2.6.1.3 用余弦定理、正弦定理解三角形-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 [学习目标]　1.利用余弦定理、正弦定理了解三角形中边与角的关系.2.利用余弦定理、正弦定理判断三角形的形状.3.掌握余弦定理、正弦定理的简单应用． 导语 一位父亲给两个儿子分一块地，地的形状如图所示，父亲将CE连接起来，左边分给弟弟，右边分给哥哥，哥哥觉得自己的三角形地块比弟弟矩形地块面积小，埋怨父亲偏心，兄弟二人打得不可开交，这时，他们的舅舅正好路过，兄弟二人让舅舅评理，舅舅说给他们算一下各自地块的面积，他拿来皮尺和一个测角仪，测出∠CED的大小，量出CE，DE的长度及BC的长度，经过计算发现这两块地面积一样大，平息了这场争吵． 舅舅是怎样计算三角形地块的面积的呢？这节课我们学习用余弦定理、正弦定理来解三角形． 知识梳理 1．利用余弦定理和正弦定理进行边角转化 (1)cos A＝；cos B＝； cos C＝. (2)2Rsin A＝a，2Rsin B＝b，2Rsin C＝c(其中R为△ABC外接圆的半径)． 2．利用余弦定理判断三角形的形状：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)若a2>b2＋c2，则cos A＝<0，△ABC为钝角三角形； (2)若a2＝b2＋c2，则cos A＝＝0，△ABC为直角三角形； (3)若a2<b2＋c2且b2<a2＋c2且c2<a2＋b2，则cos A＝>0，cos B＝>0， cos C＝>0，△ABC为锐角三角形． 3．三角形特色的变形和结论 由A＋B＋C＝180°可得 (1)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，tan(A＋B)＝－tan C. (2)sin ＝cos ，cos ＝sin . 4．重要结论：在△ABC中， (1)若sin A＝sin B或cos A＝cos B，则A＝B； (2)若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝； (3)acos B＋bcos A＝c，bcos C＋ccos B＝a，acos C＋ccos A＝b. 一、解平面几何问题 例1　在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠ABC＝105°，∠C＝60°，BC＝1，CD＝2. (1)求∠CBD的大小； (2)求AB的值． 解　(1)在△BCD中，由余弦定理，得 BD＝ ＝＝. 由BC＝1，CD＝2，得BC2＋BD2＝CD2， ∴∠CBD＝90°. (2)∵∠ABC＝105°，∠DBC＝90°， ∴∠ABD＝105°－90°＝15°， ∴∠ADB＝180°－∠A－∠ABD＝120°， 在△ABD中，由正弦定理得＝， ∴AB＝＝＝. 反思感悟　此类题目求解时，一般有如下思路： (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦定理、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题． 跟踪训练1　(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，b＝1，S△ABC＝. ①求c的值； ②求sin C的值． 解　①在△ABC中，S△ABC＝bcsin A＝， 所以×1×c×＝， 所以c＝4. ②在△ABC中，由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以a2＝12＋42－2×1×4×＝13， 所以a＝， 在△ABC中，由正弦定理得＝， 所以sin C＝＝＝. (2)如图，已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝，b＝，c＝2，D为BC的中点． ①求cos∠BAC的值； ②求AD的值． 解　①在△ABC中，由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B，∴7＝a2＋4－2×2×a×， 即(a－3)(a＋1)＝0，解得a＝3(a＝－1舍去)， ∴cos∠BAC＝＝＝. ②方法一　由①得，a＝3，∴BD＝. 在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B＝4＋－2×2××＝. ∴AD＝. 方法二　如图，取AC的中点E，连接DE，则DE＝AB＝1， AE＝AC＝， cos∠AED＝－cos∠BAC. 在△ADE中，由余弦定理得AD2＝AE2＋DE2－2AE·DE·cos∠AED＝＋1－2××1×＝.∴AD＝. 二、余弦定理、正弦定理与其他知识的综合 例2　已知函数f(x)＝a·b，其中a＝，b＝(2,1)，x∈R. (1)求函数y＝f(x)的单调递减区间； (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值． 解　(1)f(x)＝a·b＝2cos＋1， 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z)． (2)∵f(A)＝2cos＋1＝－1， ∴cos＝－1. 又0<A<π，故<2A＋＜， ∴2A＋＝π，即A＝. ∵a＝， 由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7.① ∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线， ∴2sin B＝3sin C．由正弦定理得2b＝3c，② 由①②，可得b＝3，c＝2. 反思感悟　解三角形往往与三角函数、平面向量的有关知识综合起来考查，其中熟练掌握三角函数的图象、向量数量积及向量平行与垂直是解答此类问题的前提和基础． 跟踪训练2　已知(a2＋bc)x2＋2x＋1＝0是关于x的二次方程，其中a，b，c是△ABC的三边． (1)若方程有两个相等实数根，求角A的度数； (2)若A为钝角，试判断方程根的情况． 解　(1)因为方程有两个相等实数根， 所以Δ＝4(b2＋c2－a2)－4bc＝0， 即b2＋c2－a2＝bc， 又cos A＝＝，A∈(0，π) 所以A＝60°. (2)因为A为钝角， 所以cos A＝<0， 即b2＋c2－a2<0， 所以Δ＝4(b2＋c2－a2)－4bc<0， 故原方程无实数根． 三、平面几何中的证明问题 例3　在△ABC中，2B＝A＋C，b＝1，求证：1<a＋c≤2. 证明　因为A＋B＋C＝180°， 又2B＝A＋C，所以B＝60°， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得1＝a2＋c2－ac， 即(a＋c)2－1＝3ac≤， 所以0<a＋c≤2，当且仅当a＝c时，等号成立． 又a＋c>b＝1， 故1<a＋c≤2. 反思感悟　三角形中的不等关系的证明有两种策略 一是利用正弦定理将边转化为角的正弦，利用三角函数值域的有界性即可得出； 二是应用余弦定理，借助于基本不等式和三角形三边关系，便可得到． 跟踪训练3　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A，且B为钝角．证明：B－A＝. 证明　由a＝btan A及正弦定理， 得＝＝， 所以sin B＝cos A， 即sin B＝sin. 因为B为钝角，所以A为锐角， 所以＋A∈， 则B＝＋A，即B－A＝. 1．知识清单： (1)利用正余弦定理求解平面几何问题． (2)正余弦定理与其他知识的综合． (3)利用正余弦定理证明有关平面几何中的问题． 2．方法归纳：化归转化、数形结合． 3．常见误区：利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现不等价变形． 1．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则由c2＝a2＋b2－2abcos C，得13＝9＋b2－2×3b×，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1(负值舍去)，即AC＝1. 2．(多选)在△ABC中，若a＝2bsin A，则B等于(　　) A. B. C. D. 答案　AC 解析　由正弦定理，得sin A＝2sin Bsin A，所以sin A·(2sin B－)＝0.因为0<A<π，0<B<π，所以sin A≠0，sin B＝，所以B＝或. 3．在△ABC中，sin B＝2sin A，a＋c＝3，且cos C＝，则a＝________. 答案　1 解析　∵sin B＝2sin A，∴b＝2a， 又a＋c＝3，∴c＝3－a， ∴cos C＝＝＝， 整理，得a2＋2a－3＝0，解得a＝1(a＝－3舍去)． 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝，b＝3，sin C＝2sin A，则c＝________，·＝__________. 答案　2　8 解析　在△ABC中，sin C＝2sin A，a＝， 由正弦定理可得c＝2a＝2. 在△ABC中，a＝，b＝3，c＝2. 由余弦定理可得cos B＝ ＝＝， ·＝cacos B＝2××＝8. 1．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且满足＝＝，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 答案　C 解析　由正弦定理＝＝，及＝＝，得＝＝，即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形． 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为(　　) A．5 B．6 C．7 D．7.5 答案　A 解析　由余弦定理，得b·＋a·＝c2，故c＝1(c＝0舍去)，即△ABC的周长为5. 3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则C等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由＝和3sin A＝5sin B， 得3a＝5b，即b＝a，又b＋c＝2a， ∴c＝a， ∴由余弦定理，得cos C＝＝＝－， 又C∈(0，π)，∴C＝. 4．(多选)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A＝60°，b＝2，c＝＋1，则下列说法正确的是(　　) A．C＝75°或C＝105° B．B＝45° C．a＝ D．该三角形的面积为 答案　BC 解析　由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A ＝4＋4＋2－2×2×(＋1)×＝6， 所以a＝. 由正弦定理得，sin B＝＝＝. 又0°<B<120°， 所以B＝45°，所以C＝180°－B－A＝75°， S△ABC＝bcsin A ＝×2×(＋1)×＝， 故BC正确，AD错误． 5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则等于(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 答案　A 解析　∵asin A－bsin B＝4csin C， ∴由正弦定理，得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2. 由余弦定理，得cos A＝ ＝＝＝－，∴＝6. 6．在△ABC中，AB＝4，AC＝2，D为BC的中点，且AD＝2，则cos∠BAC等于(　　) A．－ B. C．－ D．－ 答案　A 解析　如图，设BD＝DC＝x，由题得 cos∠BDA＋cos∠ADC＝0， 所以＋＝0，解得x＝. 在△ABC中，cos∠BAC＝＝＝－. 7．在△ABC中，已知3b＝2asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是________． 答案　等边三角形 解析　由3b＝2asin B，得＝，根据正弦定理，得＝，所以＝， 即sin A＝.又角A是锐角，所以A＝60°. 又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角， 所以B＝C.故△ABC为等边三角形． 8．已知⊙O的半径为R，在它的内接△ABC中有2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B成立，则C＝________. 答案　 解析　由正弦定理，得 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 因为2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B， 所以(2R)2(sin2A－sin2C)＝2R(a－b)sin B， 所以a2－c2＝(a－b)b，即a2＋b2－c2＝ab. 所以cos C＝＝. 因为0<C<π，所以C＝. 9．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－. (1)求B的大小； (2)若b＝，a＋c＝4，求a的值． 解　(1)由余弦定理，得cos B＝， cos C＝， ∴原式化为·＝－， 整理，得a2＋c2－b2＋ac＝0， ∴cos B＝＝＝－， 又0<B<π，∴B＝. (2)将b＝，a＋c＝4，B＝， 代入b2＝a2＋c2－2accos B得， 13＝a2＋(4－a)2－2a(4－a)·cos ， 即a2－4a＋3＝0.解得a＝1或a＝3. 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c，向量m＝(b，c)，且满足|m|2＝a2＋bc. (1)求角A的大小； (2)若a＝，求△ABC的周长的最大值． 解　(1)∵m＝(b，c)，且|m|2＝a2＋bc， ∴b2＋c2＝a2＋bc， 由余弦定理，得cos A＝＝， ∵0<A<π，∴A＝. (2)由a＝，A＝及余弦定理， 得a2＝b2＋c2－2bccos A， 即a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc ≥(b＋c)2－3×2＝， ∴(b＋c)2≤4a2＝12， ∴<b＋c≤2，当且仅当b＝c＝时，等号成立， 因此，△ABC的周长的最大值为3. 11．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cos A，则△ABC不可能为(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 答案　BD 解析　由cos A＝以及<cos A， 得<，即a2＋c2<b2， 则cos B＝<0， 所以角B为钝角，故△ABC为钝角三角形． 12．在平面四边形ABCD中，∠ABC＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则四边形ABCD的面积等于(　　) A. B．5 C．6 D．7 答案　B 解析　连接BD，如图， 在△BCD中，由于BC＝CD＝2，∠C＝120°， ∴∠CBD＝＝30°，∴∠ABD＝90°. 在△BCD中，由余弦定理知，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD＝22＋22－2×2×2×＝12，∴BD＝2， ∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝AB·BD＋BC·CDsin ∠BCD＝×4×2＋×2×2×＝5. 13．(多选)定义运算＝mn－pq.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足＝0，则下列结论正确的是(　　) A．sin A＋sin C＝2sin B B．A∶C＝1∶2 C．B的最大值为 D．若asin A＝4csin C，则△ABC为钝角三角形 答案　ACD 解析　由＝0， 可得(a＋b＋c)－3(a＋c－b)＝0，整理可得a＋c＝2b，由正弦定理可得sin A＋sin C＝2sin B，故A正确； 因为A＝B＝C＝满足a＋c＝2b，但不满足A∶C＝1∶2，故B不正确； cos B＝＝＝≥＝＝(当且仅当a＝c时等号成立)，又0<B<π，∴B的最大值为，故C正确； 由asin A＝4csin C，可得a2＝4c2，即a＝2c，又a＋c＝2b，所以c＝b，a＝b，a为最大边， cos A＝＝＝－<0，A∈(0，π)，所以A为钝角，△ABC为钝角三角形，故D正确． 14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Asin Bcos C＝sin2C，则＝______，C的最大值为________． 答案　2　 解析　∵2sin Asin Bcos C＝sin2C， ∴由正弦定理得2abcos C＝c2， 由余弦定理得a2＋b2－c2＝c2， 则＝2， ∴cos C＝＝≥＝＝， ∵0<C<π，∴0<C≤， 当且仅当a＝b时，等号成立． 即C的最大值为. 15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，B＝，若a2＋c2＝4ac，则＝________. 答案　 解析　因为＝＝4，B＝， 所以b2＝5ac. 由正弦定理，得sin2B＝5sin Asin C＝， 所以sin Asin C＝， 所以＝＝＝. 16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asin C. (1)证明：BD＝b； (2)若AD＝2DC，求cos∠ABC. (1)证明　设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理，得sin∠ABC＝，sin C＝， 因为BDsin∠ABC＝asin C，所以BD·＝a·，即BD·b＝ac. 又因为b2＝ac，所以BD＝b. (2)解　因为AD＝2DC，如图， 在△ABC中，cos C＝，① 在△BCD中，cos C＝.② 由①②得a2＋b2－c2＝3，整理得2a2－b2＋c2＝0. 又因为b2＝ac，所以6a2－11ac＋3c2＝0， 即(3a－c)(2a－3c)＝0， 解得a＝或a＝， 当a＝，b2＝ac＝时， cos∠ABC＝＝(舍去)． 当a＝，b2＝ac＝时， cos∠ABC＝＝. 所以cos∠ABC＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$