，A＝60°，4sin B＝5sin C，S△ABC＝20，则其周长为 . 18＋2 且4sin B＝5sin C，得4b＝5c，即b＝c， ＝c2＋c2－c2＝c2， ∵S△ABC＝bcsin A＝×c2＝c2＝20， ∴a＝2，∴△ABC的周长为18＋2. 由正弦定理＝， 1.(多选)已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则A等于 因为S＝bcsin A＝， 所以×2×sin A＝， 所以sin A＝，因为0°<A<180°， 2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＝，则△ABC的形状是 3.(多选)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积可以是 A. B.1 C. D. ∵AB＝，AC＝1，B＝， ∵S△ABC＝·AB·BC·sin B， ∴S△ABC＝或S△ABC＝. 因为b＝2，c＝，S＝cos A＝bcsin A＝sin A，所以sin A＝cos A.所以sin2A＋cos2A＝cos2A＋cos2A＝cos2A＝1.所以cos A＝.所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋5－2×2××＝9－8＝1，所以a＝1. 4.若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，c＝，△ABC的面积S＝cos A，则a等于 A.1 B. C. D. 由题意及三角形的面积公式，得absin C＝5，即a×5×＝5，解得a＝4，根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，即c2＝16＋25－2×4×5×＝21，c＝，所以△ABC的周长为9＋. 5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝5，C＝60°，且△ABC的面积为5，则△ABC的周长为 A.8＋ B.9＋ C.10＋ D.14 6.(多选)在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cos∠CDB＝－，则下列说法正确的是 A.△ABC的面积为8 B.△ABC的周长为8＋4 C.△ABC为钝角三角形 D.sin∠CDB＝ 如图，在△BCD中，CB＝2CD，cos∠CDB＝－， 得4CD2＝9＋CD2＋CD， 即CD2－CD－3＝0， 解得CD＝，BC＝2， 又由余弦定理的推论得cos B＝＝，则sin B＝， AC＝ ＝＝2， 所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BCsin B＝8，A正确； △ABC的周长为AB＋BC＋AC＝8＋4，B正确； 显然AB是最大边，cos∠ACB＝＝－<0，所以∠ACB为钝角，C正确； sin∠CDB＝＝，D不正确. 7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝， A＝60°，则角B＝ ，△ABC的面积是 . 在△ABC中，由正弦定理＝， 得sin B＝＝＝， 则S△ABC＝absin C＝×××sin 75°＝. 则由余弦定理的推论得cos C＝<0， (，3) 又c>0，解得c>， 又c<a＋b＝3，所以<c<3， 所以最大边c的取值范围是(，3). ∴cos A＝－，∵A∈(0，π)，∴A＝. ∵S＝bcsin A＝bc＝2，∴bc＝8， (2)若b＋c＝6，△ABC的面积为2，求a的值. ∴a＝2. . 因为D＝2B，cos B＝， 所以cos D＝cos 2B＝2cos2B－1＝－. 所以sin D＝＝. 所以△ACD的面积为S＝AD·CD·sin D＝×1×3×＝. (2)若BC＝2，求AB的长. 所以AC＝2. 因为BC＝2，＝， 所以＝＝＝， A.4 B.4 C.8 D.4 所以cos∠ADC＝＝， 因此cos∠ADB＝－，所以sin∠ADB＝， 由正弦定理，可得＝， 所以AB＝＝＝4. cos θ＝＝＝，则sin θ＝， 所以平行四边形的面积为S＝2××|a|·|b|sin θ＝×2×＝6. 13.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，tan A＝，且B为钝角，则sin A＋sin C的取值范围是 A. B. C. D. 由tan A＝以及正弦定理得＝＝，所以sin B＝cos A， 即sin B＝sin，又B为钝角，所以＋A∈，故B＝＋A， C＝π－(A＋B)＝－2A>0⇒A∈， 于是sin A＋sin C＝sin A＋sin＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1 ＝－22＋，因为A∈，所以0<sin A<， 因此<－22＋≤， 即sin A＋sin C的取值范围是. ∴×3×2×sin 60° ∴AD＝. ＝×3AD×sin 30°＋×2AD×sin 30°， A.4 B.6 C.8 D.10 解得cos A＝－，∴A＝120°，C＝60°. S＝S△ABD＋S△CBD＝×2×4×sin 120°＋×4×6×sin 60°＝8. 16.设f(x)＝sin xcos x－cos2，x∈R. f(x)＝sin xcos x－cos2，x∈R. 化简可得，f(x)＝sin 2x－－cos ＝sin 2x＋sin 2x－＝sin 2x－， 由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z， 可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. ∴函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z. (2)在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若f ＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值. 由f ＝0，即sin A－＝0， 可得sin A＝，∵0<A<，∴cos A＝. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得1＋bc＝b2＋c2. ∴1＋bc≥2bc，∴bc≤2＋. ∴△ABC的面积为S＝bcsin A≤. 故△ABC面积的最大值为. $$