2.2.1 向量的加法-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

2.1　向量的加法 [学习目标]　1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则做两个向量的加法运算.3.理解向量加法的运算律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性． 导语 我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？ 唐僧当年取经的路线是从东土大唐出发，先绕到新疆，再往天竺，若孙悟空单独前往，可以直接飞往西天，两种走法的位移相同吗？如果把位移看成向量，从向量的物理背景和数的运算中得到启发，我们就引入了向量的运算． 一、向量加法的平行四边形法则 问题1　两个向量相加就是两个向量的模相加吗？ 提示　不是，向量相加要考虑大小及方向，而模相加是数量的加法． 问题2　物体在天车的作用下，同时进行竖直向上方向的位移和水平向右方向的位移，实际位移可以看作竖直向上方向的位移与水平向右方向的位移的合成．请画出位移的合成． 提示　如图所示． 知识梳理 1．向量加法的定义 求两个向量和的运算，称为向量的加法． 2．向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线的向量a，b，如图，在平面内任取一点A，作有向线段＝a，＝b，以有向线段和为邻边作▱ABCD，则有向线段表示的向量即为向量a与b的和，记作a＋b.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则． 注意点： (1)a，b，a＋b同起点． (2)仅适用于不共线的两个向量求和． (3)对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. 例1　如图所示，用向量加法的平行四边形法则作出a＋b. 解　如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作平行于向量的向量＝b，连接BC，则四边形OACB为平行四边形，＝a＋b. 反思感悟　应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 (1)平移两个不共线的向量使之共起点． (2)以这两个已知向量为邻边作平行四边形． (3)平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和． 跟踪训练1　已知||＝3，||＝3，∠AOB＝90°，则|＋|＝________. 答案　3 解析　以OA，OB为邻边作平行四边形OADB(图略)，由∠AOB＝90°，||＝||＝3，所以该四边形为正方形，则|＋|＝＝3. 二、向量加法的三角形法则 问题3　假如家住石家庄的张先生准备去北京出差，他乘飞机先从石家庄到天津，再乘火车从天津到北京，则张先生的位移是多少？ 提示　如图所示． 则张先生的位移是＝c. 知识梳理 1.如图，作有向线段＝a，以有向线段的终点为起点，作有向线段＝b，连接A，C得到有向线段，也可以表示向量a与b的和．这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则． 2．向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 三角形法则 平行四边形法则 区别 (1)首尾相接； (2)适用于任何两个非零向量求和 (1)共起点； (2)仅适用于不共线的两个向量求和 推广 (1)若A1，A2，A3，…，An为平面n边形的顶点，则＋＋＋…＋＝； (2)若三角形ABC的边BC的中点为D，则＝(＋) 3.平面向量加法的三角形不等式 在||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中，当且仅当a与b同向或反向时取等号． 注意点： (1)首尾相接，再首尾连． (2)适用于所有向量求和． 例2　(1)如图①所示，求作向量a＋b； (2)如图②所示，求作向量a＋b＋c. 解　(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b， 则向量＝a＋b.如图③所示． (2)方法一　(三角形法则)如图④所示， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a， 再作向量＝b， 则得向量＝a＋b， 然后作向量＝c， 则向量＝a＋b＋c. 　　　　　　 方法二　(平行四边形法则)如图⑤所示， 首先在平面内任取一点O， 作向量＝a，＝b，＝c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则＝＋＝a＋b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， 则＝＋＝a＋b＋c. 反思感悟　应用三角形法则求向量和的基本步骤 (1)平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合． (2)以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和． 跟踪训练2　如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量． (1)＋＝____________； (2)＋＝____________； (3)＋＝____________. 答案　(1)　(2)　(3)0 解析　(1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故＋＝. (2)因为＝，故＋与方向相同， 长度为的长度的2倍， 故＋＝. (3)因为＝， 故＋＝＋＝0. 三、向量加法的运算律 问题4　实数的加法运算满足结合律，即对任意a，b，c∈R，都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．那么向量的加法也满足结合律吗？如何检验？ 提示　满足．如图，检验如下： (a＋b)＋c＝(＋)＋＝＋＝； a＋(b＋c)＝＋(＋)＝＋＝. 所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 问题5　实数的加法运算满足交换律，即对任意a，b∈R，都有a＋b＝b＋a，那么向量的加法也满足交换律吗？如何检验？ 提示　满足．如图，检验如下： a＋b＝＋＝； b＋a＝＋＝. 所以a＋b＝b＋a. 知识梳理 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 注意点： (1)当向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立． (2)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行． 例3　化简： (1)＋； (2)＋＋； (3)＋＋＋＋. 解　(1)＋＝＋＝. (2)＋＋＝＋＋ ＝(＋)＋＝＋＝0. (3)＋＋＋＋ ＝＋＋＋＋ ＝＋＋＋ ＝＋＋ ＝＋＝0. 反思感悟　向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 跟踪训练3　已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________. 答案　2 解析　|＋＋＋|＝|＋＋＋|＝|＋|＝2||＝2. 四、向量加法的实际应用 例4　河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船在静水中的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，求小船的实际航行速度． 解　设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内任意一点O作 ＝a，＝b，以OA，OB为邻边作矩形OACB，连接OC，如图， 则＝a＋b，并且即为小船的实际航行速度． ∴||＝＝ ＝20(km/h)， ∵tan∠AOC＝＝， ∴∠AOC＝60°， ∴小船的实际航行速度为20 km/h，沿北偏东30°的方向航行． 反思感悟　应用向量解决实际问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题． (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题． 跟踪训练4　如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计) 解　如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示， 则＋＝. 由题意可得∠ECG＝180°－150°＝30°， ∠FCG＝180°－120°＝60°. ∴||＝||cos 30°＝10×＝5(N)， ||＝||cos 60°＝10×＝5(N)． ∴A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N. 1．知识清单： (1)向量加法的平行四边形法则． (2)向量加法的三角形法则． (3)向量加法的运算律． (4)向量加法的实际应用． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点． 1．化简＋＋等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根据平面向量加法的运算律，得 ＋＋＝(＋)＋ ＝＋＝. 2．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　以OP，OQ为邻边作平行四边形OPFQ(图略)，则对角线OF对应的向量是，所以即为所求的向量． 3.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝. 4．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a＋b|＝____ km；向量a＋b的方向为________． 答案　8　东北 解析　如图所示，作＝a， ＝b， 则a＋b＝＋＝， 所以|a＋b|＝||＝ ＝8(km)． 因为∠AOB＝45°，所以a＋b的方向是东北． 1.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于(　　) A．0 B. C. D. 答案　D 解析　＋＋＝＋＋＝＋＝. 2.＋＋＋＋等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝.故选C. 3．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示(　　) A．向东北方向航行2 km B．向北偏东30°方向航行2 km C．向北偏东60°方向航行2 km D．向东北方向航行(1＋)km 答案　B 解析　如图，易知tan α＝， 所以α＝30°. 故a＋b的方向是北偏东30°， |a＋b|＝2 km，故选B. 4．若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是(　　) A．正三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 答案　D 解析　由于||＝|a|＝1，||＝|b|＝1， ||＝|a＋b|＝， 所以△ABC为等腰直角三角形．故选D. 5．向量“a，b不共线”是“|a＋b|<|a|＋|b|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　当向量“a，b不共线”时，由向量三角形的性质可得“|a＋b|<|a|＋|b|”成立，即充分性成立，当“a，b方向相反”时，满足“|a＋b|<|a|＋|b|”，但此时两个向量共线，即必要性不成立，故向量“a，b不共线”是“|a＋b|<|a|＋|b|”的充分不必要条件． 6．(多选)在▱ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列等式中成立的是(　　) A．a＋b＝c B．a＋d＝b C．b＋d＝a D．|a＋b|＝|c| 答案　ABD 解析　由向量加法的平行四边形法则，知a＋b＝c成立，故|a＋b|＝|c|也成立；由向量加法的三角形法则，知a＋d＝b成立，b＋d＝a不成立． 7.如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．则 (1)＋＋＝________； (2)＋＋＝________. 答案　(1)　(2)0 8．在边长为1的等边三角形ABC中，|＋|＝________，|＋|＝________. 答案　1　 解析　易知|＋|＝||＝1， 以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC(图略)， 则|＋|＝||＝2||×sin 60° ＝2×1×＝. 9.如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式： (1)＋＋； (2)＋＋； (3)＋＋. 解　(1)＋＋＝＋＝. (2)＋＋＝(＋)＋ ＝＋＝. (3)＋＋＝＋＋ ＝＋＝. 10．在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向． 解　作出图形，如图所示． 设船行进的方向与岸成α角， 由图可知v水＋v船＝v实际， 结合已知条件，得四边形ABCD为平行四边形， 在Rt△ACD中， ||＝||＝|v水|＝10(m/min)， ||＝|v船|＝20(m/min)， ∴cos α＝＝＝， ∴α＝60°，从而船行进的方向与水流方向成120°角． ∴船沿与水流方向成120°角的方向行进． 11．(多选)下列说法错误的有(　　) A．如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方向相同 B．若向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向与向量a的方向相同 C．若＋＋＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点 D．若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b| 答案　ACD 解析　A错，若a＋b＝0，则a＋b的方向是任意的； B正确，若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同，若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向仍与a的方向相同； C错，当A，B，C三点共线时，也满足＋＋＝0； D错，|a＋b|≤|a|＋|b|. 12．已知|a|＝3，|b|＝5，则向量a＋b模长的最大值是________． 答案　8 解析　∵|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8， ∴|a＋b|的最大值为8. 13．已知||＝||＝，且∠AOB＝120°，则|＋|＝________. 答案　 解析　以，为邻边作▱OACB(图略)，∵||＝||， ∴▱OACB为菱形， ∴|＋|＝||， ∵∠AOB＝120°，∴△OAC为正三角形， ∴||＝. 14．已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝________. 答案　0 解析　如图所示，连接AG并延长交BC于点E， 则点E为BC的中点，延长AE到点D，使GE＝ED， 则＋＝，＋＝0， ∴＋＋＝0. 15．若点P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝________. 答案　120° 解析　由＋＝知四边形ACBP为平行四边形． 又因为点P为△ABC的外心， 所以PA＝PB＝PC，四边形ACBP为菱形， 所以PA＝PC＝AC， 所以∠ACP＝60°， 易得∠ACB＝120°. 16.如图，已知点D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，求证：＋＋＝0. 证明　连接DE，EF，FD，如图， ∵D，E，F分别是△ABC三边的中点， ∴EF∥AD，DE∥AF， ∴四边形ADEF为平行四边形， 由向量加法的平行四边形法则， 得＋＝，① 同理在平行四边形BEFD中， ＋＝，② 在平行四边形CFDE中，＋＝，③ 将①②③相加， 得＋＋＝＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$