6.4.1.2 直线与平面平行的综合应用-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

第2课时　直线与平面平行的综合应用 [学习目标]　1.线面平行性质与判定定理的综合应用.2.掌握线面平行中的探索性问题． 一、线面平行性质与判定定理的综合应用 例1　已知α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l. 证明　如图，过a作平面γ交平面α于b. 因为a∥α，所以a∥b， 过a作平面ε交平面β于c. 因为a∥β，所以a∥c，所以b∥c. 又b⊄β且c⊂β，所以b∥β. 因为b⊂α且α∩β＝l，所以b∥l. 又a∥b，所以a∥l. 延伸探究　若本例中条件改为“α∩β＝l，γ∩β＝m，γ∩α＝n，且l∥m”，试判断直线m，n的位置关系，并说明你的理由． 解　m∥n，证明如下： 如图，因为l∥m，m⊂γ，l⊄γ，所以l∥γ. 又l⊂α，α∩γ＝n， 所以l∥n. 所以m∥n. 反思感悟　线线、线面的转化 判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下： 线线平行线面平行线线平行． 跟踪训练1　如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明． 解　直线l∥平面PAC，证明如下： 因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC. 又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC， 所以EF∥平面ABC. 而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l， 所以EF∥l. 因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC， 所以l∥平面PAC. 二、线面平行中的探索性问题 例2　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论． 解　存在．证明如下： 如图，取线段AB的中点为M， 连接A1M，MC，A1C，AC1， 设O为A1C，AC1的交点． 由已知得，O为AC1的中点， 连接MD，OE，OM， 则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线， 所以MD∥AC且MD＝AC， OE∥AC且OE＝AC， 因此MD∥OE且MD＝OE. 从而四边形MDEO为平行四边形， 则DE∥MO. 因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC， 所以直线DE∥平面A1MC. 即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)， 使直线DE∥平面A1MC. 反思感悟　对线面平行探索可先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明．证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用中位线定理找平行关系． 跟踪训练2　如图是一个以△A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC.已知AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3.在边AB上是否存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1? 解　存在．如图，取AB的中点O，连接OC. 作OD∥AA1交A1B1于点D，连接C1D，则OD∥BB1∥CC1. 因为O是AB的中点， 所以OD＝(AA1＋BB1)＝3＝CC1， 则四边形ODC1C是平行四边形，所以OC∥C1D. 又C1D⊂平面A1B1C1， 且OC⊄平面A1B1C1， 所以OC∥平面A1B1C1， 即在边AB上存在一点O(AB的中点)，使得OC∥平面A1B1C1. 1．知识清单： (1)线面平行性质与判定定理的综合应用． (2)线面平行中的探索性问题． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：在探索性问题中易漏结论． 1.如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点． 求证：(1)EH∥平面BCD； (2)BD∥平面EFGH. 证明　(1)∵EH为△ABD的中位线， ∴EH∥BD. ∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD， ∴EH∥平面BCD. (2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH， EH⊂平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH. 2.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，试求点E的位置，使SC∥平面EBD，并证明． 解　点E的位置是棱SA的中点． 证明：取SA的中点E，连接EB，ED，AC， 设AC与BD的交点为O，连接EO(图略)． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴点O是AC的中点． 又E是SA的中点， ∴OE是△SAC的中位线． ∴OE∥SC. ∵SC⊄平面EBD，OE⊂平面EBD， ∴SC∥平面EBD. 故E的位置为棱SA的中点． 1.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH. 证明　连接MO(图略)． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC的中点． 又∵M是PC的中点， ∴AP∥OM. 又∵AP⊄平面BDM， OM⊂平面BDM， ∴AP∥平面BDM. 又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH. 2．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，BC∥平面PAD，BC＝AD，E是PD的中点．求证： (1)AD∥平面PBC； (2)CE∥平面PAB. 证明　(1)因为BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以AD∥BC， 又BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC， 则AD∥平面PBC. (2)如图，取PA的中点F，连接EF，BF，易得EF∥AD， 且EF＝AD， 由(1)知AD∥BC且BC＝AD， 则EF∥BC且EF＝BC，则四边形BCEF为平行四边形，则CE∥BF， 又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB， 则CE∥平面PAB. 3.如图，在四面体A－BCD中，点M为AD的中点，点P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC，求证：PQ∥平面BCD. 解　如图，取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OP，OF，FQ. 因为AQ＝3QC， 所以QF∥AD，且QF＝AD. 因为点O，P分别为BD，BM的中点， 所以OP为△BDM的中位线， 所以OP∥DM且OP＝DM. 又点M为AD的中点， 所以OP∥AD且OP＝AD. 从而OP∥QF且OP＝QF， 所以四边形OPQF为平行四边形，故PQ∥OF. 又PQ⊄平面BCD，OF⊂平面BCD， 所以PQ∥平面BCD. 4.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M的位置． 解　M是AC的中点． 若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于N，连接MN，NF，如图所示． 因为BF∥平面AA1C1C，BF⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN， 所以BF∥MN. 又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN， 所以BFNM是平行四边形， 所以MN∥BF，MN＝BF＝1. 而EC∥FB，EC＝2FB＝2， 所以MN∥EC，MN＝EC＝1， 故MN是△ACE的中位线． 所以M是AC的中点时，MB∥平面AEF. 5.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点． (1)若E，F分别是PD和BC的中点，求证：EF∥平面PAB； (2)若PB∥平面AEC，求证：E是PD中点． 证明　(1)取PA中点G，连接BG，EG，如图， 在△PAD中，因为E，G分别为所在边的中点， 所以EG∥AD，且EG＝AD， 又因为底面ABCD为平行四边形，F为BC的中点， 所以BF∥AD，且BF＝AD， 所以EG∥BF，且EG＝BF， 所以四边形BFEG为平行四边形， 所以EF∥BG，因为EF⊄平面PAB，BG⊂平面PAB， 所以EF∥平面PAB. (2)连接BD，交AC于H，连接EH，如图， 因为PB∥平面ACE，PB⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝EH， 所以PB∥EH，在△PBD中，H为BD中点， 所以E为PD中点． 学科网（北京）股份有限公司 $$