1.7 正切函数 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

§7　正切函数 第一章　三角函数 学习目标 1.理解任意角的正切函数的定义. 4.正切函数诱导公式的推导及应用. 在初中阶段，我们就已经知道，在一个直角三角形中，我们将一个角的正弦、余弦和正切分别定义为对边与斜边的比、邻边与斜边的比和对边与邻边的比.在前面的课程中，我们又讨论了正弦和余弦问题，给出了正弦函数和余弦函数的定义，同时也对正弦函数 和余弦函数的诱导公式进行了深入探究，那么正切函 数是如何定义的呢？正切函数的诱导公式又是什么样 的呢？本节课就让我们一起来研究吧！ 导语 内容索引 一、正切函数的定义 二、正切函数的诱导公式 课时对点练 三、正切函数的图象与性质 随堂演练 正切函数的定义 一 问题1　设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么 何时有意义？正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？ 根据函数的定义，比值 是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tan x， 其中定义域为 . 注意点： 特殊角的正切值： 知识梳理 7 8 求正切函数值的两种方法 (1)先求出角的正弦函数、余弦函数值，再利用正切函数的定义求解. 反思感悟 9 跟踪训练1　若tan α＝ ，利用三角函数的定义，求sin α和cos α. 10 11 12 二 正切函数的诱导公式 14 正切函数的诱导公式 知识梳理 15 注意点： (1)诱导公式的记忆方法：函数名不变，符号看象限(把x看作锐角时原函数值的符号)； (3)正切函数值的符号 角所在象限 一 二 三 四 正切函数值符号 正 负 正 负 知识梳理 16 例2　求下列各式的值. (1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°； 原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3×1＋1＝－2. 17 18 (1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键. (2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值. 反思感悟 19 跟踪训练2　求值： 20 三 正切函数的图象与性质 问题3　学习了y＝sin x，y＝cos x的图象与性质后，明确了y＝sin x，y＝cos x的图象是“波浪”型，连续不断的，且都是周期函数，都有最大(小)值.类比y＝sin x，y＝cos x的图象与性质.y＝tan x是周期函数吗？有最大(小)值吗？正切函数的图象是连续的吗？ 提示　y＝tan x是周期函数，且T＝π，无最大、最小值.正切函数的图象在定义域上不是连续的. 1.正切函数的图象称作正切曲线. 2.正切函数的性质 函数 y＝tan x 图象   定义域 知识梳理 23 值域 ____ 周期性 最小正周期是π 奇偶性 函数 对称中心 ______________ 单调性 在每一个区间 ，k∈Z上单调递增 R 奇 知识梳理 24 注意点： (1)图象在x轴上方的部分下凹；在x轴下方的部分上凸. (2)图象被相互平行的直线x＝ ＋kπ，k∈Z隔开，图象无限接近这些直线，但永不相交. (3)正切函数不是轴对称图形，没有对称轴. 知识梳理 25 例3　(1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)： < 26 < 27 28 (1)运用正切函数的单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. ②运用单调性比较大小关系. (2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法 反思感悟 29 跟踪训练3　求函数y＝ 的单调递减区间. 30 例4　设函数f(x)＝ (1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心； 31 34 解答正切函数图象与性质问题的注意点 反思感悟 35 跟踪训练4　画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性. 36 其图象如图. 函数y＝|tan x|的周期T＝π， 1.知识清单： (1)正切函数的概念. (2)正切函数的诱导公式. (3)正切函数的图象与性质. 2.方法归纳：整体代换、换元法. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 > 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 16 √ 2.函数f(x)＝sin xtan x A.是奇函数 B.是偶函数 C.是非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 又f(－x)＝sin(－x)·tan(－x)＝sin x·tan x＝f(x)， ∴f(x)为偶函数. 3.函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为 ，则ω的值是 A.1 B.2 C.4 D.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知α∈[0,2π)，点P(1，tan 2)是角α终边上一点，则α等于 A.π＋2 B.2 C.π－2 D.2－π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为tan 2<0，所以点P在第四象限，即α是第四象限角， 又tan α＝tan 2＝tan(π＋2)，α∈[0,2π)，所以α＝π＋2. 7.函数y＝ 的定义域为___________________________. 令1－tan x≥0， 即tan x≤1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.函数y＝ 的值域为______________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (－∞，－1)∪(1，＋∞) 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求tan α的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故原函数的最小正周期为4π， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知函数y＝tan ωx在区间 上单调递减，则 A.0<ω≤1 B.－1≤ω<0 C.ω≥1 D.ω≤－1 √ ∴－1≤ω<0. 13.下列图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈ 内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.①②③④ B.①③④② C.③②④① D.①②④③ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈ 的值域为________. [－4,4] 令tan x＝t，则t∈[－1,1]， ∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5. 故所求函数的值域为[－4,4]. 15.函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间 内的图象是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以只有D选项中的图象符合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求f(x)的解析式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又函数f(x)的图象过点(0，－3)， 得A＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.能画出y＝tan x的图象. 3.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间内的单调性. 提示　当a≠0时，有意义.tan α＝＝，α∈R，α≠＋kπ(k∈Z). α 0 tan α 0 1 － －1 － 由正切函数的定义得，＝， 解得m＝－. 例1　若角θ的终边经过点A，且tan θ＝，则m＝______. － (2)已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，利用结论tan α＝. ∵tan α＝＞0，∴角α是第一或第三象限角. ①若角α是第一象限角，则由tan α＝知，角α的终边上必有一点P(2,1)， ∴r＝|OP|＝＝. ∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝. ②若角α是第三象限角，则由tan α＝知，角α的终边上必有一点 P(－2，－1)， ∴r＝|OP|＝＝. ∴sin α＝＝＝－， cos α＝＝＝－. 问题2　根据正切函数定义，以及正弦函数、余弦函数相应的诱导公式，当－<α<，推导角α与角π＋α，＋α的正切值有什么关系. 提示　tan(π＋α)＝＝＝tan α， tan＝＝＝－. 角 正切 kπ＋x(k∈Z) tan x －x －tan x π－x －tan x ＋x － －x (2)公式中的x≠kπ＋(k∈Z)且在tan＝－与tan＝中  x≠kπ(k∈Z). (2). 原式＝＝＝ ＝2＋. . 原式＝ ＝＝＝. ，k∈Z ①tan _____tan ； tan ＝tan ，且0<<<， 又y＝tan x在上单调递增， 所以tan <tan ，即tan <tan . 所以tan <tan ， 即tan <tan. ②tan _____tan. tan ＝tan ，tan＝tan ， 因为0<<<， 且y＝tan x在上单调递增， ∴函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)，无单调递减区间. (2)求函数y＝tan的单调区间. ∵y＝tan x在(k∈Z)上是增函数， ∴－＋kπ<2x－<＋kπ(k∈Z)， 即－＋<x<＋(k∈Z).  y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间. 故函数的单调递减区间为，k∈Z. 3tan  y＝3tan可化为y＝－3tan， 由kπ－<x－<kπ＋，k∈Z， 得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z， tan. 由－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)， 得－＋2kπ<x<＋2kπ(k∈Z). 由－≠＋kπ(k∈Z)， 得x≠＋2kπ(k∈Z)， 所以f(x)的定义域是. 因为ω＝，所以最小正周期T＝＝＝2π. 所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)，无单调递减区间. 由－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)， 故函数f(x)的对称中心是(k∈Z). 所以不等式－1≤f(x)≤的解集是. (2)求不等式－1≤f(x)≤的解集. 由－1≤tan≤， 得－＋kπ≤－≤＋kπ(k∈Z)， 解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z). (1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴. (2)单调性：正切函数在每一个区间(k∈Z)上都单调递增，但不能说其在定义域内单调递增. 由y＝|tan x|得y＝ 由图象可知，函数y＝|tan x|的定义域为，值域为[0，＋∞)，是偶函数. 函数y＝|tan x|的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z. 3.常见误区：最小正周期T＝，在定义域内不单调，对称中心为(k∈Z). 1.函数y＝2tan的定义域为 A. B. C. D. 解得x≠＋，k∈Z， 所以函数的定义域为. 函数y＝2tan， 令2x＋≠＋kπ，k∈Z， 解得－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z. 2.函数y＝－2＋tan的单调递增区间是 A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 由－＋kπ<x＋<＋kπ，k∈Z， ∵x∈， ∴x－∈， ∴tan∈(－1，)，∴值域为(－1，). 3.函数y＝tan，x∈的值域为___________. (－1，) 又0<<<，  y＝tan x在上单调递增， 4.比较大小：tan ______tan . 所以tan <tan ，即tan <tan . 因为tan ＝tan ，tan ＝tan ， 1.函数y＝tan的定义域是 A. B. C. D. 由x－≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z.  f(x)的定义域为，关于原点对称， 由题意可得f(x)的最小正周期为，则＝，又∵ω>0，∴ω＝4. 4.(多选)与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是 A.x＝ B.x＝－ C.x＝ D.x＝－ 令2x－＝＋kπ，k∈Z， 得x＝＋，k∈Z，∴直线x＝＋，k∈Z与函数y＝tan的图象不相交， ∴令k＝－1，x＝－.k＝0，x＝. 5.(多选)已知函数f(x)＝tan，则 A.f(x)的周期为 B.f(x)的定义域为 C.f >f  D.f(x)在上单调递增 函数f(x)＝tan的最小正周期为T＝，故A正确； 由2x－≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以函数f(x)的定义域为，故B错误；  f ＝tan＝tan ＝，  f ＝tan＝tan＝， 所以f >f ，故C正确；  x∈时，2x－∈， 所以f(x)在上单调递增，故D正确. 由正切函数的图象知－＋kπ<x≤＋kπ，k∈Z. 当－<x<0时，－1<tan x<0， 所以<－1； 所以>1. 当0<x<时，0<tan x<1， 即当x∈∪时， 函数y＝的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞). 9.已知角α的终边经过点P. 由题意得，tan α＝＝＝－. (2)求·的值. 原式＝·＝＝＝. 又cos α＝－， 故所求式子的值为－. 10.已知函数f(x)＝3tan. 因为f(x)＝3tan＝－3tan， 所以T＝＝＝4π. 由kπ－<－<kπ＋(k∈Z)， 得4kπ－<x<4kπ＋(k∈Z). 因为y＝3tan在区间(k∈Z)上单调递增， 所以f(x)＝－3tan在区间(k∈Z)上单调递减. 单调递减区间为，k∈Z. (2)试比较f(π)与f 的大小.  f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan ，  f ＝3tan＝3tan＝－3tan ， 因为0<<<， 且y＝tan x 在上单调递增， 所以tan <tan ，所以f(π)>f . 11.已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点，则φ可以是 A.－ B. C.－ D. 因为函数的图象过点， 所以tan＝0， 所以＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z. 当k＝0时，φ＝－，故A正确. ∵y＝tan ωx在上单调递减， ∴ω<0且T＝≥π，  y＝tan(－x)＝－tan x在上单调递减，只有图象d符合，即d对应③，故选D. ∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1. ∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4， 当t＝1，即x＝时，ymax＝4. 当<x<π时，tan x<sin x，y＝2tan x<0； 当x＝π时，y＝0； 当π<x<时，tan x>sin x，y＝2sin x，且－2<y<0. 16.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3). 得f(x)＝Atan，它的图象过点， 由题意可得f(x)的周期为T＝－＝＝， 因为ω>0，所以ω＝， 所以Atan＝0， 即tan＝0， 所以＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z， 又|φ|<，所以φ＝－， 所以f(x)＝Atan， 所以Atan＝－3， 所以f(x)＝3tan. (2)求满足f(x)≥的x的取值范围. 因为3tan≥， 所以tan≥， 得kπ＋≤x－<kπ＋，k∈Z， 解得＋≤x<＋，k∈Z， 所以满足f(x)≥的x的取值范围是，k∈Z. $$