1.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象(1) （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

§6　函数y=Asin(ωx＋φ) 的性质与图象(一) 第一章　三角函数 学习目标 1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响. 2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系. 在物理中，简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数.如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流y随时 间x变化的图象. 将测得的图象放大到如图(2)所示， 可以看出它和正弦曲线相似.本节课 我们就来探究y＝Asin(ωx＋φ)与函数 y＝sin x的关系. 导语 内容索引 一、ω(ω>0)对y＝sin ωx的图象的影响 二、φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 课时对点练 三、A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 随堂演练 ω(ω>0)对y＝sin ωx的图象的影响 一 问题1　观察y＝sin x与y＝sin 2x的函数图象，分别求出两个函数的最小正周期，你能得出ω(ω>0)对y＝sin ωx的图象有什么影响吗？ 提示　2π，π；ω影响函数的最小正周期. 问题2　观察y＝sin x与y＝sin 2x的函数图象，怎么由函数y＝sin x的图象得到函数y＝sin 2x的图象？ 1.ω(ω>0)对y＝sin ωx图象的影响 缩短 伸长 知识梳理 8 例1　将函数y＝ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)而得到的图象的解析式为_____________. 9 反思感悟 10 y＝sin 2x 11 二 φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 问题3　观察y＝sin x与y＝ 的函数图象，探究由y＝sin x的图象通过怎样的变换可以得到y＝ 的图象？ 问题4　由函数y＝sin ωx的图象通过怎样的变换可以得到y＝sin(ωx＋φ)的图象？ 提示　函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sin ωx的图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移 个单位长度得到. 左 右 知识梳理 15 例2　函数y＝ 的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？ 16 延伸探究 17 18 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数.再观察x前的系数，当x前的系数不为1时，应提取系数确定平移的单 位长度和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为 个单 位长度. 反思感悟 19 √ 20 三 A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 伸长 缩短 注意点： (1)A影响函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值. (2)纵向伸缩是正比例伸缩变换. 知识梳理 23 24 25 (1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法. (2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式.要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可. 反思感悟 26 跟踪训练3　将y＝sin x的图象怎样变换可得到函数y＝ ＋1的图象？ 27 方法一　①把y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin x的图象； ④将所得图象沿y轴向上平移1个单位长度， 28 29 1.知识清单： (1)伸缩变换. (2)平移变换. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：先平移后伸缩和先伸缩后平移得到的结果不一样. 课堂小结 随堂演练 四 1.函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 伸长 3 1 2 3 4 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以ωπ＝kπ，k∈N＋，即ω＝k，k∈N＋， 因此正数ω的最小值是1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.将函数y＝sin 4x的图象向左平移 个单位长度，得到函数y＝sin(4x＋φ)(0<φ<π)的图象，则φ的值为____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ) ，将f(x)的图象向左平移 个单 位长度后，得到函数g(x)的图象.若函数g(x)为偶函数，则φ的值为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数g(x)为偶函数， 9.函数f(x)＝ 的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　(正向变换) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　(逆向变换) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又因为ω>0，k∈Z， 14.下列函数中：①y＝－sin 2x；②y＝cos 2x；③y＝ ，其图象 仅通过向左(或向右)平移就能与函数y＝sin 2x的图象重合的是_______.(填 上符合要求的函数对应的序号) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ①② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知函数f(x)＝Asin ωx(A>0，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数 为y＝g(x). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(x)的最小正周期为π， 将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 所得图象对应的函数为g(x)＝Asin x， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴A＝2，∴f(x)＝2sin 2x， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求函数f(x)的解析式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当x∈[0,3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，求m的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又x∈[0,3π]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以f(x)max＝1，f(x)min＝－1， 提示　把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的. 2.最小正周期T＝. sin y＝sin 对于函数y＝sin x，若横坐标变为原来的ω倍，则得到函数y＝sin ，即横向伸缩是反比例伸缩变换. 跟踪训练1　把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到的图象的解析式是__________. sin sin 提示　将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度. sin 函数y＝sin的图象，可以看作将函数y＝sin x图象上的所有点向右平移个单位长度得到的. 1.若将本例中y＝sin改为y＝cos，其他不变，又该怎样变换？  y＝cos＝sin＝sin，可以看作是把y＝sin x图象上的所有点向左平移个单位长度得到的. 2.将本例改为：函数y＝sin的图象可由y＝sin 2x的图象经过怎样变换得到？  y＝sin＝sin 2，可由y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到. 跟踪训练2　要得到y＝sin的图象，只要将y＝sin 2x的图象 A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 y＝sin＝sin 2. 故要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度. 提示　将函数y＝sin的图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin的图象. 问题5　观察y＝sin与y＝2sin的函数图象，探究由y＝sin的图象通过怎样的变换可以得到y＝2sin的图象？ 例3　把函数y＝f(x)的图象上的各点向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的，所得图象的解析式是y＝2sin，求f(x)的解析式. y＝2sin y＝3sin y＝3sin y＝3sin＝3sin＝3cos x. 所以f(x)＝3cos x. 2sin ②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到y＝2sin 2x的 图象； ③将所得图象沿x轴向左平移个单位长度， 得到y＝2sin 2的图象； 得到y＝2sin＋1的图象. 方法二　①将y＝sin x的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象； ②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到y＝sin的图象； ③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin的图象； ④将所得图象沿y轴向上平移1个单位长度，得到y＝2sin＋1的图象. A.2 B. C.4 D. 2.要得到y＝sin的图象，只要将函数y＝sin 的图象 A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 3.将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标_______(填“伸长”或“缩短”)为原来的______倍，将会得到函数y＝3sin的图象.  A＝3>1，故将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍，即可得到函数y＝3sin的图象. －2 将函数f(x)＝cos 2x的图象纵坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的解析式为y＝2cos 2x， 则g(x)＝2cos 2＝2cos， 故g＝2cos＝－2. 4.将函数f(x)＝cos 2x的图象纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g＝________. 1.为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象 A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度  y＝sin＝sin 2，故将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin的图象. 2.函数y＝cos x的图象上的每一点的纵坐标保持不变，将横坐标变为原来的，然后将图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的解析式为 A.y＝sin 2x B.y＝－sin 2x C.y＝cos D.y＝cos  y＝cos x的图象上每一点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到y＝cos 2x的图象； 再把y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度，就得到y＝cos 2＝cos＝－sin 2x的图象. 3.将函数y＝2sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值为 A. B. C. D. 因为函数y＝2sin的图象向左平移m个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin，所以＋m＝kπ＋，k∈Z， 即m＝kπ＋，k∈Z. 又m>0，所以m的最小值为. 4.函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是 A. B.2 C.1 D. 依题意得，函数f ＝sin ω(ω>0)的图象过点， 于是有f ＝sin ω＝sin ωπ＝0(ω>0)， 5.(多选)有下列四种变换：其中能使y＝sin x的图象变为y＝sin的图象的是 A.向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的 B.向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的 C.各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 D.各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 由y＝sin x的图象变为y＝sin的图象有两种变换方式，第一种：先平移，后伸缩，向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的； 第二种：先伸缩，后平移，各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度. 6.把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)等于 A.y＝cos B.y＝cos C.y＝cos D.y＝cos 由题设，f ＝sin， 令t＝2，则x＝＋， 所以f(t)＝sin， 即f(x)＝sin＝cos＝cos＝cos. 将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，得y＝sin 4＝sin，所以φ的值为. － 将f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数g(x)＝2sin＝2sin， 所以＋φ＝kπ＋，k∈Z， 又|φ|<，所以φ＝－. 5sin－3 先把函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得y＝sin的图象； 再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得  y＝sin的图象； 然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)， 得函数y＝5sin的图象， 最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y＝5sin－3的图象. 10.使函数y＝f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，然后再将其图象沿x轴向左平移个单位长度得到的曲线与y＝sin 2x的图象相同，求f(x)的解析式.  y＝f(x)y＝f(2x)y＝f ， 即y＝f ，∴f ＝sin 2x. 令2x＋＝t，则2x＝t－， ∴f(t)＝sin，即f(x)＝sin. 根据题意得，y＝sin 2x  y＝sin 2＝sin y＝f(x)＝sin. 11.将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为 A.y＝sin x B.y＝sin C.y＝sin D.y＝sin 将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝sin＝sin的图象， 再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象. 12.为了得到函数y＝cos的图象，需将函数y＝－sin图象上所有的点 A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度  y＝－sin＝－sin＝cos， 将其图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y＝cos＝cos的图象. 13.设ω>0，函数y＝sin＋2的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是 A. B. C. D.3  y＝sin＋2y1＝sin＋2 ＝sin＋2. 因为y与y1的图象重合，所以－ω＝2kπ(k∈Z).所以ω＝－k. 所以k＝－1时，ω取最小值为. 3sin 将y＝－sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得到y＝－sin＝sin 2x的图象，故①符合要求； 将y＝cos 2x＝sin的图象向右平移个单位长度，可得到y＝sin＝sin 2x的图象，故②符合要求； 对于③，y＝3sin，无论向左还是向右平移，纵坐标不变，故不符合条件. 若g＝，则f 的值为______. ∴＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝Asin 2x， ∵g＝， ∴g＝Asin ＝A＝， ∴f ＝2sin ＝2×＝. 16.将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象. 将y＝sin x的图象向左平移个单位长度可得y＝sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝sin的图象，故f(x)＝sin. 令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 则4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)， 令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 则4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)， 所以当x∈时，f(x)单调递增， 当x∈时，f(x)单调递减， 当x∈时，f(x)单调递增， 当x＝0时，f(x)＝，当x＝3π时，f(x)＝－. 故使方程f(x)＝m有唯一实数根的m的取值范围为m∈∪{－1,1}. $$