1.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象(2)-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

[学习目标]　1.会用“五点(画图)法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式.3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相． 导语 在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数(其中A，ω，φ为常数)，例如，在简谐振动中位移与时间的函数关系就是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，其中振子在一段时间内的图象如图所示． 你能根据图象，求出A，ω，φ吗？这节课我们继续学习函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象． 一、“五点(画图)法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象 问题　在前面我们根据“五点(画图)法”能作出函数y＝sin x的图象，我们如何利用“五点(画图)法”作出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象？ 提示　整体代换思想，令ωx＋φ分别为0，，π，，2π，解出x，从而确定五点的坐标． 知识梳理 用“五点(画图)法”作y＝Asin(ωx＋φ) 的图象的步骤 第一步：列表： ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － y 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线顺次连接这些点，形成图象． 例1　利用“五点(画图)法”作出函数y＝3sin在一个周期内的图象． 解　依次令－＝0，，π，，2π，列出下表： － 0 π 2π x y 0 3 0 －3 0 描点，连线，如图所示． 反思感悟　(1)用“五点(画图)法”作图时，五点的确定，应先令ωx＋φ分别为0，，π，，2π，解出x，从而确定这五点． (2)作给定区间上y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图象． 跟踪训练1　已知f(x)＝1＋sin，画出f(x)在上的图象． 解　∵x∈，∴2x－∈. 列表如下： x － － － 2x－ － －π － 0 f(x) 2 1 1－ 1 1＋ 2 描点，连线，如图所示． 二、函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质及应用 知识梳理 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质 名称 性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 对称中心 (k∈Z) 对称轴 x＝＋(k∈Z) 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数； 当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 注意点： 在求函数y＝Asin(ωx＋φ)的基本性质时，应注意将ωx＋φ看作一个整体，即整体代换． 例2　已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)上最高点为(2，)，该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交于点(6,0)． (1)求函数的解析式； (2)求函数在x∈[－6,0]上的值域． 解　(1)由题意可知A＝，＝6－2＝4， ∴T＝16，即＝16，∴ω＝， ∴y＝sin. 又图象过最高点(2，)，∴sin＝1， 故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z， 由|φ|≤，得φ＝，∴y＝sin. (2)∵－6≤x≤0，∴－≤x＋≤， ∴－≤sin≤1. 即函数在x∈[－6,0]上的值域为[－，1]． 反思感悟　研究函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值与值域、对称性等性质时，把ωx＋φ看作一个整体，借助正弦函数y＝sin x的性质，可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质，在其中研究该函数的单调性时，要关注ω的符号． 跟踪训练2　设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，函数y＝f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝. (1)求φ的值； (2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值． 解　(1)由2x＋φ＝kπ＋，k∈Z， 得x＝＋－，k∈Z， 令＋－＝，k∈Z， 得φ＝kπ＋，k∈Z.∵－π<φ<0， ∴φ＝－. (2)由(1)知，f(x)＝sin. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， 故函数的单调递增区间是 ，k∈Z， 同理可得函数的单调递减区间是 ，k∈Z. 当2x－＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z时，函数取得最大值1； 当2x－＝2kπ－，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z时，函数取得最小值－1. 三、函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 知识梳理 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 2．由图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的方法． (1)由函数图象上的最大值、最小值来确定A. (2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝确定ω. (3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法 ①代入法：把图象上的一个最高点或最低点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上) ②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝； “第五点”为ωx＋φ＝2π. 例3　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式． 解　方法一　(逐一定参法) 由图象知振幅A＝3，又T＝－＝π， ∴ω＝＝2.由图象过点可知， －×2＋φ＝2kπ，k∈Z， 又|φ|<，∴φ＝，∴y＝3sin. 方法二　(待定系数法) 由图象知A＝3，又图象过点和，根据五点作图法原理(以上两点可判定为“五点法”中的第三点和第五点)，有解得 ∴y＝3sin. 方法三　(图象变换法) 由T＝π，点，A＝3可知， 图象是由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得到的，∴y＝3sin 2，即y＝3sin. 反思感悟　已知图象求y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法 方法一：如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取“第一个零点”(即五点作图法中的第一个)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一个点是“第一零点”)求得φ. 方法二：通过若干特殊点代入函数解析式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． 方法三：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，根据图象平移规律可以确定相关的参数． 跟踪训练3　已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ≤π)的图象如图所示，则φ＝________. 答案　 解析　由题意得＝2π－， 所以T＝，ω＝. 又由x＝时，y＝－1， 得－1＝sin， 又－<＋φ≤， 所以＋φ＝，所以φ＝. 1．知识清单： (1)“五点(画图)法”． (2)由图象求三角函数的解析式． (3)三角函数的性质的综合问题． 2．方法归纳：特殊点法、数形结合法、整体法． 3．常见误区：求φ值时注意递增区间上的零点和递减区间上的零点的区别． 1．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝对称；(3)在上单调递增”的一个函数是(　　) A．y＝sin B．y＝cos C．y＝sin D．y＝cos 答案　C 解析　由(1)知T＝π＝，ω＝2，排除A. 由(2)(3)知x＝时，f(x)取最大值， 验证知只有C符合要求． 2.如图为函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的图象的一部分，则函数的解析式为________． 答案　y＝sin 解析　由图象，可得A＝， ·＝－，∴ω＝2. ∵函数图象过点， ∴sin＝0， ∴＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z， 又∵－π<φ<0，∴φ＝－， 故函数的解析式为y＝sin. 3．函数y＝－2sin＋1的最大值为________，取得最大值时x的取值集合为________． 答案　3　 解析　ymax＝－2×(－1)＋1＝3， 令2x－＝－＋2kπ，k∈Z， 解得x＝－＋kπ，k∈Z. 4．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)图象的一条对称轴是直线x＝，则φ的值为________． 答案　－π 解析　由题意知2×＋φ＝＋kπ，k∈Z， 所以φ＝＋kπ，k∈Z， 又－π<φ<0， 所以φ＝－π. 1．函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　) A．4π B．2π C．π D. 答案　C 解析　由题意得T＝＝π. 2．(多选)若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x有f ＝f ，则f 等于(　　) A．－3 B．－1 C．0 D．3 答案　AD 解析　由于函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f ＝f ，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称，则f 是函数f(x)的最大值或最小值，则f ＝－3或3. 3.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图，则其解析式为(　　) A．f(x)＝2sin B．f(x)＝sin C．f(x)＝2sin D．f(x)＝2sin 答案　C 解析　由图象知，A＝2，T＝－＝π， 所以ω＝2，又函数图象过点， 所以2sin＝0， 所以－＋φ＝kπ，k∈Z， 所以φ＝＋kπ，k∈Z，φ可取， 所以f(x)＝2sin. 4．已知函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点的距离为，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝cos ωx的图象(　　) A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 答案　A 解析　由已知得＝2×，故ω＝2. y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度可得 y＝cos 2＝cos的图象． 5．(多选)函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数，则关于函数f(x)的图象，下列说法不正确的是(　　) A．关于点对称 B．关于直线x＝－对称 C．关于点对称 D．关于直线x＝对称 答案　ABC 解析　将函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后，可得y＝cos的图象，根据得到的函数是奇函数，可得－＋φ＝kπ＋，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝cos. 令x＝－，求得f(x)＝cos＝－，故A不正确； 令x＝－，求得f(x)＝cos＝0，故B不正确； 令x＝，求得f(x)＝cos 0＝1，为函数的最大值，故C不正确，D正确． 6.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为(　　) A．－ B．－ C. D．－ 答案　D 解析　由函数f(x)是奇函数，且0<φ<π，可得φ＝.由图象及已知可得函数的最小正周期为4，得ω＝.由△EFG的边FG上的高为，可得A＝，所以f(x)＝cos， 所以f(1)＝cos π＝－. 7．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)在一个周期内，当x＝时有最大值2，当x＝时有最小值－2，则ω＝________，φ＝________. 答案　2　 解析　由题意知，T＝2×＝π， 所以ω＝＝2；又因为当x＝时有最大值2， 所以2sin＝2sin＝2， 所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|≤， 所以φ＝. 8．已知函数f(x)＝－2cos ωx(ω>0)的图象关于点对称，且f(x)在区间上单调，则f(π)＝__________. 答案　 解析　函数f(x)＝－2cos ωx的图象关于点对称，所以－2cos＝0， 即ω＝kπ＋，k∈Z， 得到ω＝k＋，k∈Z， 因为f(x)在区间上单调， 所以≥，即T≥， 所以≥，所以ω≤， 而ω>0，所以k＝0，ω＝. 则f(π)＝. 9．已知函数f(x)＝sin＋. (1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调递增区间； (2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心； (3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合． 解　(1)函数f(x)的振幅为， 最小正周期T＝＝π， 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)， 则x＝＋(k∈Z)， 所以对称轴方程为x＝＋(k∈Z)； 令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－(k∈Z)， 所以对称中心为(k∈Z)． (3)当sin＝－1， 即2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)， 即x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为， 此时x的取值集合是. 10．已知函数f(x)＝sin. (1)请用“五点(画图)法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图； (2)求函数f(x)的单调递增区间； (3)试问y＝f(x)的图象是由y＝sin x经过怎样变换得到？ 解　(1)列表如下： 2x－ 0 π 2π x f(x) 0 1 0 －1 0 描点连线，图象如图所示． (2)令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间是 ，k∈Z. (3)先将y＝sin x的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象的横坐标缩短为原来的，即可得到y＝f(x)的图象． 11.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的部分图象如图所示，若A>0，ω>0，|φ|<，则(　　) A．b＝4 B．φ＝ C．ω＝1 D．A＝4 答案　B 解析　由函数图象可知f(x)min＝0，f(x)max＝4. 所以A＝＝2，b＝＝2. 由周期T＝＝4知ω＝2. 由f ＝4得2sin＋2＝4， sin＝1， 又|φ|<，故φ＝. 12．把函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)，则ω和φ的值分别为(　　) A．1， B．2， C.， D.， 答案　B 解析　依题意得f(x)第一次变换得到的函数解析式为m(x)＝2cos， 则函数g(x)＝2cos. 因为函数g(x)的最小正周期为2π，所以ω＝2， 则g(x)＝2cos. 又因为函数g(x)为奇函数，0<φ<π， 所以φ＋＝kπ＋(k∈Z)，则φ＝. 13．(多选)关于函数f(x)＝4sin(x∈R)，下列命题中正确的是(　　) A．由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍 B．y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos C．y＝f(x)的图象关于点对称 D．y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称 答案　BC 解析　对于A，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝－(k∈Z)，∴x1－x2是的整数倍，∴A错； 对于B，f(x)＝4sin利用公式，得 f(x)＝4cos＝4cos， ∴B对； 对于C，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ，k∈Z，∴x＝－，k∈Z. ∴是函数y＝f(x)的一个对称中心， ∴C对； 对于D，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ，k∈Z，∴x＝＋，k∈Z，∴D错． 14．已知函数f(x)＝1＋2sin，x∈.若不等式f(x)－m<2在x∈上恒成立，则实数m的取值范围为____________． 答案　(1，＋∞) 解析　∵x∈，2x－∈， ∴sin∈， ∴f(x)∈[2,3]． ∵不等式f(x)－m<2在x∈上恒成立， 即不等式f(x)<m＋2在x∈上恒成立， ∴f(x)max<m＋2，∴3<m＋2，∴m>1. 15．已知函数f(x)＝sin(ω>0)，f ＝f ，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________. 答案　 解析　依题意知f(x)＝sin(ω>0)，f ＝f ，且f(x)在区间上有最小值，无最大值， ∴f(x)的图象关于直线x＝对称， 即关于直线x＝对称，且－<T＝， ∴·ω＋＝＋2kπ，k∈Z，且0<ω<12， ∴ω＝. 16.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求方程f(x)－lg x＝0的解的个数． 解　(1)由题图，知A＝2， 由函数图象过点(0,1)，得f(0)＝1， 即sin φ＝， 又|φ|<，所以φ＝. 易知点是五点作图法中的第五点， 所以ω＋＝2π， 所以ω＝2. 因此所求函数的解析式为f(x)＝2sin. (2)在同一平面直角坐标系中作函数y＝f(x)和函数y＝lg x的图象如图所示． 因为f(x)的最大值为2， 令lg x＝2，得x＝100， 令＋kπ<100(k∈Z)， 得k≤30(k∈Z)． 而＋31π>100， 且＋30π＋<100， 所以在区间(0,100]内有31个形如 (k∈Z,0≤k≤30)的区间． 在每个区间上y＝f(x)与y＝lg x的图象都有两个交点，故这两个函数的图象在上有2×31＝62(个)交点． 另外，两函数的图象在上还有一个交点， 所以方程f(x)－lg x＝0共有63个实数解． 学科网（北京）股份有限公司 $$