1.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象(1)-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

[学习目标]　1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响.2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系． 导语 在物理中，简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数．如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象． 将测得的图象放大到如图(2)所示，可以看出它和正弦曲线相似．本节课我们就来探究y＝Asin(ωx＋φ)与函数y＝sin x的关系． 一、ω(ω>0)对y＝sin ωx的图象的影响 问题1　观察y＝sin x与y＝sin 2x的函数图象，分别求出两个函数的最小正周期，你能得出ω(ω>0)对y＝sin ωx的图象有什么影响吗？ 提示　2π，π；ω影响函数的最小正周期． 问题2　观察y＝sin x与y＝sin 2x的函数图象，怎么由函数y＝sin x的图象得到函数y＝sin 2x的图象？ 提示　把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的. 知识梳理 1．ω(ω>0)对y＝sin ωx图象的影响 2．最小正周期T＝. 例1　将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)而得到的图象的解析式为________________． 答案　y＝sin 反思感悟　对于函数y＝sin x，若横坐标变为原来的ω倍，则得到函数y＝sin ，即横向伸缩是反比例伸缩变换． 跟踪训练1　把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到的图象的解析式是________． 答案　y＝sin 2x 二、φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 问题3　观察y＝sin x与y＝sin的函数图象，探究由y＝sin x的图象通过怎样的变换可以得到y＝sin的图象？ 提示　将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度． 问题4　由函数y＝sin ωx的图象通过怎样的变换可以得到y＝sin(ωx＋φ)的图象？ 提示　函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sin ωx的图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位长度得到． 知识梳理 例2　函数y＝sin的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？ 解　函数y＝sin的图象，可以看作将函数y＝sin x图象上的所有点向右平移个单位长度得到的． 延伸探究 1．若将本例中y＝sin改为y＝cos，其他不变，又该怎样变换？ 解　y＝cos＝sin＝sin，可以看作是把y＝sin x图象上的所有点向左平移个单位长度得到的． 2．将本例改为：函数y＝sin的图象可由y＝sin 2x的图象经过怎样变换得到？ 解　y＝sin＝sin 2，可由y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到． 反思感悟　对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数．再观察x前的系数，当x前的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位长度和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位长度． 跟踪训练2　要得到y＝sin的图象，只要将y＝sin 2x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案　D 解析　y＝sin＝sin 2. 故要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度． 三、A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 问题5　观察y＝sin与y＝2sin的函数图象，探究由y＝sin的图象通过怎样的变换可以得到y＝2sin的图象？ 提示　将函数y＝sin的图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin的图象． 知识梳理 A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 注意点： (1)A影响函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值． (2)纵向伸缩是正比例伸缩变换． 例3　把函数y＝f(x)的图象上的各点向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的，所得图象的解析式是y＝2sin，求f(x)的解析式． 解　y＝2siny＝3sin y＝3siny＝3sin＝3sin＝3cos x. 所以f(x)＝3cos x. 反思感悟　(1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法． (2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可． 跟踪训练3　将y＝sin x的图象怎样变换可得到函数y＝2sin＋1的图象？ 解　方法一　①把y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin x的图象； ②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到y＝2sin 2x的图象； ③将所得图象沿x轴向左平移个单位长度， 得到y＝2sin 2的图象； ④将所得图象沿y轴向上平移1个单位长度， 得到y＝2sin＋1的图象． 方法二　①将y＝sin x的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象； ②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到y＝sin的图象； ③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin的图象； ④将所得图象沿y轴向上平移1个单位长度， 得到y＝2sin＋1的图象． 1．知识清单： (1)伸缩变换． (2)平移变换． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：先平移后伸缩和先伸缩后平移得到的结果不一样． 1．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为(　　) A．2 B. C．4 D. 答案　B 2．要得到y＝sin的图象，只要将函数y＝sin 的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案　C 3．将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标____________(填“伸长”或“缩短”)为原来的______________倍，将会得到函数y＝3sin的图象． 答案　伸长　3 解析　A＝3>1，故将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍，即可得到函数y＝3sin的图象． 4．将函数f(x)＝cos 2x的图象纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g＝________. 答案　－2 解析　将函数f(x)＝cos 2x的图象纵坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的解析式为y＝2cos 2x， 则g(x)＝2cos 2 ＝2cos， 故g＝2cos ＝－2. 1．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象(　　) A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 答案　B 解析　y＝sin＝sin 2，故将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin的图象． 2．函数y＝cos x的图象上的每一点的纵坐标保持不变，将横坐标变为原来的，然后将图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的解析式为(　　) A．y＝sin 2x B．y＝－sin 2x C．y＝cos D．y＝cos 答案　B 解析　y＝cos x的图象上每一点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到y＝cos 2x的图象；再把y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度，就得到y＝cos 2＝cos＝－sin 2x的图象． 3．将函数y＝2sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为函数y＝2sin的图象向左平移m个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin，所以＋m＝kπ＋，k∈Z，即m＝kπ＋，k∈Z.又m>0，所以m的最小值为. 4．函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是(　　) A. B．2 C．1 D. 答案　C 解析　依题意得，函数f ＝sin ω (ω>0)的图象过点， 于是有f ＝sin ω＝sin ωπ＝0(ω>0)， 所以ωπ＝kπ，k∈N＋，即ω＝k，k∈N＋， 因此正数ω的最小值是1. 5．(多选)有下列四种变换：其中能使y＝sin x的图象变为y＝sin的图象的是(　　) A．向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的 B．向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的 C．各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 D．各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 答案　AD 解析　由y＝sin x的图象变为y＝sin的图象有两种变换方式，第一种：先平移，后伸缩，向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的；第二种：先伸缩，后平移，各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度． 6．把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)等于(　　) A．y＝cos B．y＝cos C．y＝cos D．y＝cos 答案　D 解析　由题设，f ＝sin， 令t＝2，则x＝＋， 所以f(t)＝sin， 即f(x)＝sin＝cos ＝cos＝cos. 7．将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin(4x＋φ)(0<φ<π)的图象，则φ的值为________． 答案　 解析　将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，得y＝sin 4＝sin，所以φ的值为. 8．已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)，将f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)为偶函数，则φ的值为______． 答案　－ 解析　将f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数g(x)＝2sin＝2sin， 因为函数g(x)为偶函数， 所以＋φ＝kπ＋，k∈Z， 又|φ|<，所以φ＝－. 9．函数f(x)＝5sin－3的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？ 解　先把函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得y＝sin的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得y＝sin的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，得函数y＝5sin的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y＝5sin－3的图象． 10．使函数y＝f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，然后再将其图象沿x轴向左平移个单位长度得到的曲线与y＝sin 2x的图象相同，求f(x)的解析式． 解　方法一　(正向变换) y＝f(x)y＝f(2x)y＝f ， 即y＝f ，∴f ＝sin 2x. 令2x＋＝t，则2x＝t－， ∴f(t)＝sin，即f(x)＝sin. 方法二　(逆向变换) 根据题意得，y＝sin 2x y＝sin 2＝sin y＝f(x)＝sin. 11．将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为(　　) A．y＝sin x B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 答案　B 解析　将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝sin＝sin的图象，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象． 12．为了得到函数y＝cos的图象，需将函数y＝－sin图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案　D 解析　y＝－sin ＝－sin＝cos， 将其图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y＝cos＝cos的图象． 13．设ω>0，函数y＝sin＋2的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是(　　) A. B. C. D．3 答案　C 解析　y＝sin＋2 y1＝sin＋2＝sin＋2. 因为y与y1的图象重合，所以－ω＝2kπ(k∈Z)．所以ω＝－k.又因为ω>0，k∈Z， 所以k＝－1时，ω取最小值为. 14．下列函数中：①y＝－sin 2x；②y＝cos 2x；③y＝3sin，其图象仅通过向左(或向右)平移就能与函数y＝sin 2x的图象重合的是________．(填上符合要求的函数对应的序号) 答案　①② 解析　将y＝－sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得到y＝－sin＝sin 2x的图象，故①符合要求； 将y＝cos 2x＝sin的图象向右平移个单位长度，可得到y＝sin＝sin 2x的图象，故②符合要求； 对于③，y＝3sin，无论向左还是向右平移，纵坐标不变，故不符合条件． 15．已知函数f(x)＝Asin ωx(A>0，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y＝g(x)．若g＝，则f 的值为________． 答案　 解析　∵f(x)的最小正周期为π， ∴＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝Asin 2x， 将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 所得图象对应的函数为g(x)＝Asin x， ∵g＝， ∴g＝Asin ＝A＝， ∴A＝2，∴f(x)＝2sin 2x， ∴f ＝2sin ＝2×＝. 16．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象． (1)求函数f(x)的解析式； (2)当x∈[0,3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，求m的取值范围． 解　(1)将y＝sin x的图象向左平移个单位长度可得y＝sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝sin的图象，故f(x)＝sin. (2)令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 则4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)， 令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 则4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)， 又x∈[0,3π]， 所以当x∈时，f(x)单调递增， 当x∈时，f(x)单调递减， 当x∈时，f(x)单调递增， 所以f(x)max＝1，f(x)min＝－1， 当x＝0时，f(x)＝，当x＝3π时，f(x)＝－. 故使方程f(x)＝m有唯一实数根的m的取值范围为m∈∪{－1,1}． 学科网（北京）股份有限公司 $$