1.1 周期变化-1.2 任意角-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

[学习目标]　1.理解周期与周期函数的概念.2.了解角的概念，掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角． 导语 东升西落照苍穹， 影短影长角不同． 昼夜循环潮起伏， 冬春更替草枯荣． 不难发现，这首诗中描绘了大量的自然界重复出现的现象，太阳东升西落、昼夜循环、潮涨潮落、冬去春来(四季更替)、草枯草荣等都说明了周期变化．数学中也存在着周期变化这种现象，这节课我们就研究数学中的周期性． 一、函数周期性的应用 问题1　游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中圆心O距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题： (1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？ 提示　(1)是周期现象．(2)48分钟． 知识梳理 1．周期函数与周期的概念 一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的最小正周期．若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期． 注意点： (1)周期函数的三个条件：存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；f(x＋T)＝f(x)． (2)周期函数的周期不止一个． 例1　已知函数y＝f(x)的图象如图所示，试回答下列问题． (1)求函数的周期； (2)画出函数y＝f(x＋1)的图象； (3)你能写出函数y＝f(x)的解析式吗？ 解　(1)可直接由函数y＝f(x)的图象得到其周期T＝2. (2)将函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度，就得到函数y＝f(x＋1)的图象，y＝f(x＋1)的图象如图所示． (3)可先求出定义域为一个周期的函数y＝f(x)，x∈[－1,1]的解析式，为y＝1－|x|，x∈[－1,1]，再根据函数y＝f(x)的图象和周期性，得到函数y＝f(x)的解析式y＝1－|x－2k|，x∈[2k－1,2k＋1]，k∈Z. 反思感悟　(1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”“化无限为有限”的目的． (2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”，就可以把问题转化到一个周期内来解决． 跟踪训练1　定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当x∈[－3,3)时，f(x)＝则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 021)＋f(2 022)＝______. 答案　337 解析　f(x＋6)＝f(x)，故函数f(x)是T＝6的周期函数． f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1， 故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 021)＋f(2 022)＝337×1＝337. 二、角的概念推广 问题2　周日早晨，小明起床后，发现自己的闹钟停在5∶00这一刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6∶30，并开始正常的学习．小明在调整闹钟时间时，按照顺时针的方向旋转，时针与分针各转过了多少度？ 提示　时针转了－45°，分针转了－540°. 知识梳理 1.角的概念：如图，平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α. 其中点O是角α的顶点，射线OA是角α的始边，射线OB是角α的终边． 2．角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类： 类型 定义 图示 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 注意点： (1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”． (2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，即箭头代表着角的正负． 例2　写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数． 解　图(1)中，α＝360°－30°＝330°； 图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°； γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°. 反思感悟　在写出图中角的度数时要注意角的始边和旋转的方向． 跟踪训练2　如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________. 答案　－40° 解析　两次旋转后形成的角为60°＋(－820°)＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°. 三、终边相同的角 问题3　－32°，328°，－392°这些角有什么内在联系？ 提示　由图可知，角的终边相同． 知识梳理 终边相同的角的表示 一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和． 例3　(1)已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求－360°～720°之间的角． 解　因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°， 所以－1 845°角与－45°角的终边相同， 所以与角α终边相同的角的集合是 {β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}， －360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°. (2)写出终边在平面直角坐标系x轴上的角的集合． 解　因为与α终边相同的角的集合为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}， 所以终边在x轴非负半轴的角的集合为A＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}， 终边在x轴非正半轴的角的集合为B＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}， 所以终边在x轴上的角的集合为A∪B＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝k·180°，k∈Z}． (3)如图所示． ①分别写出终边落在射线OA，OB上的角的集合； ②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合． 解　①终边落在射线OA上的角的集合是 {α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}． 终边落在射线OB上的角的集合是 {α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}． ②终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是 {α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}． 反思感悟　(1)终边相同的角的表示 ①与角α终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式． ②终边相同的角相差360°的整数倍． (2)区域角的表示方法 要先找到区域角的边界对应的角，再根据旋转方向写出一个周期内的区域角，最后再加上周期即可． 跟踪训练3　(1)若角2α与240°角的终边相同，则α等于(　　) A．120°＋k·360°，k∈Z B．120°＋k·180°，k∈Z C．240°＋k·360°，k∈Z D．240°＋k·180°，k∈Z 答案　B 解析　角2α与240°角的终边相同， 则2α＝240°＋k·360°，k∈Z， 则α＝120°＋k·180°，k∈Z. (2)下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是(　　) A．－37° B．143° C．379° D．－143° 答案　D 解析　与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z， 当k＝－1时，37°－180°＝－143°. (3)已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围． 解　终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}． 四、象限角 问题4　把角放到平面直角坐标系中，使角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，角的终边可能落在哪里？ 提示　象限内或坐标轴上． 知识梳理 将角放在一个平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类： 角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限． 注意点： (1)象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小． (2)象限角不能比较大小． 例4　(1)(多选)下列四个角为第二象限角的是(　　) A．－200° B．100° C．220° D．420° 答案　AB 解析　－200°＝－360°＋160°，在0°～360°范围内，与－200°终边相同的角为160°，它是第二象限角，同理100°为第二象限角，220°为第三象限角，420°为第一象限角． (2)若α是第二象限角，试分别确定2α，的终边所在位置． 解　∵α是第二象限角， ∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)． ∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)， ∴2α的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上． 方法一　∵45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)， 当k＝2n(n∈Z)时， 45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)； 当k＝2n＋1(n∈Z)时， 225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)， ∴的终边位于第一或第三象限． 方法二　将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域．自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示． ∵α是第二象限角，标号与角α所在象限一致的区域，即为的终边所在的象限， ∴Ⅱ号区域所在象限为的终边所在象限． ∴的终边位于第一或第三象限． 反思感悟　(1)象限角的判定方法 ①当0°≤α＜360°时，直接写出结果． ②当α＜0°或α≥360°时，将α化为β＋k·360°，k∈Z(0°≤β＜360°)，转化为判断角β所属的象限． (2)由α所在的象限求角所在象限时，n是几，就把每个象限等分成几份，再在每个区域内依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，角所在的象限与α所在象限的标号相同． 跟踪训练4　(1)1 112°角是第________象限角． 答案　一 解析　∵1 112°＝32°＋3×360°，∴1 112°角的终边与32°角的终边相同，均为第一象限角． (2)已知α是第二象限角，则180°－α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案　A 解析　由α是第二象限角可得，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z. 所以180°－(180°＋k·360°)<180°－α<180°－(90°＋k·360°)，k∈Z， 即－k·360°<180°－α<90°－k·360°，k∈Z. 所以180°－α为第一象限角． 1．知识清单： (1)函数的周期． (2)角的概念． (3)终边相同的角． (4)象限角． (5)区域角． 2．方法归纳：数形结合、分类讨论． 3．常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同的角的表示中漏掉k∈Z. 1．与－30°角终边相同的角是(　　) A．－330° B．150° C．30° D．330° 答案　D 解析　因为所有与－30°角终边相同的角都可以表示为α＝－30°＋k·360°，k∈Z，取k＝1，得α＝330°. 2．2 023°角是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案　C 解析　2 023°＝223°＋5×360°， 所以2 023°角的终边与223°角的终边相同，为第三象限角． 3．已知f(x)满足对∀x∈R，f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[1,3)时，f(x)＝log2x＋1，则f(2 022)的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　D 解析　根据题意，f(x)满足对∀x∈R，f(x＋2)＝f(x)，则f(x)是周期为2的周期函数，则f(2 022)＝f(2＋2×1 010)＝f(2)＝log22＋1＝2. 4.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是_____________． 答案　{α|45°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z} 解析　观察图形可知，角α的集合是 {α|45°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z}． 1．下列函数图象中，不具有周期性的是(　　) 答案　C 解析　C中x∈(－2,2)之间的图象在前后都没有重复出现． 2．(多选)下列四个结论正确的是(　　) A．－15°角是第四象限角 B．－180°角是第三象限角 C．－350°角是第一象限角 D．475°角是第三象限角 答案　AC 解析　－15°角是第四象限角；－180°角不是象限角；因为－350°＝10°＋(－360°)，所以－350°角是第一象限角；因为475°＝115°＋360°，90°<115°<180°，所以475°角是第二象限角，故选AC. 3．与－468°角的终边相同的角的集合是(　　) A．{α|α＝456°＋k·360°，k∈Z} B．{α|α＝252°＋k·360°，k∈Z} C．{α|α＝96°＋k·360°，k∈Z} D．{α|α＝－252°＋k·360°，k∈Z} 答案　B 解析　因为－468°＝252°＋(－2)×360°，所以252°角与－468°角的终边相同，所以与－468°角的终边相同的角为252°＋k·360°，k∈Z. 4．已知α是锐角，那么2α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角 答案　C 解析　∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°，∴2α是小于180°的正角． 5．如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是(　　) A．{α|－45°≤α≤120°} B．{α|120°≤α≤315°} C．{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z} D．{α|120°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z} 答案　C 解析　如题图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}． 6．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为(　　) A．α＋β＝k·360°，k∈Z B．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z C．α－β＝180°＋k·360°，k∈Z D．α－β＝k·360°，k∈Z 答案　B 解析　方法一　(特值法)令α＝30°，β＝150°，代入选项得只有B符合题意． 方法二　(直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z， 即α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z. 7．在如图所示的y＝f(x)的图象中，若f(0.005)＝3，则f(0.025)＝________. 答案　3 解析　由图象知函数y＝f(x)的周期为0.02， ∴f(0.025)＝f(0.005＋0.02)＝f(0.005)＝3. 8．在0°～360°范围内，与－60°角的终边在同一条直线上的角为________． 答案　120°，300° 解析　与－60°角的终边在同一条直线上的角可表示为β＝－60°＋k·180°，k∈Z. ∵所求角在0°～360°范围内， ∴0°≤－60°＋k·180°≤360°， 解得≤k≤，k∈Z， ∴k＝1或2， 当k＝1时，β＝120°， 当k＝2时，β＝300°. 9．已知α＝－1 910°. (1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°. 解　(1)α＝－1 910°＝250°＋(－6)×360°， 它是第三象限角． (2)令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)， 取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角． 250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°. 故θ＝－110°或θ＝－470°. 10．写出终边在直线y＝－x上的角的集合． 解　终边在y＝－x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k1·360°，k1∈Z}； 终边在y＝－x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z}． 因此，终边在直线y＝－x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z} ＝{α|α＝120°＋2k1·180°，k1∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k2＋1)·180°，k2∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}． 故终边在直线y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}． 11．(多选)角α＝45°＋k·180°(k∈Z)的终边落在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　AC 解析　当k＝2m＋1(m∈Z)时， α＝225°＋2m·180°＝225°＋m·360°，m∈Z， 故α为第三象限角； 当k＝2m(m∈Z)时，α＝45°＋m·360°，m∈Z， 故α为第一象限角． 故α的终边落在第一或第三象限． 12．已知α为第三象限角，则终边所在的象限是(　　) A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限 答案　D 解析　方法一　∵180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z， ∴90°＋k·180°<<135°＋k·180°，k∈Z， 当k＝2n(n∈Z)时，90°＋n·360°<<135°＋n·360°，n∈Z； 当k＝2n＋1(n∈Z)时，270°＋n·360°<<315°＋n·360°，n∈Z， ∴为第二或第四象限角． 方法二　如图所示，将每个象限二等分，标号Ⅲ所在的区域即为终边所在的区域． 所以终边所在的象限是第二或第四象限． 13．(多选)已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么下列表示的A，B，C之间的关系正确的是(　　) A．B⊆A B．B＝A∩C C．B∪C＝C D．AC 答案　AC 解析　A＝{第一象限角}＝{θ|k·360°<θ<k·360°＋90°，k∈Z}，B＝{锐角}＝{θ|0°<θ<90°}，C＝{小于90°的角}＝{θ|θ<90°}，∴A，C正确． 14．已知f(x)是定义在R上的周期为4的偶函数，当x∈[－2,0]时，f(x)＝－2x，则f(5)＝________. 答案　－ 解析　∵f(x)是定义在R上的周期为4的偶函数， 当x∈[－2,0]时，f(x)＝－2x， ∴f(5)＝f(1)＝f(－1)＝－2－1＝－. 15．设集合M＝，N＝，则(　　) A．M＝N B．N⊆M C．M⊆N D．M∩N＝∅ 答案　C 解析　由题意得M＝ ＝， 即M是由45°的奇数倍构成的集合， 又N＝ ＝{x|x＝(k＋1)·45°，k∈Z}， 即N是由45°的整数倍构成的集合，∴M⊆N. 16．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小． 解　由题意可知 α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z. ∵α，β为锐角， ∴0°<α＋β<180°. 则k＝1，得α＋β＝80°，① α－β＝670°＋k·360°，k∈Z. ∵α，β为锐角， ∴－90°<α－β<90°. 则k＝－2，得α－β＝－50°，② 由①②得α＝15°，β＝65°. 学科网（北京）股份有限公司 $$