1.4.3 诱导公式与对称-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

4.3　诱导公式与对称 [学习目标]　1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题． 导语 南京眼和辽宁的生命之环均利用对称完美地展现了自己的和谐之美．而三角函数与(单位)圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，正弦函数、余弦函数的定义表明了圆中某些线段之间的关系．圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形． 南京眼的桥身　　 　辽宁生命之环 的完美对称　　　　　 的完美对称 你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，－α有什么样的对称关系？ 一、诱导公式 问题1　知道角的终边与单位圆的交点坐标，你能根据三角函数的定义探究角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系吗？能不能推导正弦函数、余弦函数的奇偶性？ 提示　sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α. 正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数． 问题2　类比问题1的推导过程，你能探究角α与α＋π，α－π，π－α的正弦函数、余弦函数的关系吗？ 提示　sin(α＋π)＝－sin α，cos(α＋π)＝－cos α，sin(α－π)＝－sin α，cos(α－π)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α. 知识梳理 终边关系 角－α与角α的终边关于x轴对称 角α±π与角α的终边关于原点对称 角π－α与角α的终边关于y轴对称 图示 公式 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α sin(α＋π)＝－sin α， cos(α＋π)＝－cos α， sin(α－π)＝－sin α， cos(α－π)＝－cos α sin(π－α) ＝sin α， cos(π－α)＝－cos α 特点 (1)公式两边的函数名称一致． (2)将α看作锐角时，原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号，即为等号右边的符号 注意点： (1)公式的角为任意角． (2)口诀：“函数名不变，符号看象限”． 二、给角求值 例1　求下列各三角函数式的值． (1)cos 210°；(2)sin ； (3)sin；(4)cos(－1 920°)． 解　(1)cos 210°＝cos(30°＋180°) ＝－cos 30°＝－. (2)sin ＝sin ＝sin ＝sin ＝sin ＝. (3)sin＝－sin ＝－sin ＝－sin＝sin ＝. (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(120°＋5×360°)＝cos 120° ＝cos(180°－60°)＝－cos 60° ＝－. 反思感悟　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α转化． (2)“大化小”——用终边相同的角的三角函数值相等化为0到2π之间的角． (3)“小化锐”——用α±π与π－α相应的公式将大于的角转化为锐角． (4)“锐求值”——得锐角三角函数后求值． 跟踪训练1　求下列各三角函数式的值． (1)sin 1 320°；(2)cos. 解　(1)方法一　sin 1 320°＝sin(240°＋3×360°) ＝sin 240°＝sin(60°＋180°)＝－sin 60°＝－. 方法二　sin 1 320°＝sin(－120°＋4×360°) ＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°) ＝－sin 60°＝－. (2)cos＝cos＝cos  ＝cos＝－cos ＝－. 三、给值(式)求值问题 例2　(1)已知sin(α＋π)＝－0.3，则sin(2π－α)＝________； (2)已知cos＝，则cos＝______________________________________. 答案　(1)－0.3　(2)－ 解析　(1)∵sin(α＋π)＝－sin α＝－0.3， ∴sin α＝0.3， ∴sin(2π－α)＝－sin α＝－0.3. (2)cos＝cos ＝－cos＝－. 延伸探究　若本例(2)中的条件不变，如何求cos？ 解　cos＝cos ＝cos ＝cos＝. 反思感悟　解决给值(式)求值问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用． 跟踪训练2　已知sin β＝，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为(　　) A．1 B．－1 C. D．－ 答案　D 解析　由cos(α＋β)＝－1，得α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)， 则α＋2β＝(α＋β)＋β＝2kπ＋π＋β(k∈Z)， sin(α＋2β)＝sin(2kπ＋π＋β)＝sin(β＋π) ＝－sin β＝－. 四、利用诱导公式化简 例3　化简：. 解　原式＝ ＝＝1. 反思感悟　利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值． 跟踪训练3　化简：. 解　原式＝ ＝＝1. 1．知识清单： (1)特殊关系角的终边对称性． (2)三组诱导公式． (3)给角求值、给值(式)求值问题． (4)利用诱导公式化简． 2．方法归纳：公式法、构造法、转化与化归． 3．常见误区：符号的确定． 1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos(π－θ)的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　C 2．已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是(　　) A．sin α＝sin β B．sin(α－2π)＝sin β C．cos α＝cos β D．cos(2π－α)＝－cos β 答案　C 解析　由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cos α＝cos β. 3．cos＋sin的值为(　　) A．－ B. C. D. 答案　C 解析　原式＝cos －sin ＝cos －sin ＝－cos ＋sin ＝. 4．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是________． 答案　－ 解析　因为sin(π＋α)＝－sin α＝， 所以sin α＝－. 又α是第四象限角，所以cos α＝， 所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－. 1．sin 240°＋cos(－150°)的值为(　　) A．－ B．－1 C．1 D. 答案　A 解析　原式＝sin(180°＋60°)＋cos 150° ＝－sin 60°＋cos(180°－30°) ＝－sin 60°－cos 30° ＝－－＝－. 2．(多选)下列三角函数中，与sin 的值相同的是(　　) A．sin B．cos C．sin D．－cos 答案　CD 解析　sin ＝. 对于A，sin ＝sin＝－sin ＝－； 对于B，cos ＝cos＝－cos ＝－； 对于C，sin ＝sin＝sin ＝； 对于D，－cos ＝－cos ＝cos ＝. 3．在△ABC中，cos(A＋B)的值等于(　　) A．cos C B．－cos C C．sin C D．－sin C 答案　B 解析　由于A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C. 所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C. 4．已知200°角的终边上有一点(－1，a)，则sin 160°等于(　　) A．－a B. C．－ D. 答案　C 解析　由题意知sin 200°＝， 所以sin 160°＝sin(－200°＋360°) ＝－sin 200°＝－. 5．已知sin＝，则sin的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　C 解析　sin＝sin ＝sin＝. 6．计算：cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＝________. 答案　0 解析　原式＝cos ＋cos ＋cos ＋cos＋cos＋cos ＝cos ＋cos ＋cos －cos －cos －cos ＝0. 7．已知cos(π＋α)＝－，则cos(α＋3π)＋cos(α－π)＝________. 答案　－ 解析　∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，∴cos α＝， ∴cos(α＋3π)＋cos(α－π)＝cos(α＋π)－cos α ＝－2cos α＝－. 8．计算：(1)sincos ＝________； (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)＝________. 答案　(1)　(2)1 解析　(1)原式＝－sincos ＝sin cos ＝. (2)原式＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1. 9．化简：(1)； (2)已知sin(5π＋α)＝， 求的值． 解　(1)原式＝ ＝＝－cos α. (2)∵sin(5π＋α)＝，∴sin α＝－. ∴ ＝ ＝＝－＝3. 10．已知角α终边上一点P(－4,3)， 求的值． 解　点P到原点O的距离 |OP|＝＝5. 根据三角函数的定义得sin α＝，cos α＝－， ＝＝ ＝＝×＝－. 11．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　因为cos(508°－α) ＝cos(360°＋148°－α) ＝cos(148°－α)＝， 所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°) ＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝. 12．(多选)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值是(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 答案　BD 解析　当k＝2n，n∈Z时， A＝＋＝＋＝2， 当k＝2n＋1，n∈Z时， A＝＋ ＝＋＝－2. 13．(多选)在△ABC中，下列四个式子的值为常数的是(　　) A．sin(A＋B)＋sin C B．cos(A＋B)＋cos C C．sin(2A＋2B)＋sin 2C D．cos(2A＋2B)＋cos 2C 答案　BC 解析　对于A，sin(A＋B)＋sin C＝sin C＋sin C＝2sin C； 对于B，cos(A＋B)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0； 对于C，sin(2A＋2B)＋sin 2C ＝sin[2(A＋B)]＋sin 2C ＝sin[2(π－C)]＋sin 2C ＝sin(2π－2C)＋sin 2C ＝－sin 2C＋sin 2C＝0； 对于D，cos(2A＋2B)＋cos 2C ＝cos[2(A＋B)]＋cos 2C ＝cos[2(π－C)]＋cos 2C ＝cos(2π－2C)＋cos 2C ＝cos 2C＋cos 2C ＝2cos 2C. 14．已知f(x)＝则 f ＋f 的值为________． 答案　－2 解析　因为f ＝sin ＝sin＝sin ＝； f ＝f －1＝f －2 ＝sin－2＝－－2＝－. 所以f ＋f ＝－2. 15．设函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 022)＝－1，则f(2 023)的值为________． 答案　1 解析　∵f(2 022)＝asin(2 022π＋α)＋bcos(2 022π＋β)＝－1， ∴f(2 023)＝asin(2 023π＋α)＋bcos(2 023π＋β) ＝asin[π＋(2 022π＋α)]＋bcos[π＋(2 022π＋β)] ＝－[asin(2 022π＋α)＋bcos(2 022π＋β)]＝1. 16．已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若α＝－，求f(α)的值． 解　(1)f(α)＝＝cos α. (2)∵α＝－＝＋(－6)×2π， ∴f(α)＝f ＝cos ＝cos ＝cos ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$