1.3 弧度制-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

[学习目标]　1.了解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集之间的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式． 导语 生活中在度量时，会用到不同的单位制，比如，度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制．角的度量是否也可以用不同的单位制呢？ 一、角度制与弧度制 问题1　角度是怎么定义的？ 提示　把圆周等分成360份，称其中每一份所对的圆心角为1度，这种用度做单位来度量角的制度称为角度制． 问题2　观察图(1)，图(2)，弧AB与弧A′B′都与什么有关？ 提示　与圆心角和半径有关． 问题3　弧长与半径的比值有什么关系呢？ 提示　弧长与半径的比值等于圆心角． 知识梳理 1．角度制和弧度制 角度制 以度作为单位来度量角的单位制叫作角度制，用周角的作为一个单位，称为1度角 弧度制 在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角．其单位用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制 2.弧度数的计算 注意点： (1)弧度制是十进制，角度制是六十进制． (2)无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值． (3)在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心的正角的弧度数． 例1　下列各命题中，真命题是(　　) A．1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度等于半径的弧 C．1弧度是1°的弧与1°的角之和 D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小 答案　D 解析　根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确． 反思感悟　(1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的． (2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系． 跟踪训练1　下列说法正确的是(　　) A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角 答案　A 解析　对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误． 二、角度制与弧度制的换算 知识梳理 1．角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝≈57°18′ 2．一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 弧度 0 度 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 π 2π 注意点： (1)牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝进行换算． (2)角度化弧度时，将分、秒化成度，再化成弧度． 例2　把下列角度化成弧度或弧度化成角度． (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－. 解　(1)72°＝72× rad＝ rad. (2)－300°＝－300× rad＝－ rad. (3)2 rad＝2×＝. (4)－ rad＝－×＝－40°. 反思感悟　(1)角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数． (2)通常“弧度”或“rad”省略不写． 跟踪训练2　已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ的大小． 解　α＝15°＝15×＝， θ＝105°＝105×＝， ∵<<1<， ∴α<β<γ<θ＝φ. 三、用弧度制表示有关的角 例3　将－1 125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判断它是第几象限角． 解　－1 125°＝－1 125× ＝－＝－8π. 其中<<2π， 所以是第四象限角， 所以－1 125°是第四象限角． 延伸探究　在本例的条件下，在[－4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合． 解　依题意，与α终边相同的角为＋2kπ，k∈Z， 由－4π≤＋2kπ≤4π，k∈Z， 得－≤k≤，k∈Z， 知k＝－2，－1,0,1， 所以所求角的集合为. 反思感悟　用弧度制表示终边相同的角的两个关键点 (1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍． (2)注意角度制与弧度制不能混用，保持单位的统一性． 跟踪训练3　(1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　150°＝150×＝，故与150°角终边相同的角的集合为. (2)用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内(包含边界)的角θ的集合． 解　终边落在射线OA上的角为θ＝135°＋k·360°，k∈Z， 即θ＝＋2kπ，k∈Z. 终边落在射线OB上的角为θ＝－30°＋k·360°，k∈Z， 即θ＝－＋2kπ，k∈Z， 故终边落在阴影部分的角θ的集合为 . 四、扇形的弧长与面积公式 问题4　在初中所学习的角度制下，扇形的弧长和面积公式分别是什么？ 提示　l＝，S＝. 知识梳理 n为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l＝ l＝αr 扇形的面积 S＝ S＝lr＝α·r2 例4　(1)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积． 解　设扇形弧长为l， 因为圆心角72°＝72×＝ rad， 所以扇形的弧长l＝αr＝×20＝8π， 所以扇形的面积S＝lr＝×8π×20＝80π. (2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数． 解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm， 依题意有 ①代入②得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4. 当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8>2π舍去． 当R＝4时，l＝2，此时，θ＝＝. 综上可知，扇形圆心角的弧度数为. 反思感悟　扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lR＝αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)． (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 跟踪训练4　若扇形的圆心角为216°，弧长为30π，求扇形的半径及面积． 解　设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S， ∵216°＝216×＝， ∴l＝αr＝r＝30π，解得r＝25， ∴S＝lr＝×30π×25＝375π. 1．知识清单： (1)弧度制的概念． (2)弧度与角度的相互转化． (3)扇形的弧长与面积的计算． 2．方法归纳：消元法． 3．常见误区：弧度与角度混用． 1．下列说法中，错误的是(　　) A．半圆所对的圆心角的大小是π rad B．周角的大小等于2π C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 答案　D 解析　根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误． 2．若α＝－2 rad，则α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 3．与60°终边相同的角可表示为(　　) A.＋k·360°(k∈Z) B．60°＋2kπ(k∈Z) C．60°＋2k·360°(k∈Z) D.＋2kπ(k∈Z) 答案　D 4．周长为9 cm，圆心角为1 rad的扇形面积为______cm2. 答案　 解析　设扇形的半径为r cm，弧长为l cm， 由题意可知所以 所以S＝lr＝(cm2)． 1．角的终边所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　＝＋2π，是第一象限角， 故是第一象限角． 2．若一个扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2倍，则(　　) A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变 C．扇形的面积增大到原来的2倍 D．扇形的圆心角增大到原来的2倍 答案　B 解析　∵l＝αR，∴α＝. 当R，l均变为原来的2倍时，α不变． 扇形的面积S＝αR2， ∵α不变，∴S变为原来的4倍． 3．(多选)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　) A．45°＋2kπ(k∈Z) B.＋k·360°(k∈Z) C．－315°＋k·360°(k∈Z) D.＋2kπ(k∈Z) 答案　CD 解析　A，B中弧度与角度混用，不正确； ＝＋2π，所以与的终边相同．－315°＝45°－360°，所以－315°也与45°终边相同，即与终边相同． 4．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 答案　C 解析　k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x左上部分(包含边界)，k为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界)． 5．(多选)圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为(　　) A. B. C. D. 答案　AD 解析　设该弦所对的圆周角为α， 则其圆心角为2α或2π－2α，由于弦长等于半径， 所以可得2α＝或2π－2α＝， 解得α＝或α＝. 6．如果2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为(　　) A．sin 2 B. C．2sin 1 D．tan 1 答案　B 解析　由图可知，弦长AB＝2，所以半径为，由弧长公式可得lAB＝αr＝. 7．－135°化为弧度为________， rad化为角度为________． 答案　－　660° 解析　－135°＝－135× rad＝－ rad； rad＝×＝660°. 8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________ m2.(精确到1 m2) 答案　9 解析　＝120°，根据题意得 弦＝2×4sin ＝4(m)，矢＝4－2＝2(m)， 因此弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2)． 9．已知角α＝1 200°. (1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)在区间[－4π，0]上找出与α终边相同的角． 解　(1)因为α＝1 200°＝1 200×＝＝＋3×2π，所以角α与的终边相同， 又<<π， 所以角α是第二象限角． (2)因为与角α终边相同的角为＋2kπ，k∈Z， 所以由－4π≤＋2kπ≤0，k∈Z， 得－≤k≤－，k∈Z. 因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1. 故在区间[－4π，0]上与角α终边相同的角是 －，－. 10．已知在半径为10 cm的圆O中，弦AB的长为10 cm. (1)求弦AB所对的圆心角α的大小； (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. 解　(1)由⊙O的半径r＝10 cm＝AB， 知△AOB是等边三角形， ∴α＝∠AOB＝60°＝. (2)由(1)可知α＝，r＝10 cm， ∴弧长l＝αr＝×10＝(cm)， ∴S扇形＝lr＝××10＝(cm2)， 而S△AOB＝·AB·AB ＝×10×5＝25(cm2)， ∴S＝S扇形－S△AOB＝25(cm2)． 11．(多选)下列表示中正确的是(　　) A．终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z} B．终边在第二象限的角的集合为 C．终边在坐标轴上的角的集合是 D．终边在直线y＝x上的角的集合是 答案　ABC 解析　A，B显然正确． 对于C，终边在x轴上的角的集合为{α|α＝kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为，其并集为，故C正确； 对于D，终边在直线y＝x上的角的集合为或，其并集为，故D不正确． 12．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过1周时，小链轮转过的弧度是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意，当大链轮逆时针转过1周时，小链轮逆时针转过周，小链轮转过的弧度是×2π＝. 13．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，设圆的半径为R， 则正方形边长为R， ∴弧长l＝R， ∴α＝＝＝. 14．扇形圆心角为，半径为a，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为________． 答案　2∶3 解析　如图，设内切圆半径为r， 则r＝， 所以S圆＝π×2＝， S扇＝a2×＝， 所以S圆∶S扇＝2∶3. 15．若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为(　　) A．α＋β＝0 B．α－β＝0 C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α－β＝＋2kπ(k∈Z) 答案　D 解析　由题可知α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)， β＝x－＋2k2π(k2∈Z)， 所以α－β＝＋2(k1－k2)π(k1∈Z，k2∈Z)． 因为k1∈Z，k2∈Z，所以k1－k2∈Z. 所以α－β＝＋2kπ(k∈Z)． 16.如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及点P，Q各自走过的弧长． 解　如图，设P，Q第一次相遇时所用的时间是t 秒， 则t·＋t·＝2π， 所以t＝4， 即P，Q第一次相遇时所用的时间为4秒． 点P走过的弧长为×4＝， 点Q走过的弧长为×4＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$