1.7 正切函数-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

[学习目标]　1.理解任意角的正切函数的定义.2.能画出y＝tan x的图象.3.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间内的单调性.4.正切函数诱导公式的推导及应用． 导语 在初中阶段，我们就已经知道，在一个直角三角形中，我们将一个角的正弦、余弦和正切分别定义为对边与斜边的比、邻边与斜边的比和对边与邻边的比．在前面的课程中，我们又讨论了正弦和余弦问题，给出了正弦函数和余弦函数的定义，同时也对正弦函数和余弦函数的诱导公式进行了深入探究，那么正切函数是如何定义的呢？正切函数的诱导公式又是什么样的呢？本节课就让我们一起来研究吧！ 一、正切函数的定义 问题1　设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么何时有意义？正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？ 提示　当a≠0时，有意义．tan α＝＝，α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)． 知识梳理 根据函数的定义，比值是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tan x，其中定义域为. 注意点： 特殊角的正切值： α 0 tan α 0 1 － －1 － 例1　若角θ的终边经过点A，且tan θ＝，则m＝________. 答案　－ 解析　由正切函数的定义得，＝， 解得m＝－. 反思感悟　求正切函数值的两种方法 (1)先求出角的正弦函数、余弦函数值，再利用正切函数的定义求解． (2)已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，利用结论tan α＝. 跟踪训练1　若tan α＝，利用三角函数的定义，求sin α和cos α. 解　∵tan α＝＞0，∴角α是第一或第三象限角． ①若角α是第一象限角，则由tan α＝知，角α的终边上必有一点P(2,1)， ∴r＝|OP|＝＝. ∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝. ②若角α是第三象限角，则由tan α＝知，角α的终边上必有一点P(－2，－1)， ∴r＝|OP|＝＝. ∴sin α＝＝＝－， cos α＝＝＝－. 二、正切函数的诱导公式 问题2　根据正切函数定义，以及正弦函数、余弦函数相应的诱导公式，当－<α<，推导角α与角π＋α，＋α的正切值有什么关系． 提示　tan(π＋α)＝＝＝tan α， tan＝＝＝－. 知识梳理 正切函数的诱导公式 角 正切 kπ＋x(k∈Z) tan x －x －tan x π－x －tan x ＋x － －x 注意点： (1)诱导公式的记忆方法：函数名不变，符号看象限(把x看作锐角时原函数值的符号)； (2)公式中的x≠kπ＋(k∈Z)且在tan＝－与tan＝中x≠kπ(k∈Z)． (3)正切函数值的符号 角所在象限 一 二 三 四 正切函数值符号 正 负 正 负 例2　求下列各式的值． (1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°； (2). 解　(1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3×1＋1＝－2. (2)原式＝ ＝＝＝2＋. 反思感悟　(1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键． (2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值． 跟踪训练2　求值：. 解　原式＝ ＝＝＝. 三、正切函数的图象与性质 问题3　学习了y＝sin x，y＝cos x的图象与性质后，明确了y＝sin x，y＝cos x的图象是“波浪”型，连续不断的，且都是周期函数，都有最大(小)值．类比y＝sin x，y＝cos x的图象与性质．y＝tan x是周期函数吗？有最大(小)值吗？正切函数的图象是连续的吗？ 提示　y＝tan x是周期函数，且T＝π，无最大、最小值．正切函数的图象在定义域上不是连续的． 知识梳理 1．正切函数的图象称作正切曲线． 2．正切函数的性质 函数 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 周期性 最小正周期是π 奇偶性 奇函数 对称中心 ，k∈Z 单调性 在每一个区间，k∈Z上单调递增 注意点： (1)图象在x轴上方的部分下凹；在x轴下方的部分上凸． (2)图象被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z隔开，图象无限接近这些直线，但永不相交． (3)正切函数不是轴对称图形，没有对称轴． 例3　(1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)： ①tan ________tan ； ②tan ________tan. 答案　①<　②< 解析　①tan ＝tan ，且0<<<， 又y＝tan x在上单调递增， 所以tan <tan ，即tan <tan . ②tan ＝tan ，tan＝tan ， 因为0<<<， 且y＝tan x在上单调递增， 所以tan <tan ， 即tan <tan. (2)求函数y＝tan的单调区间． 解　∵y＝tan x在(k∈Z)上是增函数， ∴－＋kπ<2x－<＋kπ(k∈Z)， 即－＋<x<＋(k∈Z)． ∴函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)，无单调递减区间． 反思感悟　(1)运用正切函数的单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系． (2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法 y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． 跟踪训练3　求函数y＝3tan的单调递减区间． 解　y＝3tan可化为 y＝－3tan， 由kπ－<x－<kπ＋，k∈Z， 得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z， 故函数的单调递减区间为，k∈Z. 例4　设函数f(x)＝tan. (1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心； (2)求不等式－1≤f(x)≤的解集． 解　(1)由－≠＋kπ(k∈Z)， 得x≠＋2kπ(k∈Z)， 所以f(x)的定义域是. 因为ω＝，所以最小正周期T＝＝＝2π. 由－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)， 得－＋2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)． 所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)，无单调递减区间． 由－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)， 故函数f(x)的对称中心是(k∈Z)． (2)由－1≤tan≤， 得－＋kπ≤－≤＋kπ(k∈Z)， 解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)． 所以不等式－1≤f(x)≤的解集是 . 反思感悟　解答正切函数图象与性质问题的注意点 (1)对称性：正切函数图象的对称中心是 (k∈Z)，不存在对称轴． (2)单调性：正切函数在每一个区间(k∈Z)上都单调递增，但不能说其在定义域内单调递增． 跟踪训练4　画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性． 解　由y＝|tan x|得 y＝ 其图象如图． 由图象可知，函数y＝|tan x|的定义域为，值域为[0，＋∞)，是偶函数． 函数y＝|tan x|的周期T＝π， 函数y＝|tan x|的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z. 1．知识清单： (1)正切函数的概念． (2)正切函数的诱导公式． (3)正切函数的图象与性质． 2．方法归纳：整体代换、换元法． 3．常见误区：最小正周期T＝，在定义域内不单调，对称中心为(k∈Z)． 1．函数y＝2tan的定义域为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　函数y＝2tan， 令2x＋≠＋kπ，k∈Z， 解得x≠＋，k∈Z， 所以函数的定义域为. 2．函数y＝－2＋tan的单调递增区间是(　　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 答案　A 解析　由－＋kπ<x＋<＋kπ，k∈Z， 解得－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z. 3．函数y＝tan，x∈的值域为_____________________________________． 答案　(－1，) 解析　∵x∈， ∴x－∈， ∴tan∈(－1，)，∴值域为(－1，)． 4．比较大小：tan ________tan . 答案　> 解析　因为tan ＝tan ，tan ＝tan ， 又0<<<， y＝tan x在上单调递增， 所以tan <tan ，即tan <tan . 1．函数y＝tan的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由x－≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z. 2．函数f(x)＝sin xtan x(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 答案　B 解析　f(x)的定义域为，关于原点对称， 又f(－x)＝sin(－x)·tan(－x)＝sin x·tan x＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． 3．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为，则ω的值是(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 答案　C 解析　由题意可得f(x)的最小正周期为，则＝，又∵ω>0，∴ω＝4. 4．(多选)与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是(　　) A．x＝ B．x＝－ C．x＝ D．x＝－ 答案　AD 解析　令2x－＝＋kπ，k∈Z， 得x＝＋，k∈Z，∴直线x＝＋，k∈Z与函数y＝tan的图象不相交，∴令k＝－1，x＝－.k＝0，x＝. 5．(多选)已知函数f(x)＝tan，则(　　) A．f(x)的周期为 B．f(x)的定义域为 C．f >f  D．f(x)在上单调递增 答案　ACD 解析　函数f(x)＝tan的最小正周期为T＝，故A正确；由2x－≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以函数f(x)的定义域为，故B错误； f ＝tan＝tan ＝， f ＝tan＝tan＝， 所以f >f ，故C正确； x∈时，2x－∈， 所以f(x)在上单调递增，故D正确． 6．已知α∈[0,2π)，点P(1，tan 2)是角α终边上一点，则α等于(　　) A．π＋2 B．2 C．π－2 D．2－π 答案　A 解析　因为tan 2<0，所以点P在第四象限，即α是第四象限角， 又tan α＝tan 2＝tan(π＋2)，α∈[0,2π)，所以α＝π＋2. 7．函数y＝的定义域为________________________________________________． 答案　 解析　令1－tan x≥0， 即tan x≤1， 由正切函数的图象知－＋kπ<x≤＋kπ，k∈Z. 8．函数y＝的值域为______________． 答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析　当－<x<0时，－1<tan x<0， 所以<－1； 当0<x<时，0<tan x<1， 所以>1. 即当x∈∪时， 函数y＝的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 9．已知角α的终边经过点P. (1)求tan α的值； (2)求·的值． 解　(1)由题意得，tan α＝＝＝－. (2)原式＝· ＝＝＝. 又cos α＝－， 故所求式子的值为－. 10．已知函数f(x)＝3tan. (1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)试比较f(π)与f 的大小． 解　(1)因为f(x)＝3tan ＝－3tan， 所以T＝＝＝4π. 由kπ－<－<kπ＋(k∈Z)， 得4kπ－<x<4kπ＋(k∈Z)． 因为y＝3tan在区间 (k∈Z)上单调递增， 所以f(x)＝－3tan在区间 (k∈Z)上单调递减． 故原函数的最小正周期为4π， 单调递减区间为，k∈Z. (2)f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan ， f ＝3tan＝3tan＝－3tan ， 因为0<<<， 且y＝tan x 在上单调递增， 所以tan <tan ，所以f(π)>f . 11．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点，则φ可以是(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　A 解析　因为函数的图象过点， 所以tan＝0， 所以＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z. 当k＝0时，φ＝－，故A正确． 12．已知函数y＝tan ωx在区间上单调递减，则(　　) A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0 C．ω≥1 D．ω≤－1 答案　B 解析　∵y＝tan ωx在上单调递减， ∴ω<0且T＝≥π， ∴－1≤ω<0. 13．下列图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x； ③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是(　　) A．①②③④ B．①③④② C．③②④① D．①②④③ 答案　D 解析　y＝tan(－x)＝－tan x在上单调递减，只有图象d符合，即d对应③，故选D. 14．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为________． 答案　[－4,4] 解析　∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1. 令tan x＝t，则t∈[－1,1]， ∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5. ∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4， 当t＝1，即x＝时，ymax＝4. 故所求函数的值域为[－4,4]． 15．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　) 答案　D 解析　当<x<π时，tan x<sin x，y＝2tan x<0；当x＝π时，y＝0；当π<x<时，tan x>sin x，y＝2sin x，且－2<y<0.所以只有D选项中的图象符合． 16．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3)． (1)求f(x)的解析式； (2)求满足f(x)≥的x的取值范围． 解　(1)由题意可得f(x)的周期为 T＝－＝＝， 因为ω>0，所以ω＝， 得f(x)＝Atan，它的图象过点， 所以Atan＝0， 即tan＝0， 所以＋φ＝kπ，k∈Z， 所以φ＝kπ－，k∈Z， 又|φ|<，所以φ＝－， 所以f(x)＝Atan， 又函数f(x)的图象过点(0，－3)， 所以Atan＝－3， 得A＝3. 所以f(x)＝3tan. (2)因为3tan≥， 所以tan≥， 得kπ＋≤x－<kπ＋，k∈Z， 解得＋≤x<＋，k∈Z， 所以满足f(x)≥的x的取值范围是 ，k∈Z. 学科网（北京）股份有限公司 $$