1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

4.1　单位圆与任意角的 正弦函数、余弦函 数定义 第一章　§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 学习目标 1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义，会求给定角的正弦值、余弦值. 2.会求角的三角函数值. 3.会判断正弦、余弦函数值的符号. 在初中，为了便于理解锐角三角函数的概念，我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形，利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)，但这种定义显然不适用于任意角的三角函数的定义.这节课就让我们一起探寻任意角的三角函数的本质，并对任意角的三角函数给出一个科学合理的定义吧. 导语 内容索引 一、任意角的正弦函数和余弦函数 二、利用角α的终边上任意一点的坐标求三角函数值 课时对点练 三、已知角的终边落在某一直线上，求其三角函数值 随堂演练 四、正弦、余弦函数值符号的判断 任意角的正弦函数和余弦函数 一 问题1　单位圆O上的点P以A为起点按逆时针方向旋转，如图，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，则A(1,0)，射线OA从x轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，交单位圆于点P(u，v).当α＝ 时，点P的坐标是什么？ 当α＝ 时，点P的坐标又是什么？ 问题2　一般地，给定一个角α，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗？ 提示　一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标u还是纵坐标v，都是唯一确定的.所以点P的横坐标u和纵坐标v都是角α的函数. 1.对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，把点P的 定义为角α的正弦值，记作 ；把点P的 定义为角α的余弦值，记作 . 2.对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以v＝ sin α，u＝cos α分别是以角α为自变量，以单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的正弦、余弦函数. 纵坐标v v＝sin α 横坐标u u＝cos α 知识梳理 8 二 利用角α的终边上任意一点的坐标求三角函数值 问题3　已知Q(x，y)是角α终边上除原点外的一点，如何求sin α与cos α？ 注意点： (1)r的值恒大于零. (2)角α的正弦、余弦函数值的大小与在终边上的点的位置无关. 知识梳理 11 例1　已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝ ，求sin θ的值. 12 ∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1,3)， 13 当x＝－1时，P(－1,3)， 14 解得x2＝1，∴x＝±1. 15 (1)已知角α终边上除原点外的任意一点的坐标求三角函数值的方法 ①先利用角α的终边与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应的三角函数值. (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 反思感悟 16 跟踪训练1　已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值. 17 (1)若a>0，则r＝5a，角α是第二象限角， (2)若a<0，则r＝－5a，角α是第四象限有， 综上所述，2sin α＋cos α的值为1或－1. 18 三 已知角的终边落在某一直线上，求其三角函数值 例2　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋ 的值. 20 由题意知，cos α≠0. 设角α的终边上除原点外的任一点为P(k，－3k)(k≠0)， 则x＝k，y＝－3k， 21 22 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标为(a，b)，则角α的正弦函数值与余弦函数值分别为 反思感悟 23 跟踪训练2　已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求2sin α＋cos α的值. 24 在直线3x＋4y＝0上任取一点P(4a，－3a)(a≠0)， 25 26 四 正弦、余弦函数值符号的判断 问题4　借助单位圆以及正弦、余弦函数的定义，大家探究一下三角函数值的符号与什么有关？ 提示　正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号，余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号. 正弦、余弦函数值在各象限的符号 象限 三角函数　　　 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ 注意点： (1)口诀：“一全正、二正弦、三全负、四余弦.” (2)易忽略正弦、余弦函数在坐标轴上的符号. 知识梳理 29 例3　(1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴点P在第四象限. 30 (2)判断下列各式的符号： ①sin 145°cos(－210°)； ∵145°是第二象限角， ∴sin 145°>0， ∵－210°＝150°－360°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos(－210°)<0， ∴sin 145°cos(－210°)<0. 31 ②sin 3·cos 4. ∴sin 3>0，cos 4<0， ∴sin 3·cos 4<0. 32 准确确定正弦函数、余弦函数中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决正弦、余弦函数值符号判断问题的关键. 反思感悟 33 跟踪训练3　如果点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 因为点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ<0，且2cos θ<0， √ 34 1.知识清单： (1)任意角的正弦函数和余弦函数. (2)利用角α的终边上除原点外的任意一点的坐标求三角函数值. (3)已知角的终边落在某一直线上，求其三角函数值. (4)正弦、余弦函数值符号的判断. 2.方法归纳：转化与化归、分类讨论. 3.常见误区：正弦、余弦函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点的位置无关. 课堂小结 随堂演练 五 设交点坐标为P(x，y)， 1 2 3 4 √ 2.(多选)若角α的终边上一点的坐标为P(3,4)，则下列结论正确的有 1 2 3 4 √ √ 3.点P(sin 216°，cos 216°)位于第_____象限. ∵216°是第三象限角，∴sin 216°<0，cos 216°<0，∴点P位于第三象限. 1 2 3 4 三 1 2 3 4 4.已知角α的终边在直线y＝2x上，则sin α＋cos α＝_______. 1 2 3 4 在直线y＝2x上任取一点P(x,2x)(x≠0)， 1 2 3 4 课时对点练 六 1.若角α的终边过点(5,12)，则cos α－sin α等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴角α的终边在第四象限， 16 √ 4.(多选)下列三角函数值的符号判断正确的是 A.cos(－280°)<0 B.sin 500°>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵－280°＝80°－360°，∴－280°是第一象限角，∴cos(－280°) >0；∵500°＝140°＋360°， ∴500°是第二象限角，∴sin 500°>0； 5.已知sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 ∵sin θcos θ<0，∴sin θ，cos θ一正一负， 又|cos θ|＝cos θ，∴cos θ>0， 综上有sin θ<0，cos θ>0， 即θ为第四象限角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (－2,3] 16 解得－2<a≤3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边落在x轴的非负半轴上，终边经过点A(4，y0)，其中y0≠0. 解得y0＝±2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 16 √ ∴9(a2＋1)＝5(2a＋1)2且2a＋1<0，解得a＝－2. 12.(多选)若角α为第二象限角，则下列函数值可能是负值的是 A.sin α B.cos α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 13.若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，点P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝ ，则m－n＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵y＝3x且sin α<0， ∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图象上， 且m<0，n<0，n＝3m. 2 ∴m＝－1，n＝－3， ∴m－n＝2. 14.若300°角的终边所在直线上一点为(－4，a)，则a的值为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵－4<0，∴点(－4，a)在120°角的终边上， A.{－4,0,2} B.{4,0,2} C.{－4,0，－2} D.{2,0} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由sin x≠0，cos x≠0知，x的终边不能落在坐标轴上， 当x为第一象限角时，sin x>0，cos x>0， sin xcos x>0，y＝0； 当x为第二象限角时，sin x>0，cos x<0， sin xcos x<0，y＝2； 当x为第三象限角时，sin x<0，cos x<0， sin xcos x>0，y＝－4； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x为第四象限角时，sin x<0，cos x>0， sin xcos x<0，y＝2. (1)试判断角α的终边所在的象限； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴sin α<0. ① ∵lg(cos α)有意义，∴cos α>0. ② 由①②得，角α的终边在第四象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又α是第四象限角， 提示　当α＝时，点P的坐标是； 当α＝时，点P的坐标是(0,1). 提示　如图所示，根据相似三角形可得，sin α＝，cos α＝. 设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α＝ ，cos α＝ ，其中  r＝. x 由题意知r＝|OP|＝， 由三角函数定义得cos θ＝＝. 又∵cos θ＝x，∴＝x. 此时sin θ＝＝. 此时sin θ＝＝. 综上，sin θ的值为. 延伸探究　在本例中，将“cos θ＝x”改为“sin θ＝”，求x的值. ∵|OP|＝， ∴sin θ＝＝， ②在角α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便. ∴2sin α＋cos α＝－＋＝－1. r＝＝5|a|. sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－， ∴2sin α＋cos α＝－＝1； sin α＝＝－，cos α＝＝， ∴10sin α＋＝10×＋3×＝－3＋3＝0； r＝＝|k|. (1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角， sin α＝＝＝－， ＝＝＝， 综上所述，10sin α＋＝0. (2)当k<0时，r＝－k，α是第二象限角， sin α＝＝＝， ＝＝＝－， ∴10sin α＋＝10×＋3×(－)＝3－3＝0. sin α＝，cos α＝. 则r＝＝5|a|. (1)当a＞0时，r＝5a，故sin α＝＝－， cos α＝＝， 所以2sin α＋cos α＝2×＋＝－； cos α＝＝－， 所以2sin α＋cos α＝2×＋＝. 故2sin α＋cos α的值为或－. (2)当a＜0时，r＝－5a，故sin α＝＝， ∵<3<π，π<4<， 则所以角θ是第二象限角. 所以点P. 1.已知sin α＝，cos α＝－，则角α的终边与单位圆的交点坐标是 A. B. C. D. 则y＝sin α＝，x＝cos α＝－， 所以sin α＝，cos α＝. A.sin α＝ B.sin α＝ C.cos α＝ D.cos α＝ 点P到坐标原点的距离r＝＝5， ± ①若x>0，则r＝x， 从而sin α＝＝，cos α＝＝， ∴sin α＋cos α＝. ②若x<0，则r＝－x， 则r＝＝|x|. ∴sin α＋cos α＝－. 综上，sin α＋cos α＝±. 从而sin α＝＝－，cos α＝＝－， A. B. C.－ D.－ 由题意知r＝＝13，所以cos α＝，sin α＝，所以cos α－sin α＝－. 2.若cos α＝－，且角α的终边经过点P(x,2)，则点P的横坐标x等于 A.2 B.±2 C.－2 D.－2 因为cos α＝－<0，所以x<0， 又r＝，由题意得＝－， 所以x＝－2. 3.已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为 A. B. C. D. ∵sin ＝，cos ＝－， ∴角α的最小正值为2π－＝. C.sin<0 D.cos >0 ∵－＝－2π，∴－是第三象限角， ∴sin<0； ∵＝＋4π，∴是第一象限角， ∴cos >0. 6.点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为 A. B. C. D. 由题意知α＝，则的终边与单位圆的交点坐标为. 7.已知角α的终边与单位圆交于点P，则cos α＝________， sin α＝______. － ± ∵点P在单位圆上， 则＋y2＝1，∴y＝±， ∴cos α＝－，sin α＝±. 由cos α≤0，sin α>0可知， 9.已知角α的顶点为原点O，始边与x轴的非负半轴重合.若角α的终边过点P(－，y)(y≠0)，且sin α＝y，判断角α的终边所在的象限，并求cos α的值. 依题意，得点P到原点O的距离r＝＝， ∴sin α＝＝＝y. ∵y≠0，∴9＋3y2＝16，∴y2＝， ∴y＝±，∴角α的终边在第二或第三象限. ∴r＝＝＝， ∴cos α＝＝＝－， ∴cos α的值为－. (1)若cos α＝，求y0的值； 由题意知，＝， 因为cos α＝，所以＝. (2)若y0＝－4，求的值. 当y0＝－4时，sin α＝－，cos α＝， 所以＝＝. 11.已知角α的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos α＝－，则实数a的值是 A.－2 B. C.－2或 D.－1 ∵r＝＝， cos α＝＝－， C.sin  D.cos  由题意，若α为第二象限角，则cos α<0，sin α>0，为第一象限角或第三象限角，当为第一象限角时，cos >0，sin >0； 当为第三象限角时，cos <0，sin <0. ∴|OP|＝＝|m|＝－m＝， 4 sin 120°＝(a>0)，得a＝4. 15.函数y＝＋－的值的集合是 故函数y＝＋－的值的集合为{－4,0,2}. 16.已知＝－，且lg(cos α)有意义. ∵＝－， (2)若角α的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin α的值. ∵点M在单位圆上， ∴2＋m2＝1，解得m＝±. ∴m<0，∴m＝－. 由三角函数定义知，sin α＝－. $$