1.5.1.2 正弦函数的性质-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

第2课时　正弦函数的性质 [学习目标]　1.理解、掌握正弦函数的性质.2.会求简单函数的值域.3.能利用单调性比较三角函数值的大小． 导语 当我们遇到一个新函数时，它总具有许多基本性质，要直观、全面地了解基本特性，自然是从它的图象入手，画出它的图象，观察图象的形状，看它的特殊点，并借助它的图象研究它的性质，如值域、单调性、奇偶性、最值等．今天我们就一起来学习正弦函数的性质吧． 一、正弦函数的性质 问题1　请大家认真观察正弦曲线，简单地说出正弦函数的定义域、值域、奇偶性． 提示　定义域：R；值域：[－1,1]；奇偶性：图象关于原点对称，为奇函数． 问题2　请大家认真观察正弦曲线，探索正弦函数图象的对称性，它有对称轴吗？有对称中心吗？ 提示　正弦函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形． 对称轴为x＝＋kπ，k∈Z；对称中心为(kπ，0)，k∈Z. 问题3　观察正弦曲线，正弦函数是不是单调函数？ 提示　正弦函数不是单调函数，但有多个单调区间． 知识梳理 函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 图象 定义域 R 最大(小)值和值域 当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1； 当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1. 值域是[－1,1] 周期性 是周期函数，2π是它的最小正周期 单调性 在区间，上单调递增； 在区间，上单调递减 奇偶性 奇函数，图象关于原点对称 对称轴 x＝＋kπ，k∈Z 对称中心 (kπ，0)，k∈Z 注意点： (1)y＝sin x的图象夹在y＝±1之间． (2)正弦函数的对称中心是正弦曲线与x轴的交点，对称中心的横坐标即为函数的零点，对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z. 二、正弦函数的周期与奇偶性 例1　判断下列函数的奇偶性，并求函数的最小正周期． (1)f(x)＝sin x(x∈R)； (2)f(x)＝|sin x|. 解　(1)∵x∈R，∴定义域关于原点对称， ∵f(－x)＝sin＝－sin x＝－f(x)， ∴f(x)＝sin x是奇函数． ∵sin＝sin＝sin x， ∴f(x)＝sin x的最小正周期是4π. (2)作出f(x)＝|sin x|的图象，如图． 由图象易知f(x)＝|sin x|是偶函数．最小正周期为π. 反思感悟　(1)求与正弦函数有关的周期的常用方法：①定义法；②公式法；③图象法． (2)函数y＝sin x，x∈[a，b]为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y＝sin x，x∈[0,2π]是非奇非偶函数． 跟踪训练1　(1)f(x)＝xsin x是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 答案　B 解析　∵x∈R，∴定义域关于原点对称， 又f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． (2)判断等式sin＝sin是否成立．如果成立，能否说明是函数y＝sin x的周期？ 解　sin＝sin  ＝sin＝－sin ， 而sin＝－sin ， 所以上述等式成立， 但不能说明是函数y＝sin x的周期， 理由如下，若是函数y＝sin x的周期， 则对任意的实数x，都有sin＝sin x， 但当x＝0时，sin≠sin x， 所以不是函数y＝sin x的周期． 三、正弦函数的单调区间 例2　(1)y＝－3sin x＋1的单调递减区间为_______________________________________； (2)若x∈[0，π]，则y＝－3sin x＋1的单调递减区间为______． 答案　(1)(k∈Z) (2) 解析　(1)当－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时， y＝－3sin x＋1单调递减，∴y＝－3sin x＋1的单调递减区间为(k∈Z)． (2)若x∈[0，π]．∵(k∈Z)∩[0，π]＝，∴当x∈[0，π]时，y＝－3sin x＋1的单调递减区间为. 反思感悟　(1)结合y＝sin x的图象，熟记正弦函数的单调递增区间和单调递减区间． (2)对形如y＝asin x＋b的形式的函数．当a>0时，其单调性与y＝sin x的单调性相同；当a<0时，其单调性与y＝sin x的单调性相反． 跟踪训练2　y＝sin x＋1的单调递减区间为________________． 答案　，k∈Z 解析　y＝sin x＋1的单调递减区间为 ，k∈Z. 四、利用正弦函数单调性比较大小 例3　比较下列三角函数值的大小： (1)sin与sin； (2)sin 196°与cos 156°. 解　(1)∵sin＝－sin ， sin＝－sin＝－sin ， 由于<<<， 且y＝sin x在上是单调递减的， ∴sin >sin ， ∴－sin <－sin ， 即sin<sin. (2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°，且y＝sin x在0°≤x≤90°上是单调递增的， ∴sin 16°<sin 66°， ∴－sin 16°>－sin 66°， 即sin 196°>cos 156°. 反思感悟　(1)比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较． (2)比较sin α与cos β的大小，常把cos β转化为sin后，再依据单调性来进行比较． (3)当不能将两角转化到同一单调区间上时，还可以借助于图象或值的符号来进行比较． 跟踪训练3　比较sin 1，sin 2，sin 3的大小． 解　因为1<<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3， 又0<π－3<1<π－2<，且y＝sin x在上单调递增，所以sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2. 五、利用正弦函数的有界性求函数的值域或最值 例4　(1)求使函数y＝－2sin x＋1取得最大值和最小值的自变量x的集合，并写出其值域； (2)求使函数y＝－sin2x＋sin x＋取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最值． 解　(1)当x∈时， ymax＝－2×(－1)＋1＝3， 当x∈时， ymin＝－2×1＋1＝－1， ∴函数y＝－2sin x＋1的值域为[－1,3]． (2)令t＝sin x，则－1≤t≤1， y＝－t2＋t＋＝－2＋2. ∴当t＝时，ymax＝2，此时sin x＝， 即x∈. 当t＝－1时，ymin＝－， 此时sin x＝－1，即x∈. 反思感悟　求正弦函数的值域一般有以下两种方法 (1)将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y＝a(sin x＋b)2＋c型的值域问题． (2)利用sin x的有界性求值域，如y＝asin x＋b，－|a|＋b≤y≤|a|＋b. 跟踪训练4　已知函数f(x)＝2asin x＋b的定义域为，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值． 解　∵－≤x≤，∴－≤sin x≤1. 若a>0，则 解得 若a<0，则解得 当a＝0时，不符合题意． 故a＝12－6，b＝－23＋12或a＝－12＋6， b＝19－12. 1．知识清单： (1)正弦函数的性质． (2)正弦函数的周期性与奇偶性． (3)正弦函数的单调区间． (4)比较三角函数值的大小． (5)正弦函数的最值(值域)． 2．方法归纳：转化与化归、换元法． 3．常见误区：单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sin x本身具有的范围． 1．y＝2sin x－3，x∈R的单调递减区间为(　　) A. B. C.，k∈Z D.，k∈Z 答案　D 2．(多选)正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是(　　) A．y轴 B．直线x＝－ C．直线x＝ D．直线x＝π 答案　BC 解析　当x＝时，y取最大值， ∴直线x＝是一条对称轴， 当x＝－时y取最小值， ∴直线x＝－是一条对称轴． 3．已知函数y＝－3sin x＋2，当x＝____________时，y有最大值，最大值为________． 答案　－＋2kπ，k∈Z　5 解析　当x＝－＋2kπ，k∈Z时，(sin x)min＝－1，此时ymax＝5. 4．sin与sin的大小关系为__________________________．(用“>”连接) 答案　sin>sin 解析　sin＝sin ＝sin ＝sin＝sin ， sin＝sin＝sin ， 因为0<<<，且y＝sin x在上单调递增， 所以sin >sin ，所以sin>sin. 1．函数y＝sin(x＋π)是(　　) A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数 C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数 答案　C 解析　令f(x)＝y＝sin(x＋π)＝－sin x，因为f(－x)＝－sin(－x)＝sin x＝－f(x)，f(x＋2π)＝f(x)，所以该函数是周期为2π的奇函数． 2．当x∈[－π，π]时，函数y＝3cos的单调递减区间为(　　) A．[－π，0] B．[0，π] C. D.和 答案　C 解析　由题意可知y＝3cos＝－3sin x，因为正弦函数的单调递增区间为，k∈Z，结合x∈[－π，π]，当k＝0时，符合题意．则当x∈[－π，π]时，函数y＝3cos的单调递减区间为. 3．函数y＝2sin x＋1的值域是(　　) A．[1＋，3] B．[1＋，3] C．[1－，1＋] D．[－1,3] 答案　B 解析　画出函数y＝2sin x＋1的图象如图所示，当x＝或x＝时，最小值为1＋；当x＝时，最大值为3.故所求值域为[1＋，3]． 4．下列关系式中正确的是(　　) A．sin 11°<cos 10°<sin 168° B．sin 168°<sin 11°<cos 10° C．sin 11°<sin 168°<cos 10° D．sin 168°<cos 10°<sin 11° 答案　C 解析　∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°. ∴由正弦函数的单调性， 得sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°. 5．若sin x＝2m＋3，且x∈，则m的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为x∈，所以－≤sin x≤， 因为sin x＝2m＋3，所以－≤2m＋3≤， 解得－≤m≤－. 6．函数y＝－sin2x＋sin x＋1的最大值为(　　) A．2 B. C．1 D．0 答案　B 解析　y＝－sin2x＋sin x＋1， 令t＝sin x，t∈[－1,1]， y＝－t2＋t＋1＝－2＋， 当t＝时，ymax＝. 7．函数y＝的定义域是______________________________，单调递减区间是________________________． 答案　[2kπ－π，2kπ]，k∈Z ，k∈Z 解析　∵－2sin x≥0，∴sin x≤0， ∴2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z， 即函数的定义域是[2kπ－π，2kπ]，k∈Z. ∵y＝与y＝sin x的单调性相反， ∴函数的单调递减区间为，k∈Z. 8．若y＝asin x＋b的最大值为3，最小值为1，则ab＝______. 答案　±2 解析　当a>0时，得 所以ab＝2. 当a<0时，得 所以ab＝－2，综上所述，ab＝±2. 9．求函数f(x)＝sin2x－4sin x＋5的值域． 解　设t＝sin x，则－1≤t≤1， f(x)＝g(t)＝t2－4t＋5(－1≤t≤1)， g(t)＝t2－4t＋5的对称轴为t＝2. 因为g(t)的图象开口向上， 对称轴t＝2在区间[－1,1]右侧． 所以g(t)在[－1,1]上是单调递减的， 所以g(t)max＝g(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10， g(t)min＝g(1)＝12－4×1＋5＝2， 即g(t)∈[2,10]． 所以函数f(x)的值域为[2,10]． 10．函数y＝asin x＋1的最大值为1－a，最小值为－3. (1)求实数a的值； (2)求该函数的单调递增区间； (3)若x∈[－π，π]，求该函数的单调递增区间． 解　(1)∵ymax＝1－a， ∴a<0， 故ymin＝1＋a＝－3，∴a＝－4. (2)由(1)知，y＝－4sin x＋1， 当＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时， 函数y＝－4sin x＋1单调递增， ∴y＝－4sin x＋1的单调递增区间为 ，k∈Z. (3)∵x∈[－π，π]，(k∈Z)∩[－π，π]＝∪. ∴当x∈[－π，π]时，y＝－4sin x＋1的单调递增区间为，. 11．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|(x∈R)为奇函数，则a等于(　　) A．0 B．1 C．－1 D．±1 答案　A 解析　因为f(x)为奇函数， 所以f(－x)＝sin(－x)－|a|＝－f(x)＝－sin x＋|a|，所以|a|＝0，从而a＝0. 12．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f 的值等于(　　) A．1 B. C．0 D．－ 答案　B 解析　f ＝f  ＝f ＝sin ＝. 13．(多选)设函数f(x)＝sin|x|，则f(x)(　　) A．是偶函数 B．是周期为2π的周期函数 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 答案　AC 解析　 f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，f(x)为偶函数；由图可知，f(x)在上单调递减，故A，C正确． 14．函数y＝3sin2x－4sin x＋1，x∈，当x＝______时，y取最小值，最小值为______． 答案　　－ 解析　令t＝sin x，x∈，∴t∈， y＝3t2－4t＋1＝32－. ∵y＝32－在t∈上单调递减， ∴当t＝，即x＝时， ymin＝3×2－4×＋1＝－. 15．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值与最小值之和为________________________________________________________________________． 答案　2π 解析　作出函数y＝sin x的图象，如图所示． 由图可知，b－a的最大值为－＝， b－a的最小值为－＝. 所以最大值与最小值之和为＋＝2π. 16．设sin x＋sin y＝，求M＝sin x＋sin2y－1的最大值与最小值． 解　∵sin x＋sin y＝， ∴sin x＝－sin y. ∵－1≤sin x≤1， ∴ 解得－≤sin y≤1. 又∵M＝sin2y－sin y－＝2－， ∴当sin y＝时，sin x＝－，Mmin＝－； 当sin y＝－时，sin x＝1，Mmax＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$