1.8 三角函数的简单应用-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

[学习目标]　1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 导语 温州市区著名景点——江心屿，江心屿上面有座寺庙——江心寺，在江心寺中题了一副非常知名的对联．上联是：云朝朝　朝朝朝　朝朝朝散；下联是：潮长长　长长长　长长长消．该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面．如表是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表： 时间 0 1 3 6 8 9 12 15 18 21 24 水深 6 6.25 7.5 5 2.84 2.5 5 7.5 5 2.5 5 问题1　仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信息？ 提示　水深随时间的变化呈周期变化． 问题2　以时间为横坐标，水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在直角坐标系中，你能得到什么结论？ 提示　若用平滑的曲线顺次连接各点，则大致呈正弦曲线． 知识梳理 1．利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤： 第一步：阅读理解，审清题意． 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题． 第二步：收集、整理数据，建立数学模型． 根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化． 第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答． 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案． 2．三角函数模型的建立程序 如图所示： 一、三角函数模型在生活中的应用 例1　如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题： (1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？ 解　(1)由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0， 由周期为12分钟可知，＝12， 即ω＝， 所以y＝40.5－40cos t(t≥0)． (2)设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米． 由60.5＝40.5－40cos t0， 得cos t0＝－， 所以t0＝或t0＝， 解得t0＝4或t0＝8， 所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米， 故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)． 反思感悟　解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案． 跟踪训练1　如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在距离地面2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时． (1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式； (2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m. 解　(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处．这时此人所转过的角为 t＝ t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h＝10sin t＋12(t≥0)． (2)由10sin t＋12≥17，得sin t≥， 则25≤t≤125. 故此人有100 s相对于地面的高度不小于17 m. 二、三角函数模型在物理中的应用 例2　一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin. (1)画出它的图象； (2)回答以下问题： ①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置的位移是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大位移是多少？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？ 解　(1)周期T＝＝1(s)． 列表： 2πt＋ π 2π t 0 1 6sin 3 6 0 －6 0 3 描点画图． (2)①小球开始摆动(即t＝0)时， 离开平衡位置的位移为3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大位移是6 cm. ③小球来回摆动一次需要1 s(即周期)． 反思感悟　此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径． 跟踪训练2　已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ)． (1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果t在任意一段的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 解　(1)由题图可知A＝300， 设t1＝－，t2＝， 则周期T＝2(t2－t1)＝2＝. ∴ω＝＝150π. 又当t＝时，I＝0，即sin＝0， 而|φ|<，∴φ＝. 故所求的解析式为I＝300sin. (2)依题意知，周期T≤，即≤(ω>0)， ∴ω≥300π>300×3.14＝942，又ω∈N＋， 故所求最小正整数ω＝943. 1．知识清单： (1)三角函数模型在生活中的应用． (2)三角函数模型在物理中的应用． 2．方法归纳：数学建模、数形结合． 3．常见误区： (1)注意函数的定义域，尤其是实际意义． (2)注意作结论时应回到实际问题中． 1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式为I＝2sin 100πt，t∈(0，＋∞)，则电流I变化的周期是(　　) A. B．100 C. D．50 答案　C 解析　T＝＝＝. 2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋b，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 答案　C 解析　由图象知ymin＝2. 因为ymin＝－3＋b，所以－3＋b＝2， 解得b＝5， 所以这段时间水深的最大值是 ymax＝3＋b＝3＋5＝8. 3．下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为____________________． 答案　h＝－6sin t，t∈[0,24] 解析　根据题图设h＝Asin(ωt＋φ)， 则A＝6，T＝＝12，∴ω＝. 点(6,0)为“五点(画图)法”中的第一点， ∴×6＋φ＝0，∴φ＝－π， ∴h＝6sin＝－6sin t，t∈[0,24]． 4．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃. 答案　20.5 解析　由题意可知A＝＝5， a＝＝23， 从而y＝5cos＋23. 故10月份的平均气温为 y＝5cos＋23＝20.5. 1.如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(单位：s)满足函数解析式θ＝sin，则当t＝0时，角θ的大小及单摆的频率是(　　) A.， B．2， C.，π D．2，π 答案　A 解析　当t＝0时，θ＝sin ＝，由函数解析式易知单摆的周期为＝π，故单摆的频率为. 2.(多选)如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是(　　) A．该质点的运动周期为0.8 s B．该质点的振幅为5 cm C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大 D．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零 答案　ABD 解析　由题图可知，＝0.7－0.3＝0.4，所以T＝0.8；最小值为－5，所以振幅为5 cm；在0.1 s和0.5 s时，质点到达运动的端点，所以速度为0. 3.如图表示电流强度I与时间t的关系I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数解析式可以是(　　) A．I＝300sin B．I＝300sin C．I＝300sin D．I＝300sin 答案　C 解析　A＝300，T＝2＝， ω＝＝100π， I＝300sin(100πt＋φ)． 代入点，得100π×＋φ＝0， 取φ＝，∴I＝300sin. 4．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则下列时间段内人流量是增加的是(　　) A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20] 答案　C 解析　由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C. 5．某市某房地产中介对该市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示： x 1 2 3 y 10 000 9 500 ？ 则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(　　) A．10 000元 B．9 500元 C．9 000元 D．8 500元 答案　C 解析　因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)， 所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000； 当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500， 所以ω可取，φ可取π， 即y＝500sin＋9 500. 当x＝3时，y＝9 000. 6.如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面的高度满足y＝Asin(ωt＋φ)＋b，A>0，ω>0，φ∈[－π，π]，已知某摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速运动，每10分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点，则y(米)关于t(分钟)的解析式为(　　) A．y＝60－50sin t(t>0) B．y＝60－50cos t(t>0) C．y＝60－50cos t(t>0) D．y＝60－50sin t(t>0) 答案　B 解析　因为函数y＝Asin(ωt＋φ)＋b的最大值为110，最小值为10，因此有解得A＝50，b＝60，而函数y＝Asin(ωt＋φ)＋b的周期为10， 即T＝10，则ω＝＝，又当t＝0时，ymin＝10， 则sin φ＝－1，而φ∈[－π，π]，解得φ＝－， 所以y＝50sin＋60＝60－50cos t(t>0)． 7．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数是________． 答案　80 解析　T＝＝(分)，f＝＝80(次/分)． 8.如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)，则8时的温度大约为__________℃(精确到1 ℃，取≈1.414)． 答案　13 解析　由图象可得b＝20，A＝10，T＝14－6＝8， ∴T＝16＝⇒ω＝，y＝10sin＋20. ∵最低点坐标为(6,10)， ∴10sin＋20＝10， 得sin＝－1， 于是＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， ∴φ＝＋2kπ(k∈Z)， 取φ＝， ∴y＝10sin＋20. 当x＝8时，y＝10sin＋20＝20－5≈13. 9．某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律： ①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同； ②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)若入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0,0<|φ|<π)近似描述，求该函数解析式； (2)请问哪几个月份要准备不少于400人的用餐？ 解　(1)因为函数为y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0,0<|φ|<π)， 由①，周期T＝＝12， 所以ω＝； 由②，f最小，f最大，且f－f＝400， 故A＝200； 由③，f(x)在[2,8]上单调递增，且f(2)＝100， 所以f(8)＝500， 所以解得 又f(2)最小，f(8)最大， 所以 由于0<<π，所以φ＝－， 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为 f(x)＝200sin＋300(x∈N＋，且1≤x≤12)． (2)由条件可知，200sin＋300≥400， 化简得sin≥， 所以2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)， 解得12k＋6≤x≤12k＋10(k∈Z)． 因为x∈N＋，且1≤x≤12， 故x＝6,7,8,9,10. 即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物． 10．已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]． (1)求该地这一段时间内的最大温差； (2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？ 解　(1)当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30 ℃， 当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10 ℃， 所以最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃. (2)令10sin＋20＝15， 得sin＝－， 而x∈[4,16]，所以x＝. 令10sin＋20＝25， 得sin＝， 而x∈[4,16]，所以x＝. 当x∈时，x－∈， 所以函数y在上单调递增． 故该细菌能存活的最长时间为－＝(小时)． 11.如图是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式y＝Asin(ωt＋φ)＋2，则(　　) A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3 C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5 答案　B 解析　由题意知A＝3，ω＝＝. 12．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据对应关系的函数是(　　) A．y＝12＋3sin t，t∈[0,24] B．y＝12＋3sin，t∈[0,24] C．y＝12＋3sin t，t∈[0,24] D．y＝12＋3sin，t∈[0,24] 答案　A 解析　由图表可得函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的最大值为15，最小值为9， 故k＝＝12，A＝＝3， 由于当函数取得最大值时，相邻的两个t值分别为t＝3和t＝15， 故函数的周期等于15－3＝12＝， 解得ω＝， 故函数的解析式为y＝12＋3sin， 由当t＝0时，函数值等于12， 可得12＋3sin φ＝12，∴sin φ＝0， ∴φ＝kπ，k∈Z，故可取φ＝0， 故函数的解析式为y＝12＋3sin t，t∈[0,24]． 13.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置P(t，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为(　　) A．y＝sin，t∈[0，＋∞) B．y＝sin，t∈[0，＋∞) C．y＝sin，t∈[0，＋∞) D．y＝sin，t∈[0，＋∞) 答案　C 解析　由题意可得函数初相为，排除B，D. 又T＝60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60， 所以|ω|＝，即ω＝－.故选C. 14．(多选)筒车亦称为“水转筒车”，是一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1 000多年的历史．如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒P的初始位置为点D(水面与筒车右侧的交点)，从此处开始计时，下列结论正确的是(　　) A．t分钟时，以射线OA为始边，OP为终边的角为t－ B．t分钟时，该盛水筒距水面的距离为米 C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面的距离相等 D．1个小时内有20分钟该盛水筒距水面的距离不小于3米 答案　ACD 解析　以O为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)， 设t分钟时，盛水筒与水面的距离为y米， 函数解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b，因为半径为3，所以A＝3， O距水面的距离为1.5， 所以b＝1.5，每6分钟转一圈， 所以T＝6， 所以ω＝＝，所以y＝3sin＋1.5， 当t＝0时，y＝0，所以3sin φ＋1.5＝0， 即sin φ＝－， 取φ＝－，所以y＝3sin＋1.5， 所以t分钟时，以射线OA为始边，OP为终边的角为t－， 该盛水筒距水面的距离为米， 故A正确，B错误； 当t＝1时，y＝3sin＋1.5＝3； 当t＝3时，y＝3sin＋1.5＝3；故C正确； 令y＝3sin＋1.5≥3， 即sin≥，在一个周期内≤t－≤，解得1≤t≤3，即筒车旋转一周 ，有2分钟该盛水筒距水面距离不小于3米， 1个小时内有10个周期，所以有2×10＝20(分钟)该盛水筒距水面的距离不小于3米，故D正确． 15．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60(美元)(A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价为80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________． 答案　 解析　因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60，最高油价为80美元， 所以A＝20. 当t＝150(天)时达到最低油价， 即sin＝－1， 此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z， 因为ω>0，所以令k＝1， 得150ωπ＋＝2π－，解得ω＝. 故ω的最小值为. 16.如图为一个观览车示意图，该观览车的巨轮的半径OB＝4.8 m，巨轮上最低点A与地面之间的距离为0.8 m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ(0≤θ<2π)角到OB，设点B与地面之间的距离为h. (1)求h＝f(θ)的解析式； (2)若当θ＝时对应巨轮边沿上一点M，求点M到地面的距离． 解　(1)如图，过点B作BD垂直于地面于点D，过点O作OC⊥BD于点C， 由于∠BOA＝θ， 则∠BOC＝θ－， 根据三角函数的定义， 可得BC＝OBsin∠BOC＝4.8sin＝－4.8cos θ， 而CD＝4.8＋0.8＝5.6， 于是h＝f(θ)＝CD＋BC＝5.6－4.8cos θ(0≤θ<2π)． (2)由(1)知h＝f(θ)＝5.6－4.8cos θ(0≤θ<2π)， 易得f ＝5.6－4.8cos ＝8， 即点M到地面的距离是8 m. 学科网（北京）股份有限公司 $$