2.4.1 平面向量基本定理-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

4.1　平面向量基本定理 [学习目标]　1.了解平面向量基本定理及其意义，了解基、正交基、正交分解及标准正交基的概念.2.掌握平面向量基本定理，会用基表示平面向量.3.会用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 导语 在物理学中，一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，其作用力体现在两个方向：与斜面平行的方向和与斜面垂直的方向，故在解决问题时，常常要把重力分解为使物体沿斜面下滑的力F1和垂直于斜面的力F2.在实际应用中，常常需要把一个力、速度、位移等分解为不同方向的分量的和． 任意两个向量做加法、减法或数乘运算的结果都是一个向量，反过来，对于平面内给定的两个不共线的向量e1，e2，任一向量a都可以用形如λ1e1＋λ2e2的形式来表示． 一、平面向量基本定理 问题　已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力． 如图，通过作平行四边形，将力F分解为大小、方向不同的分力． 由力的分解得到启发，我们是否可以通过平行四边形，将向量a分解为两个向量，使向量a是这两个向量的和呢？ 提示　可以． 知识梳理 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基：把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基，记为{e1，e2}． 2．正交基、正交分解及标准正交基 (1)若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基． (2)在正交基下向量的线性表示称为正交分解． (3)若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基． 注意点： (1)基{e1，e2}不共线且是非零向量． (2)基不唯一，关键是不共线． (3)由定理可将任一向量a在给出基{e1，e2}的条件下进行分解． (4)基给定时，分解形式唯一． 例1　(多选)设{e1，e2}是平面内的一组基，则下列四组向量中，能作为基的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 答案　ACD 解析　选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴6e1－8e2与3e1－4e2共线， ∴不能作为基； 选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基． 反思感悟　考查两个向量是否能构成基，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示． 跟踪训练1　已知向量{a，b}是一组基，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________. 答案　3 解析　因为{a，b}是一组基， 所以a与b不共线， 由平面向量基本定理得 解得所以x－y＝3. 二、用基表示向量 例2　如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，选择基{a，b}，试写出向量，在此基下的分解式． 解　因为DC∥AB，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点， 所以＝＝＝b. ＝＋＋ ＝－－＋ ＝－×b－a＋b＝b－a. 延伸探究　本例中，若设BC的中点为G，则＝______________. 答案　a＋b 解析　＝＋＋ ＝－b＋a＋b＝a－b， 所以＝＋＝＋ ＝b＋a－b＝a＋b. 反思感悟　平面向量基本定理的作用以及注意点 (1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一组基都可以表示该平面内的任意一个向量．用基表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算． (2)基的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量． 跟踪训练2　如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则在基{a，b}下，可表示为______，在基{a，c}下，可表示为______． 答案　a＋b　2a＋c 解析　在基{a，b}下，＝＋＝a＋b； 在基{a，c}下，＝＋＝＋(＋)＝2＋＝2a＋c. 三、平面向量基本定理的应用 例3　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值． 解　设＝e1，＝e2， 则＝＋＝－e1－3e2， ＝＋＝2e1＋e2. ∵A，P，M和B，P，N分别共线， ∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2， ＝μ＝2μe1＋μe2. 故＝＋＝－ ＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 而＝＋＝2e1＋3e2， 由平面向量基本定理， 得解得 ∴＝，＝， ∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2. 反思感悟　若直接利用基表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即可． 跟踪训练3　平行四边形ABCD中，M，N分别为BC，CD边上的点，MC＝2BM，NC＝3DN，设＝a，＝b，＝λa＋μb，则λ＋μ＝________. 答案　 解析　如图，选，作为基向量，则有 可得 又＝＋， ∴＝a－b＋b－a＝a＋b， 又＝λa＋μb，所以λ＝，μ＝， 所以λ＋μ＝. 1．知识清单： (1)平面向量基本定理． (2)用基表示向量． (3)平面向量基本定理的应用． 2．方法归纳：列方程(组)． 3．常见误区：忽视基中的向量必须是不共线的两个向量． 1．(多选)设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组可作为表示该平面向量的一组基的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 答案　AC 解析　易知与不共线，与不共线， 故与，与可作为基． 2．下列三种说法： ①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面向量的基；②一个平面内有无数组不共线的向量可作为表示该平面向量的基；③平面内的基一 旦确定，该平面内的向量在此基下的线性分解形式就唯一确定． 其中说法正确的为(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 答案　B 3．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，在基{b，c}下，等于(　　) A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c 答案　A 解析　∵＝2，∴－＝2(－)， ∴－c＝2(b－)， ∴＝b＋c. 4．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，选择基{，}，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案　 解析　如图，＝＋ ＝＋ ＝＋(－) ＝－＋， ∵与不共线， ∴λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝－＋＝. 1．(多选)若{e1，e2}是平面内的一组基，则下列四组向量中不能作为平面向量的基的是(　　) A．{e1－e2，e2－e1} B. C．{2e2－3e1，6e1－4e2} D．{e1＋e2，e1＋3e2} 答案　ABC 解析　选项A中，两个向量互为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，e2－e1为共线向量；选项B中，2e1－e2＝2，为共线向量；选项C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，为共线向量．根据不共线的向量可以作为一组基，知只有选项D中的两向量可作为基． 2.如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于(　　) A.(5e1＋3e2) B.(5e1－3e2) C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1) 答案　A 解析　＝＝(－)＝(＋) ＝(5e1＋3e2)． 3．(多选)如果{e1，e2}是平面α内的一组基，那么下列说法正确的是(　　) A．若存在实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0 B．平面α中任意向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R C．λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内 D．对于平面α内任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对 答案　AB 解析　A，B正确，平面中的任意向量都可以用一组基唯一表示；C错，平面α内任意向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D错，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是无数对． 4．在△ABC中，＝，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设＝a，＝b，则用a，b表示为(　　) A.(a－b) B.(b－a) C.(a－b) D.(b－a) 答案　D 解析　由题意得＝＝(－) ＝(－)＝(b－a)． 5.如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则等于(　　) A. B. C．3 D. 答案　A 解析　由题意可得，＝－＝－， ＝＋＝＋＝＋＝＋， 据此可知λ＝，μ＝，∴＝. 6．(多选)如图所示，已知P，Q，R分别是△ABC三边AB，BC，CA上靠近点A，B，C的四等分点，如果＝a，＝b，以下向量表示正确的是(　　) A.＝－a－b B.＝－a＋b C.＝－a＋b D.＝a－b 答案　BC 解析　由已知可得＝－＝b－a，故D错误； 因为P，Q，R分别是△ABC三边AB，BC，CA的四等分点， 由＝－＝－ ＝－a－(b－a)＝－a－b，故A错误； ＝－＝－＋ ＝－b＋(b－a)＝－a＋b，故B正确； ＝－＝－＝－a＋b，故C正确． 7．已知向量a在基{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基{e1＋e2，e1－e2}下可以表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝______，μ＝______. 答案　　－ 解析　由题意可知a＝(λ＋μ)e1＋(λ－μ)e2， 则解得 8.如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝b，若＝2，则＝________.(用a和b表示) 答案　a＋b 解析　设＝λ(λ∈R)，则＝λ(＋) ＝λ＝λ＋λ. 因为D，O，B三点共线，所以λ＋λ＝1， 解得λ＝， 所以＝＋＝a＋b. 9.如图，在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，试用a，b表示，. 解　方法一　设AC，BD交于点O，则有＝＝＝a，＝＝＝b. 所以＝＋＝－＝a－b， ＝＋＝a＋b. 方法二　设＝x，＝y， 则＝＝y， 又 所以解得 所以＝a－b，＝a＋b. 10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：{a，b}可以作为一组基； (2)选择基{a，b}，试写出向量c＝3e1－e2在此基下的分解式． (1)证明　假设a＝λb(λ∈R)， 则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)． 由e1，e2不共线，得 无解． 故a与b不共线，{a，b}可以作为一组基． (2)解　设c＝ma＋nb(m，n∈R)， 则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2) ＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2. 所以解得 所以c＝2a＋b. 11．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则等于(　　) A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b C．λa＋b D. a＋ b 答案　D 解析　∵＝λ(λ≠－1)， ∴－＝λ(－)， ∴(1＋λ)＝＋λ， ∴＝＋ ＝a＋b. 12.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧上的两个三等分点，＝a，＝b，则等于(　　) A．a－b B.a－b C．a＋b D.a＋b 答案　D 解析　连接CD，OD(图略)， ∵点C，D是半圆弧上的两个三等分点， ∴＝，∴CD∥AB，∠CAD＝∠DAB＝30°， ∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠DAO＝30°， ∴∠CAD＝∠ADO＝30°， ∴AC∥DO， ∴四边形ACDO为平行四边形，＝＋. ∵＝＝a，＝b， ∴＝a＋b. 13．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为(　　) A．AB边中线的中点 B．AB边中线的三等分点(非重心) C．△ABC的重心 D．AB边的中点 答案　B 解析　∵O是△ABC的重心， ∴＋＋＝0， ∴＝＝， ∴点P是线段OC的中点， 即AB边中线的三等分点(非重心)． 14．已知在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝________. 答案　 解析　＝－＝x－y， 由∥，可设＝λ(λ∈R)， 即x－y＝λ(－)＝λ ＝－＋λ， 所以则＝. 15.如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________. 答案　6 解析　如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作▱OMCN，使得M在射线OA上，N在射线OB上， 则存在λ，μ，使＝λ，＝μ， 即＝＋＝λ＋μ. 在Rt△OCM中，∵||＝2，∠COM＝30°， ∴||＝4，∴＝4， 又||＝||＝2，∴＝2， ∴＝＋＝4＋2， 即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6. 16.如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，BM＝BC，AN＝AB. (1)试用向量a，b来表示，； (2)若AM交DN于点O，求AO∶OM的值． 解　(1)因为AN＝AB， 所以＝＝a， 所以＝－＝a－b. 因为BM＝BC，所以＝＝＝b， 所以＝＋＝a＋b. (2)因为A，O，M三点共线，所以∥， 存在实数λ使＝λ， 则＝－＝λ－＝λ－b ＝λa＋b. 因为D，O，N三点共线， 所以∥，存在实数μ使＝μ， 则λa＋b＝μ＝μa－μb. 由于向量a，b不共线，则 解得 所以＝，＝， 所以AO∶OM＝3∶11. 学科网（北京）股份有限公司 $$