1.4.3 诱导公式与对称 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

4.3　诱导公式与对称 第一章　§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用. 2.理解诱导公式的推导过程. 3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题. 南京眼和辽宁的生命之环均利用对称完美地展现了自己的和谐之美.而三角函数与(单位)圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，正弦函数、余弦函数的定义表明了圆中某些线段之间的关系.圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形. 导语 南京眼的桥身　　 　辽宁生命之环 的完美对称　　　　　 的完美对称 你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，－α有什么样的对称关系？ 导语 内容索引 一、诱导公式 二、给角求值 课时对点练 三、给值(式)求值问题 随堂演练 四、利用诱导公式化简 诱导公式 一 问题1　知道角的终边与单位圆的交点坐标，你能根据三角函数的定义探究角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系吗？能不能推导正弦函数、余弦函数的奇偶性？ 提示　sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α. 正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数. 问题2　类比问题1的推导过程，你能探究角α与α＋π，α－π，π－α的正弦函数、余弦函数的关系吗？ 提示　sin(α＋π)＝－sin α，cos(α＋π)＝－cos α，sin(α－π)＝－sin α，cos(α－π)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α. 终边关系 角－α与角α的终边关于x轴对称 角α±π与角α的终边关于原点对称 角π－α与角α的终边关于y轴对称 图示       公式 sin(－α)＝ ， cos(－α)＝______ sin(α＋π)＝ ， cos(α＋π)＝ ， sin(α－π)＝ ， cos(α－π)＝_______ sin(π－α) ＝ ， cos(π－α)＝_______ －sin α cos α －sin α －cos α －sin α －cos α sin α －cos α 知识梳理 9 注意点： (1)公式的角为任意角. (2)口诀：“函数名不变，符号看象限”. 特点 (1)公式两边的函数名称一致. (2)将α看作锐角时，原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号，即为等号右边的符号 知识梳理 10 二 给角求值 例1　求下列各三角函数式的值. (1)cos 210°； 12 (4)cos(－1 920°). cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(120°＋5×360°)＝cos 120° 13 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α转化. (2)“大化小”——用终边相同的角的三角函数值相等化为0到2π之间的角. (3)“小化锐”——用α±π与π－α相应的公式将大于 的角转化为锐角. (4)“锐求值”——得锐角三角函数后求值. 反思感悟 14 跟踪训练1　求下列各三角函数式的值. (1)sin 1 320°； 方法一　sin 1 320°＝sin(240°＋3×360°) 方法二　sin 1 320°＝sin(－120°＋4×360°) ＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°) 15 16 三 给值(式)求值问题 例2　(1)已知sin(α＋π)＝－0.3，则sin(2π－α)＝________； ∵sin(α＋π)＝－sin α＝－0.3， ∴sin α＝0.3， ∴sin(2π－α)＝－sin α＝－0.3. －0.3 18 19 延伸探究　若本例(2)中的条件不变，如何求 20 解决给值(式)求值问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用. 反思感悟 21 √ 由cos(α＋β)＝－1，得α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)， 则α＋2β＝(α＋β)＋β＝2kπ＋π＋β(k∈Z)， sin(α＋2β)＝sin(2kπ＋π＋β)＝sin(β＋π) 22 四 利用诱导公式化简 例3　化简： 24 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值. 反思感悟 25 跟踪训练3　化简： 26 1.知识清单： (1)特殊关系角的终边对称性. (2)三组诱导公式. (3)给角求值、给值(式)求值问题. (4)利用诱导公式化简. 2.方法归纳：公式法、构造法、转化与化归. 3.常见误区：符号的确定. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 √ 2.已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是 A.sin α＝sin β B.sin(α－2π)＝sin β C.cos α＝cos β D.cos(2π－α)＝－cos β 1 2 3 4 √ 由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cos α＝cos β. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 4.已知sin(π＋α)＝ ，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是_____. 课时对点练 六 1.sin 240°＋cos(－150°)的值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 原式＝sin(180°＋60°)＋cos 150°＝－sin 60°＋cos(180°－30°) 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在△ABC中，cos(A＋B)的值等于 A.cos C B.－cos C C.sin C D.－sin C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 由于A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C. 所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C. 16 4.已知200°角的终边上有一点(－1，a)，则sin 160°等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 所以sin 160°＝sin(－200°＋360°) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 7.已知cos(π＋α)＝ ，则cos(α＋3π)＋cos(α－π)＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)＝_____. 1 原式＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°) ＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 16 √ 所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.－1 B.－2 C.1 D.2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当k＝2n，n∈Z时， 16 当k＝2n＋1，n∈Z时， 13.(多选)在△ABC中，下列四个式子的值为常数的是 A.sin(A＋B)＋sin C B.cos(A＋B)＋cos C C.sin(2A＋2B)＋sin 2C D.cos(2A＋2B)＋cos 2C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，sin(A＋B)＋sin C＝sin C＋sin C＝2sin C； 对于B，cos(A＋B)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0； 对于C，sin(2A＋2B)＋sin 2C ＝sin[2(A＋B)]＋sin 2C ＝sin[2(π－C)]＋sin 2C ＝sin(2π－2C)＋sin 2C ＝－sin 2C＋sin 2C＝0； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，cos(2A＋2B)＋cos 2C ＝cos[2(A＋B)]＋cos 2C ＝cos[2(π－C)]＋cos 2C ＝cos(2π－2C)＋cos 2C ＝cos 2C＋cos 2C ＝2cos 2C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －2 15.设函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 022)＝－1，则f(2 023)的值为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 16 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(2 022)＝asin(2 022π＋α)＋bcos(2 022π＋β)＝－1， ∴f(2 023)＝asin(2 023π＋α)＋bcos(2 023π＋β) ＝asin[π＋(2 022π＋α)]＋bcos[π＋(2 022π＋β)] ＝－[asin(2 022π＋α)＋bcos(2 022π＋β)]＝1. (1)化简f(α)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 cos 210°＝cos(30°＋180°)＝－cos 30°＝－. sin ＝sin＝sin ＝sin＝sin ＝. (2)sin ； sin＝－sin＝－sin ＝－sin＝sin ＝. (3)sin； ＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－. ＝sin 240°＝sin(60°＋180°)＝－sin 60°＝－. ＝－sin 60°＝－. cos＝cos＝cos  ＝cos＝－cos ＝－. (2)cos. (2)已知cos＝，则cos＝_______. － cos＝cos＝－cos＝－. cos？ cos＝cos＝cos＝cos＝. 跟踪训练2　已知sin β＝，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为 A.1 B.－1 C. D.－ ＝－sin β＝－. . 原式＝＝＝1. . 原式＝＝＝1. 1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos(π－θ)的值为 A.－ B.－ C. D. 3.cos＋sin的值为 A.－ B. C. D. 原式＝cos －sin ＝cos －sin ＝－cos ＋sin ＝. － 因为sin(π＋α)＝－sin α＝， 所以sin α＝－. 又α是第四象限角，所以cos α＝， 所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－. A.－ B.－1 C.1 D. ＝－sin 60°－cos 30°＝－－＝－. 2.(多选)下列三角函数中，与sin 的值相同的是 A.sin B.cos C.sin D.－cos sin ＝. 对于A，sin ＝sin＝－sin ＝－； 对于B，cos ＝cos＝－cos ＝－； 对于C，sin ＝sin＝sin ＝； 对于D，－cos ＝－cos ＝cos ＝. A.－a B. C.－ D. 由题意知sin 200°＝， ＝－sin 200°＝－. 5.已知sin＝，则sin的值为 A. B.－ C. D.－ sin＝sin＝sin＝. 6.计算：cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＝______. 原式＝cos ＋cos ＋cos ＋cos＋cos＋cos ＝cos ＋cos ＋cos －cos －cos －cos ＝0. － － ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，∴cos α＝， ∴cos(α＋3π)＋cos(α－π)＝cos(α＋π)－cos α＝－2cos α＝－. 8.计算：(1)sincos ＝______； 原式＝－sincos＝sin cos ＝. 9.化简：(1)； 原式＝＝＝－cos α. (2)已知sin(5π＋α)＝， 求的值. ∵sin(5π＋α)＝，∴sin α＝－. ∴＝ ＝＝－＝3. 10.已知角α终边上一点P(－4,3)， 求的值. 根据三角函数的定义得sin α＝，cos α＝－， 点P到原点O的距离|OP|＝＝5. ＝＝ ＝＝×＝－. 11.已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)等于 A.－ B. C.－ D. 因为cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝， ＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝. 12.(多选)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值是  A＝＋＝＋＝2，  A＝＋＝＋＝－2. 因为f ＝sin＝sin＝sin ＝； 14.已知f(x)＝则 f ＋f 的值为_____.  f ＝f －1＝f －2＝sin－2＝－－2＝－. 所以f ＋f ＝－2. 16.已知f(α)＝. f(α)＝＝cos α. (2)若α＝－，求f(α)的值. ∵α＝－＝＋(－6)×2π， ∴f(α)＝f ＝cos＝cos ＝cos ＝. $$